河北省唐山市路北区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1． 本次评价满分100分，时间为90分钟．
2．答卷前，务必在答题卡上用0.5mm黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答在试卷上无效．
4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡．
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A B. 0C. D. 3.1415
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，0，，3.1415中，
，0，3.1415是有理数，是无理数．
故选：C．
2. 如图，的同位角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同位角的识别，解答此类题确定同位角是关键，可直接从截线入手．根据若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角求解即可．
【详解】解：的同位角是．
故选B．
3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，据此可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点位于第四象限，
故选：D．
4. 如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，利用平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：与方向相同，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 如图，用方向和距离描述小明家位于少年宫的（ ）
A. 南偏西， 500mB. 南偏西， 500m
C. 南偏东， 500mD. 西南方向， 500m
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，根据图示给的信息，作答即可．
【详解】解：由图可知：小明家位于少年宫的南偏西， 500m；
故选B．
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 4的平方根是2B. 的立方根是
C. 2的平方是4D. 的立方是
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，有理数的乘方计算，对于实数a、b，若满足，则a叫做b的平方根，若满足，则a叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、4的平方根是，原说法错误，符合题意；
B、的立方根是，原说法正确，不符合题意；
C、2的平方是4，原说法正确，不符合题意；
D、的立方是，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
7. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A. 垂线段最短B. 两点之间线段最短
C. 平行线间的距离相等D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短．
故选：A．
8. 面积为的正方形，其边长等于（ ）
A. 的平方根B. 的算术平方根
C. 的平方根D. 的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义即可求解，理解算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：面积为的正方形，其边长等于，
其边长为的算术平方根，
故选：．
9. 如图，是一个教室平面示意图，我们把嘉嘉的座位“第3 列第2排”记为． 以下四个座位中，与嘉嘉相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．
根据嘉嘉的座位坐标为，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵选项中只有与是相邻的，
∴与嘉嘉相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是．
故选：A．
10. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）

A. 连接，则B. 连接，则
C. 连接，则D. 连接，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则，

而，
∴四边形不是平行四边形，
∴，不平行，故A不符合题意；
如图，取格点，连接，

由勾股定理可得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，故B符合题意；
如图，取格点，

根据网格图的特点可得：，
根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键．
11. 已知点到轴的距离是它到轴距离的2倍，则的值为（ ）
A. 2B. 8C. 2或D. 8或
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到坐标轴的距离公式列出绝对值方程，然后求解即可．
【详解】解：点到轴的距离是它到轴距离的倍，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离的公式并列出方程是解题的关键．
12. 已知一块面积为的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形；乙方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，正确的是（ ）
A. 两人都对B. 两人都不对
C. 甲对，乙不对D. 乙对，甲不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的应用，理解题意列方程，利用算术平方根的概念求解是解题的关键．分别求得两个方案的长方形的长，与原正方形的边长相比较即可求解．
【详解】解：正方形纸片的面积为，
正方形的边长为，
小明的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、，
，即，
，
，
不能裁剪出符合要求的纸片；
小丽的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、，
，即，
，
，
不能裁剪出符合要求的纸片．
故选：B．
二、填空题（本大题有4个小题， 共14分． 13~14题各 3分， 15~16题每空2分）
13. _______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的性质，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14. “平行于同一条直线的两条直线平行”是 _____命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】
【分析】根据平行公理即可得出命题真假．
【详解】解：根据平行公理可知“平行于同一直线的两直线互相平行”是真命题．
故答案为：真．
【点睛】题目主要考查命题真假判断及平行公理，理解平行线的判定与性质是解题关键．
15. 已知点 ， 点Q的坐标是．
（1）若轴， 则点 P的坐标是___________；
（2）若轴， 则点 P的坐标是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形；
（1）根据垂直于y轴的直线上的点纵坐标相同进行求解即可；
（2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同进行求解即可．
【详解】（1）解；∵轴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）∵轴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图， 在梯形纸片中，．
（1）_______；
（2）剪掉梯形纸片中的， 并使剪痕，则_______．
【答案】 ①. ##48度 ②. ##138度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵梯形，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先算乘法和绝对值，再算加减．
【小问1详解】
【小问2详解】

18. 如图， 直线相交于点O，平分， 过点O在内部作射线．
（1）补全图形；
（2）若， 求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂线的画法，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
（1）利用直角三角形的两条直角边画出即可；
（2）由垂直的定义得，由角平分线的定义得，然后根据求解即可．
【小问1详解】
如图；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵平分，
，
∴．
19. 用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如：
（1）求
（2）若， 求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程：
（1）根据新运算的法则，列出算式计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
由题意，得：，
∴，
∴．
20. 如图是阶梯的横截面，每个台阶的高、宽分别是1和2，每个台阶拐角的顶点分别为A、B、C、D、E．
（1）若以C为原点，在图中补画出x轴、y轴，并直接写出点A，D的坐标；
（2）若使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限，直接写出符合原点的位置．
【答案】（1）坐标系见解析，
（2）保证x轴在点C下方，y轴在点C左方，且要保证点B不在第一象限，则此时x轴于y轴交点即为原点的位置
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形：
（1）根据题意建立坐标系，再写出对应点坐标即可；
（2）根据题意可知保证x轴在点C下方，y轴在点C左方，且要保证点B不在第一象限，则此时x轴于y轴的交点即为原点的位置．
【小问1详解】
解：如图所示坐标系即所求；
∴；
【小问2详解】
解：根据题意可知，只有C、D、E三个顶点能同时落在第一象限，
∴此时要保证x轴点C下方，y轴在点C左方，且要保证点B不在第一象限，
∴此时x轴于y轴的交点即为原点的位置．
21. 如图，，，直线a平移后得到直线b， 直线b经过点 B， 再将直线b平移得到直线c．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由平移可得，再根据平行线的性质解答即可．
（2）由平移可得，再根据平行线的性质解答即可．
【小问1详解】
由题意得：，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
由题意得：，
∴．
22. 如图， 在平面直角坐标系中，已知， 且满足 点在第一象限的角平分线上， ．
（1）求点 A，B的坐标；
（2）求的值；
（3）y轴上是否还存在点 D，使 若存在直接写出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积公式，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据非负数的性质可求出点A的坐标，根据第一象限角平分线上点的横纵坐标相等可求出c；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设，根据列方程求解即可．
【小问1详解】
∵
∴，
∴，
∴．
∵点在第一象限的角平分线上，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴轴，，
∵，
∴；
【小问3详解】
设，
∵，
∴，
解得或，
∴还存在点．
23. 如图1，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为， 则一定有．光线是由镜反射得到．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2， 镜上有一光源 P， 发射的光线交反射光线于点Q， 若，猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）， 证明见解析
（2）， 证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质与判定的实际应用，读懂题意找出图中的相等的角是解决此题的关键．
（1）求出，根据，推出，根据平行线的判定推出即可．
（2）由平行线的性质得，结合可求出．
【小问1详解】
，
证明∶ ∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
证明∶ ∵，
∴，
∵，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“乙变换”：将点 P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）若对点进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点 B进行1次“乙变换”后得到点，则点 B 的坐标为 ；
（2）若对点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D落在y轴上，求m的值及点 D的坐标；
（3）若对点进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点 Q， 恰好落在x轴上，直接写出点 Q 的坐标．
【答案】（1），
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义，平移变换，理解点的“甲变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义是解题的关键．
（1）利用 “甲变换”的定义，可求解空1；利用 “乙变换”的定义，可求解空2；
（2）利用 “甲变换”和 “乙变换”的定义表示出变换后的坐标，然后列出方程可求解；
（3）设点进行次“甲变换”，再进行次“乙变换”后，所得到的点恰好落在x轴上，可得，求出a的值即可求解．
【小问1详解】
点的坐标为，
点进行1次“甲变换”后得到的点的坐标，即，
点对点 B进行1次“乙变换”后得到点，，
点坐标，即．
故答案为：，；
【小问2详解】
点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D坐标为，即，
点D落在y轴上，，
，
，
．
【小问3详解】
设点进行次“甲变换”，再进行次“乙变换”后，所得到的点恰好落在x轴上，
，
，
∴．