2023-2024学年广东省广州市玉岩中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市玉岩中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(−2,3)，b=(λ,2)，若a/​/b，则λ=( )
A. −43B. −1C. 43D. 3
2.设复数x满足z−z−=−2i，|z|= 2，复数z所对应的点位于第四象限，则z=( )
A. 1−2iB. 1−iC. −1−iD. 2−i
3.如图，在△ABC中，AB=4DB,P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12AC
B. −14AB+13AC
C. −58AB+12AC
D. −58AB+13AC
4.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是 2b，则a与b夹角的余弦值为( )
A. 23B. 26C. 22D. 23
5.若复数z=(csθ−45)+(sinθ−35)i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan(θ−π4)的值为( )
A. 7B. −17C. −7D. −7或−17
6.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. a=4，b=5，c=6B. a= 3，b=2，A=45°
C. a=10，A=45°，B=70°D. a=3，b=2，A=60°
7.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为3 3，则该物件的高为( )
A. 32B. 1C. 2D. 3
8.如图所示，在△ABC中，O为BC中点，过O点的直线分别交AB，AC于不同的两点E，F，设AB=λAE，AC=μAF，则λ+μ的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(t,1),b=(2,t)，则下列说法正确的是( )
A. |a|的最小值为1
B. 若a⊥b，则t=0
C. 若t=1，与a垂直的单位向量只能为( 22,− 22)
D. 若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(−∞,0)
10.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形，AA1=1，AB=BC= 3，cs∠ABC=13，P是线段A1B上的一动点，则AP+PC1取值可能为( )
A. 6
B. 7
C. 1+ 3
D. 2+ 5
11.函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)的表达式可以写成f(x)= 2cs(2x+5π4)
B. f(x)的图象关于直线x=5π8对称
C. f(x)在区间[5π8,7π8]上单调递增
D. 若方程f(x)=1在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(5π2,13π4]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm．
13.若2i−3是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q= ______．
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2asinC−2ccsA，则sin2A= ______；若a=2，则△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知单位向量e1,e2的夹角为π3,a=2e1+e2,b=2e2−3e1．
(1)求a⋅b；
(2)求|a|；
(3)求a与b的夹角．
16.(本小题15分)
已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，函数f(x)=a⋅b−12．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(α2)=−35,α∈(−π2,0)，求sinα．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，G、M分别是棱C1C、BC的中点．
(1)求四边形AMGD1的周长；
(2)求多面体CMG−DAD1的体积．
18.(本小题17分)
在①bsinA+B2=csinB，②ccsC=a+bcsA+csB，③ 3(ccsA−b)=−asinC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____；
(1)求角C的大小；
(2)若c= 3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
(1)设函数g(x)=sin(x+2π3)+cs(π2−x)，试求g(x)的伴随向量OM；
(2)记向量ON=(1, 3)的伴随函数为f(x)，求当f(x)=65且x∈(−π3,π6)时，sinx的值；
(3)已知将(2)中的函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再把整个图象向右平移π3个单位长度得到h(x)的图象，若存在x∈(0,π2)，使4h(x)+1=2⋅[a−h2(x)]成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由a=(−2,3)，b=(λ,2)，a/​/b，
可得−2×2−3λ=0，解得λ=−43．
故选：A．
根据向量平行的坐标表示，即可求解．
本题考查向量平行的坐标表示，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0)，
z−z−=−2i，
则a+bi−(a−bi)=2bi=−2i，解得b=−1，
|z|= 2，
则a2+b2=2，解得a=1(负值舍去)，
故z=1−i．
故选：B．
结合复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得BD=−14AB，BC=AC−AB，
因为BP是△DBC的中线，所以BP=12(BD+BC)=−18AB+12(AC−AB)=−58AB+12AC．
故选：C．
根据题意，以AB,AC作为基底，依次表示出BD,BC，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：设a与b夹角为θ，
向量a在向量b方向上的投影向量是 2b，
则acsθ×b|b|= 2b
|a|=2|b|，
则csθ= 22．
故选：C．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
复数z=(csθ−45)+(sinθ−35)i是纯虚数，可得：csθ−45=0，sinθ−35≠0，于是sinθ=−35，再利用同角三角函数基本关系式、两角差的正切公式即可得出．
本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：∵复数z=(csθ−45)+(sinθ−35)i是纯虚数，
∴csθ−45=0，sinθ−35≠0，
∴sinθ=−35，
∴tanθ=−34．
则tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=−34−11−34=−7．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：A.由a=4，b=5，c=6，满足两边之和大于第三边，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=16+25−362×4×5=18>0，
则C为锐角，可得三角形只有一解，故A错误；
B.由a= 3，b=2，A=45°，可得b>a>bsinA，则三角形有两解，故B正确；
C.由a=10，A=45°，B=70°，可得C=180°−45°−70°=65°，则三角形有一解，故C错误；
D.由a=3，b=2，A=60°，可得a>b，则A>B，B为锐角，可得三角形只有一解，故D错误．
故选：B．
根据正弦定理，余弦定理，三角形的性质即可逐项判断三角形的个数．
本题考查三角形个数的判断，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设A1B1=BB1=a，则AB=2a，
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形ABB1A1中，过点A1作A1E⊥AB于点E，
则AE=12(2a−a)=a2，所以A1E= 32a，
所以SABB1A1=a+2a2⋅ 32a=3 34a2=3 3，解得a=2，
在平面ACC1A1中，过点A1作A1F⊥AC于点F，
易知A1F为正四棱台的高，则AF=12(4 2−2 2)= 2，
所以A1F= A1A2−AF2= 4−2= 2．
故选：C．
作出正四棱台的图形，设A1B1=BB1=a，利用该四棱台侧面的面积求得a，进而利用勾股定理即可得解．
本题考查了正四棱台高的计算，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三点共线的应用，属于中档题．
当三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1即可．
【解答】
解：∵O为BC中点，AB=λAE，AC=μAF，
∴AO=12AB+12AC=12λAE+12μAF，
∵E，O，F三点共线，
∴12λ+12μ=1，∴λ+μ=2，
故选：C．
9.【答案】AB
【解析】解：已知a=(t,1),b=(2,t)，
对于选项A，|a|= t2+1≥1，
即|a|的最小值为1，
即选项A正确；
对于选项B，若a⊥b，
则t×2+1×t=0，
即t=0，
即选项B正确；
对于选项C，若t=1，
则a=(1,1)，
则与a垂直的单位向量为( 22,− 22)或(− 22, 22)，
即选项C错误；
对于选项D，若向量a与向量b的夹角为钝角，
则a⋅b<0且a与b不共线，
即2t+t<0t2≠2，
即t<0且t≠− 2，
即选项D错误．
故选：AB．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量共线及垂直的坐标运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，属中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，
设点C1的新位置为C′，连接AC′，则有AP+PC1=AP+PC′≥AC′，如图，
当A，P，C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值．
在△ABC中，AB=BC= 3，cs∠ABC=13，
由余弦定理得：AC= AB2+BC2−2AB⋅BCcsB= 3+3−2×3×13=2，
∴A1C1=2，即A1C′=2，
在△A1AB中，AA1=1，AB= 3，
由勾股定理可得：A1B= AA12+AB2=2，且∠AA1B=60°．
同理可求：C1B=2，∵A1B=BC1=A1C1=2，
∴△A1BC1为等边三角形，∴∠BA1C1=60°，
∴在△AA1C′中，∠AA1C′=∠AA1B+∠BA1C′=120°，AA1=1，A1C′=2，
由余弦定理得：AC′= 1+4−2×1×2×(−12)= 7．
则AC′即为AP+PC1的最小值 7，故A错误，B正确．
当 P在A1B中点，AP+PC1=1+ 3，故C正确；
当P在点B处时，AB+BC1=2+ 3，AP+PC1的最大值为2+ 3，故D错误．
故选：BC．
连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，再根据两点之间线段最短及最大值求解即可．
本题主要考查两点之间距离的求法，棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：依题意，f(0)= 2sinφ=−1，即sinφ=− 22，
又−π2<φ<π2，
则φ=−π4；
又f(x)的图象过点(π8,0)，
则f(π8)=sin(ωπ8−π4)=0，可得ωπ8−π4=kπ，k∈Z，
解得ω=8k+2，k∈Z；
又0<ω≤2，
所以ω=2．
所以f(x)= 2sin(2x−π4)．
因为f(x)= 2sin(2x−π4)= 2cs(2x+5π4)，
所以f(x)的表达式可以写成f(x)= 2cs(2x+5π4)，故A正确；
由于f(5π8)= 2cs(2×5π8+5π4)= 2cs5π2=0，
则f(x)的图象不关于直线x=5π8对称，故B错误；
当x∈[5π8,7π8]时，2x+5π4∈[5π2,3π]，由余弦函数单调性知，f(x)在x∈[5π8,7π8]单调递减，故C错误；
由f(x)=1，得cs(2x+5π4)= 22，解得x=π4+kπ或π2+kπ,k∈Z，
方程f(x)=1在(0,m)上有6个根，
从小到大依次为：π4,π2,5π4,3π2,9π4,5π2，
而第7个根为13π4，
所以5π2故选：AD．
先求出函数的解析式，再逐一判断各选项是否正确．
本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】8
【解析】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，
可求得其长度为 2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．
故答案为：8．
由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为 2，故在平面图中，其长度为2 2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．
本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
13.【答案】38
【解析】解：∵2i−3是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
∴−3−2i是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的另一个根，
∴−3+2i−3−2i=−p2(−3+2i)(−3−2i)=q2，解得p=12，q=26，
故p+q=38．
故答案为：38．
由题意，可得−3−2i是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的另一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题考查了实系数方程虚根成对定理，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】34 2+ 73
【解析】解：因为c=2asinC−2ccsA，由正弦定理得sinC=2sinAsinC−2sinCcsA，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，则有sinA−csA=12，
所以(sinA−csA)2=14，得1−2sinAcsA=14，即2sinAcsA=34，
故sin2A=34；
因2sinAcsA=34，A∈(0,π)，故A∈(0,π2)，
可得sinA>0，csA>0，
由sinA−csA=12sin2A+cs2A=1，解得sinA=1+ 74csA= 7−14，
得S△ABC=12bcsinA=12×1+ 74bc，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
即b2+c2=4+ 7−12bc，
由b2+c2=4+ 7−12bc≥2bc，当且仅当b=c时等号成立，
可得bc≤85− 7=49(5+ 7)，
S△ABC≤12×1+ 74×49(5+ 7)=2+ 73，
即△ABC面积的最大值为2+ 73．
故答案为：34； 2+ 73．
先由正弦定理化边为角整理得到sinA−csA=12，两边平方即得sin2A的值；再利用同角的三角函数基本关系式求得sinA，csA的值，利用余弦定理和基本不等式求得bc的最大值，从而得到△ABC面积的最大值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)已知单位向量e1,e2的夹角为π3,a=2e1+e2,b=2e2−3e1，
则e1⋅e2=1×1×12=12，
则a⋅b=(2e1+e2)⋅(2e2−3e1)=2e22−6e12+e1⋅e2=2−6+12=−72；
(2)|a|= 4e12+4e1⋅e2+e22= 4+4×12+1= 7；
(3)|b|= 4e22−12e1⋅e2+9e12= 4−12×12+9= 7，
设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a||b|=−72 7× 7=−12，
又θ∈[0,π]，
则θ=2π3．
即a与b的夹角为2π3．
【解析】(1)结合平面向量数量积的运算求解；
(2)结合平面向量的模的运算求解；
(3)结合平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及夹角的运算，属基础题．
16.【答案】解：(1)a⋅b= 3sinxcsx+cs2x= 32sin2x+12cs2x+12=sin(2x+π6)+12，
∴f(x)=sin(2x+π6)，
解−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
(2)f(α2)=sin(α+π6)=−35，
∵α∈(−π2,0)，∴α+π6∈(−π3,0)，
∴cs(α+π6)=45，
∴sinα=sin[(α+π6)−π6]= 32sin(α+π6)−12cs(α+π6)= 32×(−35)−12×45=−3 310−25．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可求出a⋅b，进而得出f(x)=sin(2x+π6)，然后解−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，即可得出f(x)的单调递增区间；
(2)根据条件得出sin(α+π6)=−35，进而得出cs(α+π6)=45，然后根据sinα=sin[(α+π6)−π6]即可求出答案．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，复合函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)连接BC1，因为G、M分别是棱C1C、BC的中点，
故GM//BC1且GM=12BC1，

又AD1= 2，MG=12BC1= 22，AM=D1G= 12+(12)2= 52，
所以四边形AMGD1的周长= 2+ 22+2× 52=3 22+ 5．
(2)多面体CMG−DAD1为三棱台，
又S△CMG=12×12×12=18，S△DAD1=12×1×1=12，高h=CD=1，
所以VCMG−DAD1=13(12+18+ 12×18)×1=724．
【解析】(1)连接BC1，即可得到GM//BC1且GM=12BC1，再求出四边形AMGD1的周长；
(2)确定多面体CMG−DAD1为三棱台，再利用棱台的体积公式计算即可．
本题考查几何体的结构特征以及三棱台体积的计算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)选取条件①：∵bsinA+B2=csinB，
在△ABC中A+B+C=π，则sinBcsC2=sinCsinB，
又sinB≠0，即csC2=sinC，csC2=2sinC2csC2⇒2csC2(sinC2−12)=0，则csC2=0(不合题意，舍去)或sinC2=12，
故C=π3；
选取条件②：∵ccsC=a+bcsA+csB
由正弦定理得sinCcsC=sinA+sinBcsA+csB，即csC(sinA+sinB)=sinC(csA+csB)，
∴sinAcsC−sinCcsA=sinCcsB−sinBcsC，即sin(A−C)=sin(C−B)
∵△ABC为锐角三角形，∴A−C=C−B，且A+B+C=π，
故C=π3；
选取条件③：∵ 3(ccsA−b)=−asinC，
由正弦定理得 3(sinCcsA−sinB)=−sinAsinC，
∴ 3sinAcsC=sinAsinC，
∵△ABC为锐角三角形，∴sinA≠0，即tanC= 3，
故C=π3；
(2)由(1)得C=π3，角A与角B的内角平分线相交于点D，故∠ADB=2π3，c= 3，
在△ABD中由正弦定理得csin∠ADB=BDsin∠BAD=ADsin∠ABD=2，
设∠BAD=θ，则BD=2sinθ，AD=2sin∠ABD=2sin(π3−θ)，
∴S△ABD=12AD⋅BD⋅sin∠ADB= 3sinθsin(π3−θ)= 32( 3sinθcsθ−sin2θ)= 32( 32sin2θ+12cs2θ−12)= 32sin(2θ+π6)− 34，
∵△ABC为锐角三角形，∴0<2θ<π20<2π3−2θ<π2，解得π12<θ<π4，即θ∈(π12,π4)，
∴(2θ+π6)∈(π3,2π3)，则sin(2θ+π6)∈( 32,1],
故△ABD的面积取值范围为(3− 34, 34]．
【解析】(1)利用正弦定理边角互化，①中用正弦的半角公式展开计算即可；②中用三角函数的恒等变换计算即可；③中用余弦的二倍角公式计算即可；
(2)由(1)得C=π3，角A与角B的内角平分线相交于点D，故∠ADB=2π3，c= 3，设∠BAD=θ，则BD=2sinθ，AD=2sin∠ABD=2sin(π3−θ)，S△ABD=12AD⋅BD⋅sin∠ADB，利用正弦函数的性质，即可得出答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解(1)g(x)=−12sinx+ 32csx+sinx=12sinx+ 32csx，
由伴随向量的定义可知，函数g(x)的OM=(12, 32)；
(2)依题意f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
当f(x)=65时，2sin(x+π3)=65,sin(x+π3)=35，
又x∈(−π3,π6),x+π3∈(0,π2)，
所以cs(x+π3)=45，
所以sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)− 32cs(x+π3)=3−4 310；
(3)由题意，可得h(x)=2sin(2x−π3)，
若x∈(0,π2)，则2x−π3∈(−π3,2π3)，
所以h(x)=2sin(2x−π3)∈(− 3,2],
令t=h(x)∈(− 3,2]，则4h(x)+1=2⋅[a−h2(x)]可化为4t+1=2⋅(a−t2)，
即a=t2+2t+12，
因为函数y=t2+2t+12是开口向上，对称轴为t=−1的二次函数，
所以t∈(− 3,−1]时，函数y=t2+2t+12单调递减；t∈(−1,2]时，函数y=t2+2t+12单调递增，
所以ymin=(−1)2−2+12=−12，
又当t=− 3，时，y=72−2 3；当t=2时，y=172，
所以y=t2+2t+12∈[−12,172]；
因为存在x∈(0,π2)，使4h(x)+1=2⋅[a−h2(x)]成立，
所以存在t∈(− 3,2]，使a=t2+2t+12成立，
因此只需a∈[−12,172]．
【解析】(1)化简函数g(x)，再根据定义即可求得伴随向量OM；
(2)根据已知条件可知sin(x+π3)=35,cs(x+π3)=45，再利用正弦的差角公式即可得解；
(3)易知h(x)=2sin(2x−π3)，令t∈(− 3,2]，则原问题可化为4t+1=2⋅(a−t2)，即a=t2+2t+12，然后研究二次函数y=t2+2t+12的性质即可得到答案．
本题以新定义为载体，考查了三角恒等变换，三角函数的图象及性质以及三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．