2023-2024学年广东省清远市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省清远市高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z(1+i)=|1−i|，i为虚数单位，则z=( )
A. iB. 22− 22iC. 12+12iD. 22+ 22i
2.已知向量a=(1,2)，b=(1,−1)，c=(4,5).若a与b+λc垂直，则实数λ的值为( )
A. 114B. −47C. 3D. 411
3.下列说法正确的是( )
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则AF=( )
A. 13BA+23BC
B. 43BA+23BC
C. −56BA+16BC
D. −23BA+13BC
5.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是( )
A. AB=2
B. A′D′=2 2
C. 四边形ABCD的周长为4+2 2+2 3
D. 四边形ABCD的面积为6 2
6.已知平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB⋅AD=4，点P在线段CD上(不包含端点)，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. [−1,8)B. (0,8)C. [1,10)D. (0,10)
7.已知函数f(x)=tan(ωx−φ)(ω>0,00，则△ABC一定是锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足|b|=2|a|=2,|2a−b|=2，则向量a，b的夹角为______
13.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=16.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为______．
14.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=π3，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD= 3，则a+c的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,2),b=(−3,−2)．
(1)若c⊥(2a+b)，且|c|= 5，求c的坐标；
(2)若a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
16.(本小题15分)
如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：

(1)求下部四棱台的侧面积；
(2)求奖杯的体积.(尺寸如图，单位：cm，π取3)
17.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=EB，BF=3FC，连接ED、AF，交点为G．
(1)设AG=tAF，求t的值；
(2)求∠EGF的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12．
(1)若f(α2)=13，且α∈(0,π2)，求sinα的值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(C2)=12，求ab的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，已知|OA|=1,|OB|=2,OA与OB的夹角为2π3，点C是△ABO的外接圆优弧AB上的一个动点(含端点A，B)，记OA与OC的夹角为θ．
(1)求△ABO外接圆的直径2R；
(2)试将|OC|表示为θ的函数；
(3)设点M满足AM=13AB，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，求OC⋅OM的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知：|1−i|= 12+(−1)2= 2，
由z(1+i)=|1−i|= 2，
可得z= 21+i= 2(1−i)(1+i)(1−i)= 22− 22i．
故选：B．
根据模长公式结合复数的四则运算求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为b=(1,−1)，c=(4,5)，所以b+λc=(1,−1)+λ(4,5)=(4λ+1,5λ−1)，
又a=(1,2)且a与b+λc垂直，
所以a⋅(b+λc)=1×(4λ+1)+2×(5λ−1)=0，解得λ=114．
故选：A．
首先求出b+λc的坐标，依题意a⋅(b+λc)=0，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．
故选：B．
根据几何体的结构特征逐项分析判断．
本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：AF=AE+EF=12AC+23EB=12AC+23(AB−AE)
=12AC+23AB−13AC=16AC−23BA
=16(BC−BA)−23BA=−56BA+16BC．
故选：C．
根据平面向量的线性运算结合图像将AF用BA、BC表示，即可得出答案．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如图过D′作DE⊥O′B′，
由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，
即A′D′= 2A′E=12×(4−2)× 2= 2，即B错误；
还原平面图为下图，
即AB=4=2CD,AD=2 2，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=2 3，
故四边形ABCD的周长为：4+2+2 2+2 3=6+2 2+2 3，即C错误；
四边形ABCD的面积为：12×(4+2)×2 2=6 2，即D正确．
故选：D．
根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：如图，设DP=xDC=xAB(0