福建省厦门市海沧区北附学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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七年级数学试题
（满分150分；完成时间120分钟）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 在实数0，，，3中，最大的数是（ ）．
A. 0B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握正数大于负数和，负数小于，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵，
∴最大的数是，
故选D．
2. 若∠1与∠2互补，则∠1+∠2＝（ ）
A. 90°B. 100°C. 180°D. 360°
【答案】C
【解析】
【分析】由补角的概念，如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，即可得出答案．
【详解】解：与互补，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查补角的概念，解题的关键是利用补角的定义来计算．
3. 如图，将三角形平移得到三角形，点A的对应点是点D，则线段的对应线段是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质判断即可．
【详解】解：由平移的性质可知，的对应线段是，
故选：B．
4. 若是方程的解，则a的值是（ ）．
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟记方程的解：就是使方程的左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
故选：B
5. 下列命题中是真命题的是（ ）．
A. 同位角相等
B. 立方根是本身的数是0
C. 相等的角是对顶角
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题的判断，涉及平行线的性质，立方根的概念，对顶角的性质，平行公理，掌握相关性质定理是解题的关键．
【详解】解：A. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B. 立方根是本身的数是0，，原命题是假命题，不符合题意；
C. 相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意；
故选D．
6. 如图，在三角形中，，，垂足为点D，则点A到的距离是（ ）

A. 线段的长B. 线段的长C. 线段的长D. 线段的长
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到直线距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答即可．
【详解】解：点A到的距离是线段的长度．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念，解题的关键是熟练掌握并理解点到直线的距离的概念．
7. “若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题，下列选项中恰当的反例是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题重点考查学生对命题理解，掌握真假命题的判断方法是解题的关键．举反例的含义是符合条件而不符合结论的实例，根据举反例的得到的事实可得答案．
【详解】解：当时，，而，
∴当时，可以说明“若，则”是一个假命题，
故选C．
8. 下列图形中，由能得到的是（ ）．
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、由得到，不符合题意；
B、由不能确定直线平行，不符合题意；
C、如图，由，得到，即可根据同位角相等，两直线平行得到，符合题意；
D、由不能判定两直线平行，不符合题意；
故选：C．
9. 某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据1个底面和4个侧面可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答．
【详解】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，可得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
10. 如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A. 54B. 27C. 216D. 108
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程组求解小长方形的长和宽．
设小长方形的长为，宽为，则由题意知，，求解x，y的值，进而可求大长方形的面积，小长方形的面积和，最后作差求解即可．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，列方程为：
，解得：，
∴图中阴影部分的面积为，
故选A．
二、填空题（本大题有6小题，第11题12分，其余每题4分，共32分）
11. 直接写出结果：
（1）__________；（2）__________；（3）__________．
（4）__________；（5）__________；（6）__________．
【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ##
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算，立方根，算术平方根；
（1）根据有理数的减法进行计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法进行教学计算即可求解；
（3）根据算术平方根的定义，即可求解；
（4）根据立方根的定义即可求解；
（5）根据实数的加法进行计算即可求解．
（6）根据绝对值的意义，即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：．
（2）；
故答案为：．
（3），
故答案为：．
（4）；
故答案为：．
（5）；
故答案为：．
（6）．
故答案为：．
12. 把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，移项变形得出答案即可，掌握“移项变号”是解题的关键．
【详解】解：，
移项，得：，
故答案为：．
13. 如图，直线a，b被直线c所截，且，，则的度数为______．
【答案】##110度
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得到，再根据，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵ ，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质等知识点，掌握“两直线平行、同位角相等”是解题的关键．
14. 如果，，
那么__________；__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据立方根，算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
详解】解：，
；
故答案为：，．
15. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，其步骤为：第一步：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，
第二步：∵大正方形的面积，
∴大正方形的边长．
第三步：列出方程，解得．
∴方程的正数解为．
小明按此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，面积为16，中间小正方形的面积为4，再根据题干信息列方程解题即可．
【详解】解：如图，构建如下图形，大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，
∵，即，
∴且，
解得：，
∴方程的正数解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，因式分解的应用，新定义运算，理解题意，列出准确的一元一次方程是解本题的关键．
16. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则有；
④如果，必有．
其中正确的结论有__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【详解】解：∵，，
∴
∴，故①正确；
，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题有9小题，共78分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算；
（1）根据算术平方根、立方根进行计算即可求解；
（2）根据实数的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解答；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项即可，
（2）利用加减消元法即可求解；
【小问1详解】
解：
，
，
，
；
【小问2详解】
解：
得：，
即，
将代入得：，
即，
则方程组的解为：．
19. 已知一个正数的两个平方根是与．
（1）求a的值；
（2）求关于x的方程的解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的性质；
（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与，
∴，
解得：．
【小问2详解】
解：当时，，即，
解得：．
20. 请补全证明过程及推理依据．已知：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，若，．求证：．
证明：∵，
∴ ．（ ）
∵，
∴，（ ）
∴，（ ）
∴．
【答案】∠B；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【解析】
【分析】现根据平行线的性质得到∠B，再利用等量代换得到，从而判定DE∥BC，最后得证.
【详解】解：∵，
∴∠B．（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴，（等量代换）
∴，（内错角相等，两直线平行）
∴．
故答案为：∠B；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【点睛】本题主要考查了平行线判定和性质，掌握定理内容，并熟练运用是解题的关键.
21. 如图，点E在射线上，平分，．
（1）求证：；
（2）在图上作出点A到的最短路径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，点到直线的距离，关键是掌握平行线的判定方法．
（1）要证明，根据平行线的判定方法，只需证明，显然结合已知以及角平分线的定义就可解决．
（2）过点A作于点H，则即为所作的最短路径．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，即为所作；
22. 在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）长为，宽为
（2）小华的说法错误，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确的列出方程或代数式是解本题的关键．
（1）根据题意设长方形的长为，宽为，则，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）根据题意可得正方形的边长为，再比较与的大小即可．
【小问1详解】
解：设长方形的长为，宽为，
∴，
解得：，（舍），
∴，
答：长方形的长为，宽为．
【小问2详解】
解：正方形的边长为，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：，
∵，
∴，即，
∴围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差小于，小华的说法错误．
23. 如图，教材有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为________；
（2）由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如下图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________；
（3）通过动手操作，漠子同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
【答案】（1）
（2）
（3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）依据图2中小正方形对角线长为，原点与A之间的距离为，从而可得到A点表示的数为；
（3）先根据大正方形的面积为5，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示的点即可．
【小问1详解】
解：∵面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
【小问2详解】
如图中小正方形对角线长为，
原点与A之间的距离为，
∴A点表示的数为 ；
故答案为：；
【小问3详解】
如图，大正方形的面积为5，
∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点C表示的数为．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
24. 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资；
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
（3）在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？
【答案】（1）每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
（2）有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名．
（3）为了节省成本，应该招聘新工人名．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
（1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
（3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答．
【小问1详解】
解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
【小问2详解】
设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名．
【小问3详解】
方案中，每月发放工资为：元；
方案中，每月发放工资为：元；
，
为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．
25. 如图，在中，．过点A作．

（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）如图2，点D是射线上一动点（不与点B，C重合），平分交射线于E，过点E作于F．
①当点D在点B左侧时，若，求的度数；
②点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）平分，理由见解析
（2）①；②或，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可解答；
（2）①根据角平分线的定义可得，从而得到，再由平行线的性质，即可解答；②分两种情况讨论：当点D在点B左侧时；当点D在点B右侧时，即可解答．
【小问1详解】
解：平分，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②设，
∵，
∴，
当点D在点B左侧时，
由（1）得：，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当点D在点B右侧时，

∵分别平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．