2023-2024学年福建省南平市浦城县高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省南平市浦城县高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2≤4}，集合B={x|x∈N*且x−1∈A}，则B=( )
A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4}
2.(3x−2)4展开式中的第3项为( )
A. −216B. −216xC. 216D. 216x2
3.已知随机变量X～N(5,σ2)，且P(X≤2)=0.4，则P(X<8)=( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7
4.不等式x−12x+1≥0解集为( )
A. (−∞,−12)∪[1,+∞)B. (−∞,−12)∪(1,+∞)
C. (−12,1)D. (−12,1]
5.某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频.一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有( )
A. 192种B. 168种C. 72种D. 144种
6.函数f(x)=x2−4|x|+3的单调递增区间是( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,−2)和(0,2)
C. (−2,2)D. (−2,0)和(2,+∞)
7.抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是( )
A. 17B. 78C. 18D. 67
8.已知函数f(x)=2x2x2−4x+8，(x∈R)，以下结论正确的( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=4对称
B. 函数f(x)的图象关于点(2,2)中心对称
C. 函数f(x)没有最大值
D. 若方程f(x)=m有两个解，则m∈(0,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=b(x−a)2(x−b)的图象可以是( )
A. B.
C. D.
10.下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有( )
A. 图①中的y和x相关程度很强B. 图②中的y和x成正相关关系
C. 图③中的y和x成负相关关系D. 图④中的y和x成非线性相关关系
11.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“1”的概率均为p.记发射信号“1”的次数为X，记X为奇数的概率为f1，X为偶数的概率为f2，则下列说法中正确的有( )
A. 当n=3，p≥12时，P(X≥2)≤12
B. p=12时，有f1=f2
C. 当n=10，p=45时，当且仅当X=8时概率最大
D. 0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a∈R，且“x2x”的充分不必要条件，则a的取值范围是______．
13.(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(x≠1，且x≠0)的展开式中x2的系数为______．
14.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于10个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，⋯，10)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件Ak={第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)=1，P(A2)=0，则P(A3)= ______，P(A10)= ______(第二空精确到0.01)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知幂函数f(x)=(3m2−2m)xm(m∈R)在定义域上不单调．
(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若f(a+1)+f(2a−3)<0，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．
(1)请补全2×2列联表，试根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差．
附表：
则：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
若正数a，b满足ab=4a+b+t，t∈R．
(1)当t=0时，求a+4b的最小值；
(2)当t=5时，求ab的取值范围．
18.(本小题17分)
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：
作出这组数据的散点图发现：y(cm)与x(天)之间近似满足关系式y=b x+a，其中a，b均为大于0的常数.(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对a，b作出估计，并求出y关于x的经验回归方程；
(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于y−的点的个数为ξ，其中y−为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量ξ的分布列和数学期望．
附：对于一组数据(v1,μ1)，(v2,μ2)，…，(vn,μn)，其回归直线方程μ =α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β =i=1nvi⋅μi−nv−⋅μ−i=1nvi2−nv−2，α =μ−−βv−．
19.(本小题17分)
某人从A地到B地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n个路口，第二条路线上有m个路口．
(1)若n=2，m=2，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由．
(2)已知：随机变量Xi服从两点分布，且P(xi=1)=1−P(xi=0)=P，则E(i=1nXi)=i=1npi，且E[(i=1nXi)2]=i=1npi+2i≠j pipj(i,j=1,2,⋯,n).若第一条路线的第i个路口遇到红灯的概率为12i，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A=[−2,2]，又B={x|x∈N*且x−1∈A}，
∴x−1∈[−2,2]，∴x∈[−1,3]，又x∈N*，
∴x=1，2，3，∴B={1,2,3}，
故选：C．
先化简集合A，再根据集合B的条件化简B即可得解．
本题考查集合表的描述表示法，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由二项式定理可知，(3x−2)4展开式中的第3项为T3=C42⋅(3x)2⋅(−2)2=216x2．
故选：D．
利用二项式定理求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵X～N(5,σ2)，且P(X≤2)=0.4，
∴P(X≥8)=P(X≤2)=0.4，
∴P(X<8)=1−P(X≥8)=1−0.4=0.6．
故选：C．
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，不等式x−12x+1≥0，
则有(x−1)(2x+1)≥0且2x+1≠0，
解可得：x<−12或x≥1，
则不等式的解集为(−∞,−12)∪[1，+∞)；
故选：A．
根据题意，分析可得原不等式变形可得(x−1)(2x+1)≥0且2x+1≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，分两步进行分析：
第一步：从4个视频中选3个有C43种方法，2篇文章全选有C22种方法，2篇文章要相邻则可以先“捆绑”看成1个元素，
四个学习内容全排列有A44种方法，
第二步：需要对“捆绑”元素进行“松绑”全排列A22，
故满足题意的学法有2222C43CA44A=192种．
故选：A．
利用“捆绑法”，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=x2−4|x|+3，定义域为R，
所以f(−x)=(−x)2−4|−x|+3=x2−4|x|+3=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−4x+3，开口向上，对称轴x=2的抛物线，
所以x∈[0,2)时，函数单调递减，x∈(2,+∞)时，函数单调递增，
由偶函数的对称性，可得函数的单调递增区间为(−2,0)和(2,+∞)．
故选：D．
由函数的解析式可得f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，求出x≥0时，函数的单调递增区间，再由偶函数的对称性，可得函数在R上的单调递增区间．
本题考查偶函数的性质及函数的单调递增区间的求法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意可知抛掷三枚硬币，则其样本空间包含8个等可能的样本点，其中有一枚正面朝上包含7个样本点，
记事件A表示“有一枚正面朝上”，事件B表示“另外两枚也正面朝上”，
则AB为“三枚都正面朝上”，
所以P(A)=78，P(AB)=18，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1878=17．
即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17．
故选：A．
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：对于A，因为f(4+x)=2(x+4)2(x+4)2−4(x+4)+8，
f(4−x)=2(4−x)2(4−x)2−4(4−x)+8≠f(4+x)，所以函数f(x)的图象不关于直线x=4对称，故错误；
对于B，因数f(x+2)−2=2(x+2)2(x+2)2−4(x+2)+8−2=2(x+2)2x2+4=8xx2+4，为奇函数，所以y=f(x+2)−2关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(2,2)中心对称，故正确；
对于C，当x=0时，f(x)=0，
当x≠0时，f(x)=2x2x2−4x+8=28x2−4x+1=28⋅(1x)2−4⋅1x+1，
因为1x≠0，所以8⋅(1x)2−4⋅1x+1∈[12,+∞)，
所以28⋅(1x)2−4⋅1x+1∈(0,4]，
所以f(x)的最大值为4，故错误；
对于D，因为x2−4x+8=(x−2)2+4≥4，
由f(x)=m可得2x2=mx2−4mx+8m，
即(m−2)x2−4mx+8m=0，
若m=2，则方程有唯一的解，x=2，不满足题意，
若m≠0，则有Δ=16m2−32m(m−2)=−16m(m−4)>0，
解得0故选：B．
对于A，只需判断f(4+x)=f(4−x)是否成立，即可判断；
对于B，判断f(x+2)−2是否为奇函数，即可判断；
对于C，将函数化简为f(x)=28⋅(1x)2−4⋅1x+1，即可求出函数的值域为(0,4]，即可判断；
对于D，由f(x)=m可得(m−2)x2−4mx+8m=0，由一元二次方程的根可解得0本题考查了函数的奇偶性、对称性及值域，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由函数解析式可知，a是不变号零点，b是变号零点，
A.由图可知，变号零点是0，则b=0，则f(x)=0，不成立，故A错误；
B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则b<0，a=0，此时f(x)=b(x−b)x2，
当x0，当b0时，f(x)<0，满足图象，故B正确；
C.由图可知，b>a>0，f(x)=b(x−b)(x−a)2，当xb时，f(x)>0，满足图象，故C正确；
D.由图可知，a0，与图象不符，所以D错误．
故选：BC．
首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项．
本题主要考函数图象的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于图①中的散点杂乱，无规律，所以y和x相关程度极弱，所以A错误；
对于图②中，散点分布在某条直线的附近，且呈上升趋势，所以y和x成正相关关系，所以B正确，
对于图③中，散点分布在某条直线的附近，且呈下降趋势，所以y和x成负相关关系，所以C正确，
对于图④中，散点分布在某条曲线附近，所以v和x成非线性相关关系，所以D正确，
故选：BCD．
根据散点图的分布逐个分析判断即可．
本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意得发射信号“1”的次数为X，则X∼B(n,p)，
A选项，当n=3，X可取0，1，2，3，
所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C32(1−p)p2+C33p3=3p2−2p3，
因为12≤p<1，所以34≤3p2<3，−2<−2p3≤−14，所以−54<3p2−2p3<114，故A项错误；
B选项，当p=12时，即每次发射信号“1”和发射信号“0”的概率相等，所以X为奇数的概率和X为偶数的概率相等，即f1=f2，故B正确；
C选项，当n=10，p=45，此时P(X=k)=C10k(15)10−k(45)k，0≤k≤10，k∈Z，
当x=k取得概率最大时，即P(X=k)≥P(X=k+1)P(X=k)≥P(X=k−1)，即C10k(15)10−k(45)k≥C10k+1(15)9−k(45)k+1C10k(15)10−k(45)k≥C10k−1(15)11−k(45)k−1，解得k=8，故C项正确；
D选项，由题知当0由二项式的均值公式E(X)=np，当概率p一定时，n越大，则E(X)的值越大，所以X能够出现奇数的概率f1也增大，故D正确．
故选：BCD．
由题意知发射信号“1”的次数为X和概率p符合二项分布X∼B(n,p)，然后对各项分别求解即可判断．
本题考查离散型随机变量的概率和期望，是中档题．
12.【答案】(−∞,0]
【解析】解：根据题意，设集合A={x|x2x}，则B={x|x<0或x>2}，
若“x2x”的充分不必要条件，则A⫋B，
则有a≤0，即a的取值范围为(−∞,0]．
故答案为：(−∞,0]．
根据题意，设集合A={x|x2x}，求出集合B，分析可得A⫋B，由此分析可得答案．
本题考查充分必要的判断，涉及集合间的包含关系，属于基础题．
13.【答案】Cn+13
【解析】解：二项式(1+x)n的展开式中x2的系数为Cn2，
∴(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(x≠1，且x≠0)的展开式中x2的系数为：
C22+C32+C42+…+Cn2=C33+C32+C42+…+Cn2=C43+C42+…+Cn2=…=Cn3+Cn2=Cn+13．
故答案为：Cn+13．
由题意可知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(x≠1，且x≠0)的展开式中x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，再结合组合数的性质求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了组合数的性质，属于基础题．
14.【答案】19 0.10
【解析】解：A2={第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第一次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单．
所以P(A2)=0，A3={第3次取单恰好是从1号店取单}，
因此P(A3)=P(A2−A3)=P(A2−)P(A3|A2−)=[1−P(A2)]19=19．
根据以上方法可得P(Ak+1)=P(Ak−Ak+1)=19[1−P(Ak)]，k∈Z．
根据上式可得P(A4)=[1−P(A3)]⋅19=881，
P(A5)=[1−P(A4)]⋅19=73729，
以此类推，可得
P(A10)=19−19P(A9)=19−19[19−19P(A8)]=19−192+192P(A8)
=19−192+192[19−19P(A7)]=19−192+193−193P(A7)
=19−192+193−193[19−19P(A6)]=19−192+193−194+194P(A6)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=19−192+193−194+195−197−197P(A3)
=19−192+193−194+195−196+197−198=19[1−(−19)8]1−(−19)=110(1−198)≈0.10．
故答案为：19，0.10．
本题利用对立事件概率计算公式、条件概率可解决．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、条件概率、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于较难题．
15.【答案】解：(1)由题意3m2−2m=1，解得m=−13或m=1，
当m=1时，f(x)=x，
函数f(x)=x在R上单调递增，不合题意；
当m=−13时，f(x)=x−13，
函数f(x)=x−13的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
函数f(x)=x−13在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，
但f(−1)=−1，f(1)=1，
所以函数f(x)=x−13在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不单调，符合题意，
所以f(x)=x−13，
因为函数f(x)=x−13的定义域关于原点对称，
且f(−x)=(−x)−13=−x−13=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)由f(a+1)+f(2a−3)<0及f(x)为奇函数，
可得f(a+1)<−f(2a−3)=f(3−2a)，
即(a+1)−13<(3−2a)−13，
而f(x)在(−∞,0)上递减且恒负，在(0,+∞)上递减且恒正，
所以a+1>03−2a>0a+1>3−2a或a+1<03−2a<0a+1>3−2a或a+1<03−2a>0，
解得{a|a<−1或23【解析】(1)由幂函数的定义可得m=−13或m=1，结合函数f(x)的单调性排除增根，由此确定f(x)的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
(2)利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解．
本题主要考查了幂函数性质的应用，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)根据题意，补全2×2列联表如下：
设零假设H0：性别与课间经常进行体育活动没有关联，
则χ2=100×(30×10−20×40)270×30×50×50≈4.762>3.841，
所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别与课间经常进行体育活动是否有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
(2)由题意可知，全校的男生中经常进行体育活动者的频率为2050=25，则X～B(4,25)，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X=0)=(35)4=81625，P(X=1)=C41×25×(35)3=216625，P(X=2)=C42×(25)2×(35)2=216625，P(X=3)=C43×(25)3×35=96625，P(X=4)=(25)4=16625，
所以X的分布列为：
所以E(X)=4×25=85，D(X)=4×25×35=2425．
【解析】(1)根据题意补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可；
(2)由题意可知，X～B(4,25)，所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，利用二项分布的概率公式、期望公式和方差公式求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当t=0时，4a+b=ab，
所以4b+1a=1，
所以a+4b=(a+4b)(1a+4b)=17+4ba+4ab≥17+2 4ba⋅4ab=25，
当且仅当4ab=4ba且ab=4a+b，即a=b=5时取等号；
(2)当t=5时，ab=4a+b+5≥2 4ab+5，当且仅当b=4a，即a=52，b=10时取等号，
解得ab≥25，
故ab的取值范围为[25,+∞)．
【解析】(1)由已知可得4b+1a=1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求；
(2)由已知，结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)令μ= x，则y=bμ+a，根据已知数据表得到如下表：
μ−=1+2+3+4+5+6+77=4，y−=0+4+7+9+11+12+137=8，
通过上表计算可得：b =i=1nμiyi−nμ−⋅y−i=1nμ2−nu−2=283−7×4×8140−7×16=5928，
因为回归直线y =bμ+a过点(μ−,y−)，
所以a =y−−b μ−=−37，
故y关于x的回归方程y​=5928 x−37；
(2)这7天中幼苗高度大于y−=8的有4天，ξ服从超几何分布，其中N=7，M=4，n=4，
P(ξ=1)=435，P(ξ=2)=1835，P(ξ=3)=1235，P(ξ=4)=135，
所以随机变量ξ的分布列为：
随机变量ξ的期望值E(ξ)=4×47=167．
【解析】(1)令μ= x，则y=bμ+a，变为线型回归问题，先根据已知数据得到(μ,y)的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算a和b的估计值，求得y关于μ的线性回归方程，进而得到y关于x的回归方程；
(2)利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量ξ的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值．
本题主要考查线性回归方程，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)应选择第一条路线，理由如下：
设走第一、二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量X1，X2，则X1=0，1，2；X2=0，1，2；
P(X1=0)=(13)2=19，P(X1=1)=C21×23×13=49，P(X1=2)=C22⋅(23)2=49，
所以E(X1)=49+89=43；
又因为P(X2=0)=14×25=110，P(X2=1)=34×25+14×35=920，P(X2=2)=34×35=920；
所以E(X2)=920+2×920=2720；
因为43<2720，所以应选择第一条路线．
(2)设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X，
所以E(X)=E(i=1nXi)=i=1npi，
E(X2)=E[(i=1nXi)2]=i=1npi+2i≠j pipj(i,j=1,2,⋯,n)．
设随机变量Y，Y取值为Yi(i=1,2,3,⋯,n)，其概率分别为qi，且i=1nqi=1，
D(Y)=i=1n{[Yi−E(Y)]2qi}=i=1n{Yi2⋅qi−2E(Y)⋅Yiqi+[E(Y)]2⋅qi}=i=1nYi2qi−2E(Y)⋅i=1n(Yiqi)+[E(Y)]2⋅i=1nqi=E(Y2)−[E(Y)]2，
所以D(X)=E(X2)−(E(X))2=i=1npi+2i≠j pipj−(i=1npi)2=i=1npi+2i≠j pipj−(i=1npi2+2i≠j pipj)=i=1n(pi−pi2)；
又因为pi=12i，所以D(X)=i=1n12i−i=1n14i=12×(1−12n)1−12−14×(1−14n)1−14=23+13×4n−12n．
【解析】(1)设选择第一条路线和第二条路线遇到红灯次数分别为随机变量X1，X2，计算对应的概率，求出数学期望，比较大小即可．
(2)设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X，计算E(X)和E(X2)，设随机变量Y，Y取值为Yi(i=1,2,3,⋯,n)，其概率分别为qi，且i=1nqi=1，计算D(Y)，D(X)，由pi=12i，计算D(X)的值．
本题考查了离散型随机变量的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．性别
体育活动
合计
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
男
女
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度ycm
0
4
7
9
11
12
13
性别
体育活动
合计
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
男
30
20
50
女
40
10
50
合计
70
30
100
X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
x
1
4
9
16
25
36
49
μ= x
1
.2
3
4
5
6
7
y
0
4
7
9
11
12
13
ξ
1
2
3
4
P
435
1835
1235
35