甘肃省酒泉市敦煌中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A. 28B. 30C. 32D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．
故选：A
2. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.
【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，则取从小到大排列后的第8个数，
即该组数据的第75百分位数为18.
故选：D.
3. 已知，，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】，由得，
解得.
故选：A
4. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A. －2B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：B．
5. 已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A. B.
C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】因为向量与互相垂直，
所以．所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：B
6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
7. 下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（ ）

A. 这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B. 这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C. 这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D. 这10城市地铁运营线路条数的极差是12
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的条形图，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
于是B，地铁运营里程的中位数是公里，B错误；
对于C，地铁运营线路条数的平均数为，C正确；
对于D，地铁运营线路条数的极差是，D错误.
故选：C
8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
即，，
又，，故；由，解得；
由余弦定理，结合，可得，
即，解得，当且仅当时取得等号；
故的面积，当且仅当时取得等号.
即面积的最大值为.
故选：A.
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线
C. 若非零向量与共线，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．
【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；
对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；
对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等说这两个向量大小相等，
方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；
对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．
故选：ABC
10. 已知平面四边形，则下列命题正确是（ ）
A. 若，则四边形是梯形
B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是平行四边形
D. 若且，则四边形是矩形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量相等及向量模长的判断各个选项即可.
【详解】对于A选项：因为，所以,则四边形是梯形,A选项正确；
对于B选项：因为相邻两边相等不能得出四边形是菱形，所以B选项错误；
对于C选项：因为，所以四边形是平行四边形,C选项正确；
对于D选项：因为，所以,则四边形是平行四边形,
因为,所以,则四边形是矩形,D选项正确；
故选：ACD.
11. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
12. 已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ）
A. 甲组数据的中位数为10
B. 乙组数据的第75百分位数为9.5
C. 甲､乙两组数据的极差相同
D. 甲组数据方差小于乙组数据的方差
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可.
【详解】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确；
由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10，
故乙组数据的平均数也为10，故得，所以，
又，乙组数据从小到大排列为，
所以乙组数据的第75百分位数为选项错误；
易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误；
两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确，
故选：AD．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知向量与的夹角为120°，且，则______，|______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开，即可得出答案.
【详解】∵向量与的夹角为，且，，
∴，，，
因为，
所以．
因为
.
所以．
故答案为：；.
14. 在中，，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知，然后利用余弦定理即可求解；利用正弦定理的面积公式即可求解.
【详解】对空：由题意知，则，所以，
由余弦定理得，则；
对空：由，，所以，
所以.
故答案为：；.
15. 已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．
【答案】2；
【解析】
【详解】试题分析：由可得，
即，
故填2.
考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.
16. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
四、解答题（共6大题，共70分）
17. 已知向量，，点．
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；
（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.
【小问1详解】
设，，，
，
，，
，同理可得，
设BD的中点，
则，，
.
【小问2详解】
，，
三点共线，，
，解得.
18. 已知向量，，．
（1）求满足的实数m，n的值；
（2）若，求实数k的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得.
【小问1详解】
由，得，则有，解得，
所以.
【小问2详解】
依题意，，，
由，得，解得，
所以.
19. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；
（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，可得，
因为，可得.
【小问2详解】
解：由（1）知，因为，
设的外接圆的半径为，可得，
所以，
因为，可得，
所以的面积为.
20. 某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍．
（1）求和的值；
（2）若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（3）估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？
【答案】（1）
（2），人
（3），平均数
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为列方程，结合已知条件求得.
（2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数.
（3）根据中位数、平均数的求法求得正确答案.
【小问1详解】
由题意得，
解得．
【小问2详解】
由图可知，超过分的组的频率分别为，，，
优秀率为．
全市优秀学生的人数约为（人）．
【小问3详解】
第组的频率分别为，，，，
前三组的频率和为，
中位数约为．
平均数约为
．
21. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
（1）用向量与表示 和
（2）用向量与表示
（3）求出 的值
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【小问1详解】
是中点，
，
；
【小问2详解】
，则，
；
【小问3详解】
设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
22. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的大小;
（2）若，且，求周长的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得，可得C的大小；
（2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求周长的最小值.
【小问1详解】
因为，由正弦定理.
由，得，所以，即.
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，则.
因为，所以，则.
的周长为.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
故周长的最小值为.