河北省唐山市丰润区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据题意，逐项判断即可．
【详解】解：A.，此项不符合题意；
B.是最简二次根式，此项符合题意；
C.，此项不符合题意；
D.，此项不符合题意．
故选：B．
2. 如图，是中位线，若，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．掌握三角形中位线定理是解题的关键．
3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）

A. 11B. 47C. 26D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【详解】解：如图，

由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D. ＝﹣9
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法计算法则、乘法计算法则、化简方法以及乘法公式分别计算判断
【详解】解：，故A选项正确；
不能相加减，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选：A
【点睛】此题考查二次根式的计算法则，正确掌握二次根式的加减法计算法则、乘法计算法则、化简方法以及乘法公式是解题的关键．
5. 如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
B、错误．矩形对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；
C、正确．∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴矩形为正方形，故不符合题意；
D、正确，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
6. 下列根式中能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的定义．根据题意，能够与合并即与为同类二次根式，逐项判断即可．
【详解】解：A.能与合并，此项符合题意；
B.不能与合并，此项不符合题意；
C.不能与合并，此项不符合题意；
D.不能与合并，此项不符合题意．
故选：A．
7. 如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
8. 如图，在中，，是边上的高，若，则（ ）

A. 2B. 2.4C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键．
9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若，,则CD的长为（ ）
A. 4.8B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，，，
∴，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝×10＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
10. 《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为，
最小长度为，
∴箭在投壶外面部分的长度不可能是，
故选：．
11. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF
【答案】B
【解析】
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，
CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，
GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度.
12. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：；四边形是正方形，若，则；若是等边三角形，其中正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断正确；过点作于，由等腰三角形 的性质可得，，由“ ”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，可判断正确；由等边三角形的性质得到，可得，再根据正方形的面积可得，可判断正确；灵活运用以上性质进行推理是解题的关键．
【详解】解：设交于，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵将绕点按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴ 四边形是正方形，故正确；
如图，过点作于，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故正确；
若是等边三角形，则，
∵，
∴，即，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，故正确；
∴正确的有，
故选：．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分）
13. 计算的结果为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14. 如图，菱形的边长为，对角线交于点，，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质可得，，，，进而由勾股定理可得，得到，再根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为菱形，边长为，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
15. 如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标及勾股定理．根据题意，由，，求出，然后求，再用勾股定理求即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
16. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则，，利用勾股定理可得：，即，求出即可求得的长度．由矩形与翻折的性质得到是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，
∵将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8个小题，共64分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各数，再合并计算；
（2）先化简，再算乘法，最后计算除法，将结果分母有理化．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）．
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∵米，米，
∴米，
答：两点间的距离为米．
19. 现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．
（1）添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：
整个组合图形面积表示，方法一：以为边正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理．
（2）当，时，求空白部分的面积．
【答案】（1）；；；；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据题意和图形即可求解；
（）根据空白部分的面积整个图形的面积个直角三角形的面积，可得空白部分的面积，把，代入计算即可求解；
本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键．
【小问1详解】
解：方法一：；
方法二：；
根据面积相等，得等式，化简得，；
故答案为：；；；；
【小问2详解】
解：由图可得，空白部分的面积整个图形的面积个直角三角形的面积，
∴空白部分的面积
,
，
．
20. 已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：km/h），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有右图标识的高速公路行驶，若刹车距离是36m，摩擦系数是1.69，
（1）实际上该货车已超速，请通过计算说明；
（2）请根据下面的分值表判断该货车会被记几分．
【答案】（1），已超速
（2）记12分
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的应用．
（1）直接代入数值计算再与100比较大小即可；
（2）先求出超速的百分比，再根据表格的数据判断即可．
【小问1详解】
解：刹车距离是36m，摩擦系数是1.69
该货车已超速；
【小问2详解】
超速20%以上，50%以下
记12分．
21. 如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理：
（1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证；
（2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：与的数量关系为：，理由如下：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 如图，在菱形中，于点，于点．
（1）求证：；
（2）当，时，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）证明即可求证；
（）由全等三角形的性质可得，得到，利用勾股定理得到，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解；
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴，
∴，
∵∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）∠ABD=90°，见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
（2）由菱形的性质逆推：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=AD，FC=BC．
∴AE=CF．
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
（2）解：
∵ 为AD的中点，


四边形EBFD是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性较强，难度中等．
24. 如图，在四边形中，，，，，、点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）______，______（用含的代数式表示）；
（2）当两点间的距离是时，求的值；
（3）填空：
当______时，四边形是菱形；
当______时，四边形是矩形．
【答案】（1），；
（2）；
（3）； ．
【解析】
【分析】（）根据题意即可求解；
（）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解；
（）由菱形的性质得，即，解方程即可求解；由矩形的性质得，即，解方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，，，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，，
∴，
∴，，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴不合，舍去，
∴；
【小问3详解】
解：要使四边形是菱形，则，
即，
∴，
故答案为：；
要使四边形是矩形，则，
即，
∴，
故答案为：．超速违法行为记分分值表
违法行为
道路类型
车辆类型
中型以上客货汽车、校车、危险品车
其他机动车
超速
50%以上
高速公路、城市快速路
记12分
记12分
高速公路、城市快速路以外道路
记9分
记6分
20%以上
50%以下
高速公路、城市快速路
记12分
记6分
高速公路、城市快速路以外道路
记6分
记3分
10%以上
20%以下
高速公路、城市快速路
记6分
不扣分
高速公路、城市快速路以外道路
记1分
不扣分
10%以下
高速公路、城市快速路
记6分
不扣分
高速公路、城市快速路以外道路
不扣分
不扣分