甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】因为，则.
故选：C.
2. 样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（ ）
A. 16B. 17C. 23D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】先将数据排序后结合百分位数公式计算即可.
【详解】由小到大排列14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，
，所以分位数为.
故选：C．
3. 若，且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接依据向量相等的概念以及向量的数乘运算即可求出．
【详解】，根据以原点出发的向量终点坐标等于向量坐标，试卷源自 来这里 全站资源一元不到！ 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。所以点A的坐标为，故选B．
【点睛】本题主要考查向量相等的概念以及向量数乘的定义应用．
4. 已知是角的终边上一点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求.
【详解】因为是角的终边上一点，
所以，
则，
故选：B.
5. 某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于75分的企业数为（ ）
A. 30B. 60C. 70D. 130
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率分布直方图可得频率，即可求解个数.
【详解】解：根据频率分布直方图，标准分不低于75分的企业的频率为：
，∴标准分不低于75分的企业数为（家）．
故选：A．
6. 已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理、面积公式、二倍角的正弦公式求解.
【详解】由，，
解得，
由正弦定理可得，，
所以，
，
.
故选：D
7. 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）
A. 5mB. 15mC. 5mD. 15m
【答案】D【解析】
【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.
【详解】在△BCD中，，
由正弦定理得，
解得(m），
在Rt△ABC中，(m).
故选：D
8. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，由三点共线有，再用分别表示出、，最后应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】因为，所以，
所以，
因为C，P，D三点共线，所以，即，
所以，又，
所以
.故选：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解.
【详解】对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，
人均消费支出的极差为元，C正确；
对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确.
故选：ACD
10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得B. 在中，若，则点为边上的中点
C. 已知，均为非零向量，若，则
D. 若且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，
B选项，，根据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.
C选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.
D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.
故选：ABC
11. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，根据条件，可得，得到，即可判断；B选项，根据，求出模即可判断；C选项，根据，计算出，即可判断；D选项，由，计算出，即可判断.
【详解】A选项，由题意可知，
故，故，A正确；
B选项，
，B错误；
C选项，
，故不垂直，C错误；
D选项，
，D正确.
故选：AD
二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，则向量在向量方向上的投影为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根据向量投影的定义求解即可．
【详解】由，
所以向量在向量方向上投影为．
故答案为：．
13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平均数的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.
【详解】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以，
又总体平均值为，所以.
所以（当且仅当时取“”）.
故答案为：
14. 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件先求解出的值，然后根据诱导公式以及二倍角的正弦公式求解出结果.
【详解】由题可知，
所以，
故答案：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，．【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.
【小问1详解】
解：因为，，与的夹角为，
则，
所以，.
【小问2详解】
解：因为，则
，解得.
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.
17. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人．
（1）求的值；
（2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数．
【答案】（1）
（2）平均数为；中位数为【解析】
【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，结合平均数与中位数的计算公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
，
解得.
【小问2详解】
平均数为.
因为，
所以中位数在之间，设中位数为，
则，解得.
18. 已知函数，且函数的最小正周期为.
（1）求的解析式，并求出的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.
【答案】（1），;
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用正弦，余弦的二倍角公式及辅助角公式变形，再结合周期公式求出的值，利用正弦函数的性质求出单调递增区间；
（2）根据平移关系求出的解析式，结合函数的最值和角的关系求解即可.
【小问1详解】
由函数最小正周期为,则，
故，
令，解得，
故的单调递增区间为.
【小问2详解】
，
则的最大值为，
此时有，即，
故，解得，
所以当取得最大值时的取值集合为.
19. 在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点A处，一艘货轮在点A东偏北15°方向的点处行驶着，通过雷达监测，发现在点A北偏东30°方向且距离点A24海里处的点处出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距海里，且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近.
（1）求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；
（2）护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以海里/小时的速度追击海盗船，与此同时，海盗船开始以20海里/小时的速度沿着北偏西30°方向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向.
【答案】（1）海里
（2）护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能迫击到海盗船的最短时长为1.2小时
【解析】
【分析】（1）中，由正弦定理计算可得.
（2）设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时，在中由余弦定理计算可得.
【小问1详解】
由题意可知，
由正弦定理可得，则，
所以或120°.若，则，，不符合题意，所以，，，
海里，故发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为海里.
【小问2详解】
如图，设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时，且追到时位于点.
则.由余弦定理可得，，整理可得，解得或-0.6（舍去），此时（海里），（海里），
则，，故护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能迫击到海盗船的最短时长为1.2小时.