甘肃省酒泉市敦煌中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

这是一份甘肃省酒泉市敦煌中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A．28B．30C．32D．36
2．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
3．已知，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
4．已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A．－2B．C．2D．5
5．已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（ ）
A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D．这10城市地铁运营线路条数的极差是12
8．已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列说法错误的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则四点共线
C．若非零向量与共线，则
D．若，则
10．已知平面四边形，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则四边形是梯形
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是平行四边形
D．若且，则四边形是矩形
11．下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且 B．若，，则
C．若，则存在实数，使得 D．
12．已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ）
A．甲组数据的中位数为10 B．乙组数据的第75百分位数为9.5
C．甲､乙两组数据的极差相同 D．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知向量与的夹角为120°，且，则 ， ．
14．在中，，则 ， ．
15．已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝ ．
16．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 .
四、解答题（共6大题，共70分）
17．（10分）已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
18．（12分）已知向量，，．
(1)求满足的实数m，n的值；
(2)若，求实数k的值．
19．（12分）记的内角的对边分别为，已知．
(1)；(2)若，，求的面积．
20．（12分）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍．
(1)求和的值；
(2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
(3)估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？
21．（12分）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示 和
(2)用向量与表示
(3)求出 的值
22．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的大小;
(2)若，且，求周长的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．
故选：A
2．D
【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.
【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，则取从小到大排列后的第8个数，
即该组数据的第75百分位数为18.
故选：D.
3．A
【分析】
利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】，由得，
解得.
故选：A.
4．B
【分析】
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】
因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：B．
5．B
【分析】
根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】
因为向量与互相垂直，
所以．所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：B
6．D
【分析】
借助向量数量积的计算及夹角公式计算即可得.
【详解】
，
，
故.
故选：D.
7．C
【分析】根据给定的条形图，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
于是B，地铁运营里程的中位数是公里，B错误；
对于C，地铁运营线路条数的平均数为，C正确；
对于D，地铁运营线路条数的极差是，D错误.
故选：C
8．A
【分析】
利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
即，，
又，，故；由，解得；
由余弦定理，结合，可得，
即，解得，当且仅当时取得等号；
故的面积，当且仅当时取得等号.
即的面积的最大值为.
故选：A.
9．ABC
【分析】
利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．
【详解】
对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；
对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；
对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，
方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；
对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．
故选：ABC
10．ACD
【分析】根据向量相等及向量模长的判断各个选项即可.
【详解】对于A选项：因为，所以,则四边形是梯形,A选项正确；
对于B选项：因为相邻两边相等不能得出四边形是菱形，所以B选项错误；
对于C选项：因为，所以四边形是平行四边形,C选项正确；
对于D选项：因为，所以,则四边形是平行四边形,
因为,所以,则四边形是矩形,D选项正确；
故选：ACD.
11．ABC
【分析】
利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
12．AD
【分析】利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可.
【详解】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确；
由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10，
故乙组数据的平均数也为10，故得，所以，
又，乙组数据从小到大排列为，
所以乙组数据的第75百分位数为选项错误；
易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误；
两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确，
故选：AD．
13．
【分析】已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开，即可得出答案.
【详解】∵向量与的夹角为，且，，
∴，，，
因为，
所以．
因为
.
所以．
故答案为：；.
14．
【分析】由题意可知，然后利用余弦定理即可求解；利用正弦定理的面积公式即可求解.
【详解】对空：由题意知，则，所以，
由余弦定理得，则；
对空：由，，所以，
所以.
故答案为：；.
15．2
【分析】
结合，将向量等式两边与作数量积，再利用向量数量积的定义式展开就算即得.
【详解】
将的两边分别与作数量积得：
化简得：，即，解得：
故答案为：2.
16．6
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；
（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.
【详解】（1）
设，，，
，
，，
，同理可得，
设BD的中点，
则，，
.
（2）
，，
三点共线，，
，解得.
18．(1)；
(2).
【分析】
（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得.
【详解】（1）由，得，则有，解得，
所以.
（2）依题意，，，
由，得，解得，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；
（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，可得，
因为，可得.
（2）解：由（1）知，因为，
设的外接圆的半径为，可得，
所以，
因为，可得，
所以的面积为.
20．(1)
(2)，人
(3)，平均数
【分析】（1）根据频率之和为列方程，结合已知条件求得.
（2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数.
（3）根据中位数、平均数的求法求得正确答案.
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由图可知，超过分的组的频率分别为，，，
优秀率为．
全市优秀学生的人数约为（人）．
（3）第组的频率分别为，，，，
前三组的频率和为，
中位数约为．
平均数约为
．
21．(1)，；
(2)
(3)
【分析】
（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【详解】（1）是中点，
，
；
（2），则，
；
（3）设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
22．(1)
(2).
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得，可得C的大小；
（2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求周长的最小值.
【详解】（1）因为，由正弦定理.
由，得，所以，即.
又，所以.
（2）由（1）知，则.
因为，所以，则.
的周长为.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
故周长的最小值为.