2023-2024学年福建省莆田市仙游县六校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市仙游县六校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=x4+ax，若Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=8，则a=( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
2.已知四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMA(λ>0)，N为BC中点，若MN=−14a+12b+12c，则λ=( )
A. 3
B. 2
C. 12
D. 13
3.高二甲乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑4个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)=( )
A. 716B. 78C. 37D. 67
4.已知a=(2,0,1)，b=(3,2,−5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 15(3,2,−5)B. 138(3,2,−5)C. 15(2,0,1)D. 138(2,0,1)
5.函数f(x)=exx2−3在[2,+∞)上的最小值为( )
A. e36B. e2C. e34D. 2e
6.若函数f(x)=lnx+ax2−2在区间(12,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
( )
A. (−∞,−2]B. (−18,+∞)C. (−2,−18)D. (−2,+∞)
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BD1上，且D1P=λD1B(0<λ<1).当∠APC为锐角时，则实数λ的取值范围为( )
A. (0,12)B. (12,1)C. (0,13)D. (13,1)
8.若函数f(x)=12e2x−mex−m2x2有两个极值点，则实数m的取值范围是( )
A. (12,+∞)B. (1,+∞)C. (e2,+∞)D. (e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量X～N(30,62)，Y～N(34,22)，则下列命题中正确的是( )
A. 若P(X≤27)=a，则P(30≤X<33)=0.5−a
B. 随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“矮胖”
C. P(X≤34)>P(Y≤34)
D. P(X≤24)10.若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,3π4)是凸函数的是( )
A. f(x)=−x3+3x+4B. f(x)=lnx+2x
C. f(x)=sinx+csxD. f(x)=xex
11.已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有( )
A. 函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x−1
B. 增区间为(−∞,e)
C. f(x)的极大值为1e
D. 方程f(x)=−1有两个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，该电路由三个元件组成，每个元件之间能否正常运行是相互独立的，已知元件A，B，C能正常运行的概率分别为0.3、0.4、0.5，则该电路能正常运行的概率是______．
13.若函数f(x)=(x2−ax+a)ex在区间(−1,0)内单调递减，则实数a的取值范围是______．
14.正四棱锥S−ABCD中，SA=AB=2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，AB=2，BC=2 2，△PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，O，F分别是BC，PC的中点，AC与BD交于点E．
(1)求证：BD⊥平面PAO；
(2)平面OEF与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成角θ的大小．
16.(本小题15分)
某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E(X)和D(X)；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1时都取得极值．
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[−1,2]，不等式f(x)18.(本小题17分)
体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次.已知甲同学每次投中的概率为12且每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为23且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−1+aex.(a∈R,e为自然对数的底数)
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线平行于x轴，求a的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值；
(Ⅲ)当a=1时，若直线l：y=kx−1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据导数的定义得：Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)，即f′(1)=8，
因为f′(x)=4x3+a，所以f′(1)=4+a=8，
解得a=4．
故选：C．
根据题意得Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)，再求导求解即可解出．
本题考查了导数的定义，学生的数学运算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：MN=MO+ON=−λMA+12(OB+OC)=−λ1+λOA+12OB+12OC=−λ1+λa+12b+12c，
又MN=−14a+12b+12c，
∴λ1+λ=14，解得λ=13．
故选：D．
根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及空间向量基本定理即可得解．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及空间向量基本定理，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：事件A包含的基本事件的个数为4×4−3×3=7，
事件A，B同时发生包含的基本事件的个数为1×3×2=6，
则P(B|A)=n(AB)n(A)=67．
故选：D．
先求出事件A以及事件A，B同时发生包含的基本事件的个数，再由条件概率公式P(B|A)=n(AB)n(A)求解即可．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的投影问题，空间向量数量积的坐标运算以及空间向量模的坐标运算，解题的关键是掌握空间向量的投影向量的求解方法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
结合向量b在向量a上的投影向量的求解公式即可求得答案．
【解答】
解：a=(2,0,1)，b=(3,2,−5)，
所以a⋅b|a|=2×3+0×2+1×(−5) 4+1= 55，
所以向量b在向量a上的投影向量是 55×a|a|= 55×1 5a=15a=15(2,0,1)．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是基础题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可．
【解答】
解：f′(x)=ex(x−3)(x+1)(x2−3)2(x≥2)，
令f′(x)>0，解得：x>3，
令f′(x)<0，解得：2≤x<3，
故f(x)在[2,3)递减，在(3,+∞)递增，
故f(x)最小值=f(3)=e36，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的导数的综合应用，属中档题．
将问题转化为在区间12,2上存在子区间使得a≥−12x2，即可求解．
【解答】
解：∵函数f(x)在区间12,2上存在单调增区间，
∴函数f(x)在区间12,2上存在子区间使得不等式f′(x)≥0成立，
f′(x)=1x+2ax，
由1x+2ax≥0，则在区间12,2上存在子区间使得a≥−12x2，
令h(x)=−12x2，h(x)在12,2为增函数，hx>h12=−2，
所以a>−2．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
则D1B=(1,1,−1)，所以D1P=λD1B=(λ,λ,−λ)，
所以PA=PD1+D1A=(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,−λ,λ−1)，
PC=PD1+D1C=(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1)，
由图可知，∠APC≠0，
所以∠APC为锐角等价于cs∠APC>0，
所以PA⋅PC=(1−λ,−λ,λ−1)⋅(−λ,1−λ,λ−1)=(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)2
=(λ−1)(3λ−1)>0，
又因为0<λ<1，所以0<λ<13．
故选：C．
建立空间直角坐标系，将∠APC为锐角转化为cs∠APC>0，利用向量的坐标运算求解即可．
本题考查空间向量的线性运算和坐标运算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，f′(x)=e2x−mex−mx有两个变号零点，
令f′(x)=0，即e2x−mex−mx=0，则e2x=m(ex+x)，
显然m≠0，则1m=ex+xe2x，
设g(x)=ex+xe2x，则g′(x)=(ex+1)⋅e2x−(ex+x)⋅2e2xe4x=1−ex−2xe2x，
设h(x)=1−ex−2x，则h′(x)=−ex−2<0，
∴h(x)在R上单调递减，
又h(0)=0，
∴当x∈(−∞,0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0,+∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)max=g(0)=1，且x→−∞时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→0，
∴0<1m<1，解得m>1．
故选：B．
依题意，f′(x)=e2x−mex−mx有两个变号零点，由f′(x)=0，可得1m=ex+xe2x，设g(x)=ex+xe2x，求出函数g(x)的单调性及取值情况即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：随机变量X～N(30,62)，Y～N(34,22)，
对于A，当P(X≤27)=a时，P(30≤X<33)=P(27对于B，由于6<2，则随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“矮胖”，故B正确；
对于C，P(X≤34)=P(X≤30)+P(30P(X≤30)=0.5=P(Y≤34)，故C正确；
对于D，P(X≤24)=0.5−P(30−6而P(30−6P(Y≤30)，故D错误．
故选：ABC．
根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=−x3+3x+4，则f′(x)=−3x2+3，f″(x)=−6x，在区间(0,3π4)上，f″(x)<0，是区间(0,3π4)上的凸函数；
对于B，f(x)=lnx+2x，则f′(x)=1x+2，f″(x)=−1x2，在区间(0,3π4)上，f″(x)<0，是区间(0,3π4)上的凸函数；
对于C，f(x)=sinx+csx，则f′(x)=csx−sinx，f″(x)=−sinx−csx=−(sinx+csx)=− 2sin(x+π4)，在区间(0,3π4)上，x+π4∈(π4,π)，则有f″(x)= 2sin(x+π4)<0，是区间(0,3π4)上的凸函数；
对于D，f(x)=xex，则f′(x)=ex+xex，f″(x)=2ex+xex，在区间(0,3π4)上，f″(x)>0，不是区间(0,3π4)上的凸函数；
故选：ABC．
根据题意，由“凹函数”的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意理解“凹函数”的定义，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：∵f(x)=lnxx，x>0，
∴f′(x)=1−lnxx2，x>0，
∴当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
且x→0时，f(x)→−∞；x→+∞时，f(x)→0，
∴y=f(x)与y=−1只有一个交点，即方程f(x)=−1有一的解，∴D选项错误；
∴f(x)的单调增区间为(0,e)，∴B选项错误；
f(x)的极大值为f(e)=1e，∴C选项正确；
又f(1)=0，f′(1)=1，
∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x−1，∴A选项正确；
故选：AC．
先求导，再利用导数研究函数的单调性与极值，从而可分别求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】0.29
【解析】解：系统正常工作是指元件C正常工作，同时元件A和B至少1个正常工作，而A和B至少1个正常工作的对立事件是A和B同时不能正常工作，
系统正常工作的概率为P=(1−0.6×0.7)×0.5=0.29，
故答案为：0.29．
系统正常工作是指元件C正常工作，同时元件A和B至少1个正常工作，而A和B至少1个正常工作的对立事件是A和B同时不能正常工作，由此能求出系统正常工作的概率．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
13.【答案】(−∞,1]
【解析】解：f′(x)=(2x−a)ex+(x2−ax+a)ex=(x2−ax+2x)ex，
因为f(x)在区间(−1,0)内单调递减，
所以f′(x)≤0在(−1,0)上恒成立，即g(x)=x2−(a−2)x≤0在(−1,0)上恒成立，
g(x)=x2−(a−2)x≤0的解只能为a−2≤x≤0，所以a−2≤−1，a≤1，即实数a的取值范围是(−∞,1]．
故答案为：(−∞,1]．
求出导函数f′(x)，由f′(x)≤0在(−1,0)上恒成立可得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】 33
【解析】解：因为在正四棱锥S−ABCD中，SA=AB=2，
所以正四棱锥S−ABCD的高为 2，
在三棱锥S−ABC中，S△ABC=2，
所以VS−ABC=13×2× 2=2 23，
又在三棱锥A−SBC中，S△SBC= 3，
由等体积法，VS−ABC=VA−SBC，
设点A到平面SBC的距离为h，
所以13× 3×h=2 23，解得h=2 63，
所以直线AC与平面SBC所成角的正弦值为hAC=2 632 2= 33．
故答案为： 33．
利用等体积法VS−ABC=VA−SBC，求出点A到平面SBC的距离，然后利用边角关系求解直线AC与平面SBC所成角的正弦值即可．
本题考查了直线与平面所成角的求解，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)证明：因为△PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO⊥BC，
又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD，PO⊥BD，
因为BD⋅AO=(BC+BA)⋅(12BC−BA)=12BC2−BA2=4−4=0，所以BD⊥AO，所以AO⊥BD，
又因为PO，AO在平面POA内且相交，故BD⊥平面PAO；
(2)因为E，O分别为BD，BC的中点，所以EO//DC，
又平面PDC过DC且不过EO，所以EO/​/平面PDC，
又平面OEF交平面PDC于QF，故EO//QF，进而QF//DC，因为F是PC中点，所以Q是PD的中点，
以O为原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0,0, 6)，C(0, 2,0)，D(2, 2,0),Q(1, 22, 62)，
所以CD=(2,0,0),PC=(0, 2,− 6)，OQ=(1, 22, 62)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
则CD⋅n=2x=0PC⋅n= 2y− 6z=0，解得x=0，
令z=1，得y= 3，所以n=(0, 3,1)，
所以sinθ=|cs|= 62 3= 22，所以θ=π4，
所以直线OQ与平面PCD所成角θ的大小为π4．
【解析】(1)由面面垂直的性质定理可证PO⊥平面ABCD，从而得到PO⊥BD，再由BD⋅AO=0证得AO⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，由向量法即可求得．
本题考查线面垂直的证明和求直线与平面所成的角，属于中档题．
16.【答案】解：(1)列联表如下：
零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算χ2=60(7×16−23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1；
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，
故X近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p=560=112，
X～B(20,112)，
故E(X)=20×112=53，
D(X)=20×112×1112=5536；
(3)10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y服从超几何分布，Y的可能取值为0，1，2，3，
P(Y=0)=C70C33C103=1120,P(Y=1)=C71C32C103=21120=740，
P(Y=2)=C72C31C103=21×3120=2140,P(Y=3)=C73C30C103=35120=724，
故所求分布列为：
E(Y)=3×710=2.1．
【解析】(1)根据列联表数据计算χ2即可求解；
(2)由题意X近似服从二项分布X～B(20,112)，利用方差和期望公式即可求解；
(3)由题意Y服从超几何分布，Y的可能取值为0，1，2，3，计算出各自对应的概率即可求解．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
17.【答案】解；(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，f′x=3x2+2ax+b，
由条件可得f′(−23)=129−43a+b=0f′(1)=3+2a+b=0，解得a=−12b=−2,a=−12b=−2
f′x=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，
函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞,−23)和(1,+∞)，递减区间是(−23,1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c,x∈[−1, 2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．
即c的取值范围为−∞,−1∪2,+∞．
【解析】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．
(1)求出f′x，因为函数在x=−23与x=1时都取得极值，所以得到f′(−23)=0且f′1=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′x，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
(2)根据(1)函数的单调性，由于x∈[−1,2]恒成立求出函数的最大值值为f(2)，代入求出最大值，然后令f(2)18.【答案】解：(1)记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则P(A)=C32⋅(12)2⋅(1−12)+C33⋅(12)3=12；
(2)若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，
所以甲通过测试的概率为(12)2+12C21⋅12(1−12)=12，
同理可知，乙通过测试的概率为(23)2+23C21⋅23⋅(1−23)=2027，
由题意可知，随机变量X的可能取值有0、20、40，
P(X=0)=12×2027=1027，P(X=20)=12×727+12×2027=12，
P(X=40)=12×727=754，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
故E(X)=0×1027+20×12+40×754=41027．
【解析】(1)利用独立重复试验的概率公式以及互斥事件的概率加法公式可求出甲同学通过测试的概率；
(2)分别计算出甲、乙通过测试的概率，分析可知，随机变量X的可能取值有0、20、40，求出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E(X)的值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=x−1+aex，得f′(x)=1−aex，
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)=0，即1−ae=0，
解得a=e．
(Ⅱ)f′(x)=1−aex，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(−∞,+∞)上的增函数，
所以函数f(x)无极值，
②当a>0时，令f′(x)=0，得ex=a，x=lna，
当x∈(−∞,lna)，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(lna,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为f(lna)=lna，无极大值，
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极小值，
当a>0，f(x)在x=lna处取得极小值lna，无极大值．
(3)解法一：
当a=1时，f(x)=x−1+1ex，
令g(x)=f(x)−(kx−1)=(1−k)x+1ex，
则直线l的方程为y=kx−1与曲线y=f(x)没有公共点，
等价于方程g(x)=0在R上没有实数解，
假设k>1，此时g(0)=1>0,g(1k−1)=−1+1e1k−1<0，
又函数g(x)的图象连续不断，
由零点存在定理，可知g(x)=0在R上至少有一解，与“方程g(x)=0在R上没有实数解”矛盾，
故k≤1，
又k=1时，g(x)=1ex>0，知方程g(x)=0在R上没有实数解．
所以k的最大值为1．
(3)解法二：
当a=1时，f(x)=x−1+1ex，
直线l的方程为y=kx−1与曲线y=f(x)没有公共点，
等价于关于x的方程kx−1=x−1+1ex在R上没有实数解，
即关于x的方程(k−1)x=1ex在R上没有实数解，
①当k=1时，方程(*)可化为1ex=0，在R上没有实数解，
②当k≠1时，方程(*)化为1k−1=xex，
令g(x)=xex，则有g′(x)=(1+x)ex，
令g′(x)=0，得x=−1，
所以在(−∞,−1)上g′(x)<0，g(x)单调递减，
在(−1,+∞)上g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=−1时，g(x)min=−1e，
同时当x→+∞时，g(x)→+∞，
从而g(x)的取值范围为[−1e,+∞),
所以当1k−1∈(−∞,−1e)时，方程(*)无实数解，
解得k的取值范围是(1−e,1)．
综上所述，得k的最大值为1．
【解析】(Ⅰ)求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率为f′(1)，计算f(1)，由点斜式，即可得出答案．
(Ⅱ)求导得f′(x)=1−aex，分两种情况：①当a≤0时，②当a>0时，讨论f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值．
(Ⅲ)解法一：当a=1时，f(x)=x−1+1ex，令g(x)=f(x)−(kx−1)=(1−k)x+1ex，问题等价于方程g(x)=0在R上没有实数解，由零点存在定理，可知g(x)=0在R上至少有一解，进而可得答案．
解法二：当a=1时，f(x)=x−1+1ex，等价于关于x的方程kx−1=x−1+1ex在R上没有实数解，即关于x的方程(k−1)x=1ex在R上没有实数解，分两种情况：①当k=1时，②当k≠1时，讨论g(x)的单调性，最值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
xa
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P
1120
740
2140
724
x
(−∞,−23)
−23
(−23,1)
1
(1,+∞)
f′x
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
X
0
20
40
P
1027
12
754