2023-2024学年广东省茂名市电白区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市电白区高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简OP+PS+SQ的结果等于( )
A. QPB. OQC. SPD. SQ
2.式子cs12°sin42°−cs42°sin12°的值等于( )
A. 34B. 32C. 14D. 12
3.已知向量a=(3,4)，b=(x,−6)，且a⊥b，则实数x=( )
A. −92B. 92C. −8D. 8
4.函数f(x)= 3sin(4x+π3)−cs(4x+π3),x∈R的最小值和周期分别是( )
A. − 2,π2B. −2,π2C. − 3,πD. − 3,2π
5.以下区间中，使关于x的不等式sinx>csx成立的是( )
A. (π4,5π4)B. (0,π4)C. (π2,3π2)D. (π,2π)
6.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A. 3 3B. 2 393C. 8 33D. 392
7.已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的函数图象所对应的函数解析式是( )
A. y=f(2x−12)B. y=f(x2−12)C. y=f(x2−1)D. y=f(2x−1)
8.已知向量a=(−csα,sinα),b=(1,1),α∈[0,π]，若a⋅b=15，则cs(2α+π4)=( )
A. 17 250B. −31 250
C. 17 250或31 250D. −17 250或−31 250
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(3,−2)，b=(2,t)(t∈R)，则( )
A. 与a方向相同的单位向量的坐标为(313,−213)
B. 当t=2时，a与b的夹角为锐角
C. 当t=1时，a、b可作为平面内的一组基底
D. 当t=4时，b在a方向上的投影向量为(−313,213)
10.函数y=|sinx|,x∈(π2,2π)的图像与直线y=a(a为常数)的交点可能有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
11.设f(x)= 3asin2x+acs2x，其中a∈R，a≠0，则( )
A. f(x)相邻两个最高点之间的距离是π
B. f(x)≤2a
C. f(x)的单调递增区间是[kπ+π6,kπ+2π3](k∈z)
D. f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知点A(1,2)，B(4,−3)，点M在线段AB上，且|AM|=32|MB|，则点M的坐标为______．
13.如图，在直角坐标系中，已知圆O是以原点O为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆O上，以B为始点，沿逆时针方向匀速运动，每3秒转一圈，则该质点的纵坐标y关于时间t(单位：秒)的函数解析式是______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，BE+CE=0,DC=3DF，DE与BF相交于O.若AD=2，AO⋅(3AD−2AB)=−7，则AB的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=6，AC=2 3，BC=2 6，点D在边BC上，且∠ADC=60°．
(Ⅰ)求csB；
(Ⅱ)求线段AD的长．
16.(本小题15分)
已知向量a和b，则|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°求：
(1)a⋅b的值；
(2)|2a+b|的值；
(3)2a+b与b的夹角θ的余弦值．
17.(本小题15分)
已知角A∈(0,π),csA=45，求下面式子的值：
(1)tanA；
(2)tan(2A+π4)；
(3)tan3A．
18.(本小题17分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=3km．
(1)当∠AMN=30°时，求线段AP的长度；
(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？(即工厂与村庄的距离最远)
19.(本小题17分)
定义非零向量OA=(m,n)，若函数解析式满足f(x)=msinx+ncsx，则称f(x)为向量OA的“m−n伴生函数”，向量OA为函数f(x)的“源向量”．
(1)已知向量OA=(2,0)为函数g(x)的“源向量”，若方程g(x)=k+1−2 3|csx|在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
(2)已知点A(m,n)满足3n2+m2−4mn<0，向量OA的“m−n伴生函数”h(x)在x=a时取得最大值，当点A运动时，求tan2a的取值范围；
(3)已知向量OA的“0−1伴生函数”F(x)在x=t时的取值为 22.若△ABC中，AB= 2,csC=F(t)，点O为该三角形的外心，求OC⋅AB+CA⋅CB的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据向量的三角形法则，
可得OP+PS+SQ=OS+SQ=OQ．
故选：B．
根据向量的三角形法则，即可求解．
本题考查向量的加法运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：原式=sin42°cs12°−cs42°sin12°=sin(42°−12°)=sin30°=12．
故选：D．
根据两角差的正弦公式进行计算即可．
本题考查了两角差的正弦公式，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：a=(3,4)，b=(x,−6)，且a⊥b，
则3x−4×6=0，解得x=8．
故选：D．
结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f(x)= 3sin(4x+π3)−cs(4x+π3)
=2[ 32sin(4x+π3)−12cs(4x+π3)]
=2sin(4x+π6)，
故最小值为−2，T=π2．
故选：B．
结合辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：①当x∈[0,π2)时，由于y=sinx在(0,π2)上为增函数，
y=csx在(0,π2)上为减函数，且sinπ4=csπ4= 22，
所以当x∈(0,π4)时，sinxcsx成立．
②当x∈(π2,π]时，sinx≥0且csx<0，
结合sinπ2=1>csπ2=0，可知x∈[π2,π]时，sinx>csx恒成立．
③当x∈(π,3π2)时，y=sinx在(π,3π2)上为减函数，
y=csx在(π,3π2)上为增函数，且sin5π4=cs5π4=− 22，
所以当x∈(π,5π4)时，sinx>csx成立；x∈(5π4,3π2)时，sinx④当x∈[3π2,2π)时，由于sinx<0且csx≥0，所以sinx综上所述，使关于x的不等式sinx>csx成立的区间为(π4,5π4).
故选：A．
在一个周期范围内，分四种情况讨论正弦函数与余弦函数的单调性，比较sinx与csx的大小，从而得到所求结论．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性及其应用等知识，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，
则12bcsinA= 3，
即c=4，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA可得：a2=13，
即a= 13，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：a+b+csinA+sinB+sinC=asinA= 13 32=2 393，
故选：B．
由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：图1的横坐标先缩短为原来的12，再向右平移12个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，
所以图2对应的函数解析式为y=f(2x−1)．
故选：D．
根据函数图象的伸缩和平移变换法则，即可得解．
本题考查三角函数的图象变换，理解函数图象的伸缩和平移变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为向量a=(−csα,sinα),b=(1,1),α∈[0,π]，
若a⋅b=15，则−csα+sinα=15，
两边平方得，1−2sinαcsα=125，
所以sinαcsα=1225，
所以sinα=45，csα=35，
所以cs2α=2cs2α−1=2×925−1=−725，sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425，
cs(2α+π4)= 22(cs2α−sin2α)= 22×(−725−2425)=−31 250．
故选：B．
结合向量数量积的坐标表示及同角基本关系先求出sinα，csα，然后结合和差角公式即可求解．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，同角基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，与a方向相同的单位向量为a|a|=1 13(3,−2)=(3 1313,−2 1313)，故A错误；
对于B，当t=2时，a=(3,−2)，b=(2,2)，cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=6−4 13×2 2= 2626，
所以，a与b的夹角为锐角，故B正确；
对于C，当t=1时，a=(3,−2)，b=(2,1)，则3×1≠−2×2，则a与b不平行，a、b可作为平面内的一组基底，故C正确；
对于D，设a与b的夹角为θ，则b在a方向的投影向量为|b|csθ⋅a|a|=(a⋅b)a|a|2，
当t=4时，a=(3,−2)，b=(2,4)，a⋅b=3×2−2×4=−2，|a|= 13，
所以(a⋅b)a|a|2=−213(3,−2)=(−613,413)，故D错误．
故选：BC．
根据与a方向相同的单位向量为a|a|可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出a、b不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：作出y=|sinx|,x∈(π2,2π)的图像，结合函数图像可知，y=a与其的交点可能有0个，1个，3个．
故选：ABD．
结合正弦函数的图象及函数图象的变换即可求解．
本题主要考查了正弦函数图象的变换，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：f(x)= 3asin2x+acs2x=2asin(2x+π6)，
所以f(x)的最小正周期为π，
对于A，f(x)相邻两个最高点之间的距离为T=π，故正确；
对于B，因为a≠0，所以f(x)的值域为[−2|a|,2|a|]，所以f(x)≤2|a|，故错误；
对于C，当a>0时，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z，
同理可求，当a<0时，f(x)的单调递增区间是[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)，故错误；
对于D，f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到的函数f(x+π6)=2asin(2x+π2)=2acs2x，为偶函数，故图象关于y轴对称，故正确．
故选：AD．
利用辅助角公式化简f(x)=2asin(2x+π6)，结合正弦函数的图象特征以及性质逐一对命题进行判断即可求解．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】(145,−1)
【解析】解：因为点M在线段AB上，且|AM|=32|MB|，则有AM=35AB，
又点A(1,2)，B(4,−3)，设M(x,y)，
则有(x−1,y−2)=35(3,−5)，即x−1=95y−2=−3，解得x=145y=−1，
故点M的坐标为(145,−1)．
故答案为：(145,−1)．
根据平面向量的线性运算及坐标运算，即可求得结论．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
13.【答案】y=4sin(2π3t+π3)，t∈[0,+∞)
【解析】解：由题意知，A=4，T=3，所以ω=2πT=2π3，
又φ=π3，所以质点的纵坐标y关于时间t的函数解析式是：
y=4sin(2π3t+π3)，t∈[0,+∞)．
故答案为：y=4sin(2π3t+π3)，t∈[0,+∞)．
根据题意求出A、T和ω、φ，即可写出函数解析式．
本题考查了三角函数模型应用问题，是基础题．
14.【答案】4
【解析】解：在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，CF=2FD,DE与BF相交于O，
设DO=λDE(0<λ<1),BO=μBF(0<μ<1)，
则AD+DO=AD+λDE=AD+λ(AB−12AD)=(1−12λ)AD+λAB，
AB+BO=AB+μBF=AB+μ(AD−23AB)=(1−23μ)AB+μAD，
由AO=AD+DO=AB+BO，可得(1−23μ)AB+μAD=(1−12λ)AD+λAB，
则1−12λ=μ1−23μ=λ，解之得λ=12μ=34，则AO=AD+DO=34AD+12AB，
则AO⋅(3AD−2AB)=(34AD+12AB)⋅(3AD−2AB)=94|AD|2−|AB|2=−7，
又AD=2，则9−|AB|2=−7，解得|AB|=4，即AB的长为4．
故答案为：4．
先以AB、AD为基底表示AO，再利用向量的数量积把AO⋅(3AD−2AB)=−7转化为关于|AB|的方程，即可求得AB的长．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)根据余弦定理：csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=62+(2 6)2−(2 3)22×6×2 6= 63，
(Ⅱ)因为00，
sinB= 1−cs2B= 1−( 63)2= 33，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADB=120°，
根据正弦定理得：ADsinB=ABsin∠ADB，
∴AD=AB⋅sinBsin∠ADB=6× 33 32=4．
【解析】本题考查利用正余弦定理，同角的三角函数的关系，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．
(Ⅰ)直接根据余弦定理即可求出；
(Ⅱ)根据同角三角函数的关系和正弦定理即可求出．
16.【答案】解：(1)∵|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°，
∴a⋅b=2×2×12=2；
(2)∵(2a+b)2=4a2+4a⋅b+b2=4×4+4×2+4=28，
∴|2a+b|=2 7；
(3)∵(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2×2+4=8，
∴cs<2a,b>=(2a+b)⋅b|2a+b||b|=82 7×2=2 77．
【解析】(1)根据平面向量的数量积的定义即可求解；
(2)根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
(3)根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
17.【答案】解：(1)因为A∈(0,π),csA=45，
所以sinA= 1−cs2A=35，tanA=sinAcsA=34；
(2)由(1)得，tan2A=2tanA1−tan2A=321−916=247，
tan(2A+π4)=1+tan2A1−tan2A=1+2471−247=−3117；
(3)tan3A=tan(A+2A)=tanA+tan2A1−tanAtan2A=34+2471−34×247=−11744．
【解析】(1)结合同角基本关系即可求解；
(2)结合二倍角公式及和差角公式即可求解；
(3)结合两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为∠AMN=30°，∠BAC=60°且PM=PN=MN=3，
故∠PMN=60°，故∠PMA=∠MNA=90°，
故AM=MNcs30∘=2 3，则AP= AM2+PM2= 21；
(2)设∠AMN=θ，由题意∠AMP=θ+60°，
在△AMN中，由正弦定理MNsin∠MAN=AMsin∠ANM，
则AM=MN⋅sin∠ANMsin∠MAN=2 3sin∠ANM=2 3sin(θ+60°)
在△AMP中，由余弦定理可得：AP2=AM2+MP2−2AM⋅MP⋅cs∠AMP=12sin2(θ+60°)+9−12 3sin(θ+60°)cs(θ+60°)=12×1−cs2(θ+60°)2+9−6 3sin2(θ+60°)=−6[ 3sin(2θ+120°)+cs(2θ+120°)]+15=15−12sin(2θ+150°)，
又由(1)可得0°<θ<120°，
则2θ+150°∈(150°,390°)，当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，
AP2取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时AN=AM=3km．
【解析】(1)根据题意分析可得∠PMA=∠MNA=90°，结合直角三角形的性质，即可求解；
(2)在△AMN中，利用正弦定理进行边化角可得AM=2 3sin(θ+60°)，在△AMP中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得AP2=15−12sin(2θ+150°)，以2θ+150°为整体结合正弦函数求AP2的最大值．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为向量OA=(2,0)为函数g(x)的“源向量”，所以g(x)=2sinx，
则方程2sinx=k+1−2 3|csx|在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，
所以k=2sinx+2 3|csx|−1在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，
令I(x)=2sinx+2 3|csx|−1，x∈[0,2π]，
①当x∈[0,π2]∪[3π2,2π]时，
I(x)=2sinx+2 3csx−1=4sin(x+π3)−1，
②当x∈(π2,3π2)时，I(x)=2sinx−2 3csx−1=4sin(x−π3)−1，
所以I(x)=4sin(x+π3)−1,x∈[0,π2]∪[3π2,2π]4sin(x−π3)−1,x∈(π2,3π2)，
其图象为：

结合A(0,2 3−1)，B(π2,1)，C(2π,2 3−1)，
故当k=2sinx+2 3|csx|−1在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根时，
k的取值范围为(1,2 3−1)∪(2 3−1,3)．
(2)由题意得：
h(x)=msinx+ncsx= m2+n2sin(x+φ)，其中tanφ=nm，
当x+φ=π2+2kπ(k∈Z)，即a=−φ+π2+2kπ(k∈Z)时，h(x)取最大值，
故tana=tan(−φ+π2+2kπ)=1tanϕ=mn，
则tan2a=2tana1−tan2a=2nm−mn，
令nm=t，由于3n2+m2−4mn+1=0，故m2(3n2m2+1−4nm)+1=0，
即(3t2−4t+1)m2+1=0，则Δ=−4(3t2−4t+1)>0，解得13所以tan2a=2t−1t(13所以t−1t∈(−83,0)，所以tan2a的取值范围为(−∞,−34)；
(3)由题意得，F(x)=csx，则cst= 22，
在三角形ABC中，AB= 2，csC=F(t)=cst= 22，因此C=π4，
设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理，ABsinC=2R=2，故R=1，
所以|OA|=|OB|=|OC|=1，
OC⋅AB+CA⋅CB=OC⋅(OB−OA)+(OA−OC)⋅(OB−OC)
=−2OC⋅OA+OA⋅OB+OC2=−2cs∠AOC+cs∠AOB+1，
C=π4,∠AOB=2C=π2,cs∠AOB=csπ2=0，
代入得：OC⋅AB+CA⋅CB=1−2cs∠AOC，
所以当∠AOC=π时，OC⋅AB+CA⋅CB取得最大值3．
【解析】(1)根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；
(2)根据题中条件求得a的值，继而求得tana，利用二倍角公式求得tan2a的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；
(3)根据条件可先求得C=π4，继而根据正弦定理可得角形ABC外接圆半径R=1，则|OA|=|OB|=|OC|=1，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可．
本题考查三角函数性质，参变分离，数形结合，换元法构造函数，属于难题．