2024年中考数学热点探究十七 利用解直角三角形测量物体的高度、宽度或距离练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十七 利用解直角三角形测量物体的高度、宽度或距离练习附解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1：2（坡度i=铅直高度BC水平宽度AC），若坝高BC=30m，则坡面AB的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
A．52mB．60mC．67mD．90m
2．某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）.若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为 α ，则渠口宽AD为（ ）
A．（ 2+3·tanα ）mB．（ 2+6·tanα ）m
C．（ 2+3tanα ）mD．（ 2+6tanα ）m
3．如图，在点O处的船只准备沿垂直河岸l1的路线OA驶向对岸12，但受水流的影响，实际路线比计划路线偏离a度，测得河宽为20米，则实际比原计划多行驶了（ ） ．
A．（ 20sinα -20）米B．（ 20csα -20）米
C．（20sinα-20）米D．（20csα-20）米
4．如图，先锋村准备在坡角为 α 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5csα mB．5csα mC．5sinα mD．5sinα m
5．南沙群岛是我国固有领土，我南海渔民要在南沙某海岛A附近进行捕鱼作业，从位于海岛A的南偏东30°方向、距离海岛50海里的B处出发，沿正北方向航行一段时间后，到达位于海岛A的东北方向上的C处，则渔船航行的距离为（ ）．
A．252海里B．253海里C．25(2+1)海里D．25(3+1)海里
6．如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）
A．(1csα+2sinα)米B．(1csα+12sinα)米
C．(csα+2sinα)米D．(2csα+sinα)米
7．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=α，∠C=90°，AC=4km，则学校与凉亭之间的距离AB等于（ ）
A．4sinαkmB．4sinαkmC．4csαkmD．4tanαkm
8．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．60sin50°C．60cs50°D．60tan50°
9．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（ ）
A．(3+63)πB．12mC．83πD．(6+23)π
10．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面DD'的距离为29,CD=14,AB=10，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面EF，则EF=（ ）
A．9B．8C．6.D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度=1：1.5，那么路基的下底宽BC是 米．
12．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度，小童同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD=45°，小郑同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°，请计算：河宽 米.（精确到0.01米，2≈1.414，3≈1.732）
13．为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出 个车位．（参考数据：3≈1.7）
14． 如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于 米(结果保留根号)．
15．已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 cm（结果保留根号）．
三、解答题（共8题，共55分）
16．如图，小茗家车库的宽AB长为3米，小茗妈妈将一辆宽为1.8米（即MN=1.8米）的汽车正直停入车库，此时MN∥AB，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时FG为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到0.01米；参考数据：2≈1.414）
17．如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽AB=6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE=76.5°，最小夹角是∠DBE=29.5°．求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB．
参考数据：sin29.5°≈49100，cs29.5°≈87100，tan29.5°≈1425，sin76.5°≈97100，cs76.5°≈23100，tan76.5°≈215．
18．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2米，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架，支架AE=32米，当停止杆仰起，端点C恰好与地面接触时，停止杆与地面成60°角.在此状态下，一辆货车高2.4米，宽2.5米，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明.
19．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为35cm．如图，BD为桌面，嘉琪同学眼睛P看作业本A的俯角为53°，身体离书桌距离BC=9cm，眼睛到桌面的距离PC=24cm．
（1）通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
（2）为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离BC和眼睛到桌面的距离PC保持不变的情况下，需将作业本沿BA方向移动到点E处，求作业本移动的距离AE．（结果精确到0.1cm）（参考数据：cs37°≈0.8，cs47°≈2435，tan47°≈1.07．）
20．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图.假设你站在桥上点A处测得拉索AB与水平桥面的夹角是39°，点A处距离大桥立柱CD底端D的距离AD为96米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离BC为5米，求大桥立柱CD的高.(结果精确到1米)[参考数据：sin39°≈0.63，cs39°～0.78，tan39°≈0.81]
22．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
23．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座AB长为60cm，支架CD垂直平分AB，桌面EF的中点D固定在支架CD处，EF宽为60cm．身高为160cm的使用者MN站立处点M与点A，B在同一条直线上，MA＝20cm．点N到点F的距离是视线距离．
（1）如图2，当EF∥AB，CD＝100cm时，求视线距离NF的长；
（2）如图3，使用者坐下时，高度MN下降50cm，当桌面EF与CD的夹角∠CDE为35°时，恰有视线NF∥AB，问需要将支架CD调整到多少cm？
（参考数据：sin35°≈0.43，cs35°≈0.90，tan35°≈0.47）
四、实践探究题（共2题，共20分）
24．某综合实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．为了减小测量误差.小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
（1）任务一：两次测量，A，B之间距离的平均值是 m；
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助该综合实践小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
25．问题：如何设计“倍力桥”的结构?
（1）探究1：图③是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值.
（2）探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.
①若有12根横梁绕成环，图④是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3⋯H12，求l的值；
②若有n根横梁绕成的环(n为偶数，且n⩾6)，试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3⋯Hn的周长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1：2，
∴AC=60m，
由勾股定理得AB=602+302=305≈67m，
故答案为：C
【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD交AD于点E，如图，
由题可知 CE=BH=3 m， AD∥BC ， HE=BC=2 m， AH=DE ，
∴∠CDE=α ，
在 Rt△CDE 中， tan∠CDE=tanα=CEDE ，
∴DE=CEtanα=3tanα (m)，
∴AD=AH+HE+DE=3tanα+2+3tanα=2+6tanα (m).
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AD交AD于点E，由题意得CE=BH=3m，AD∥BC，HE=BC=2m，AH=DE，根据平行线的性质可得∠CDE=α，根据三角函数的概念可得DE，然后根据AD=AH+HE+DE进行解答.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意知：∠OAB=90°，AO=20米，∠AOB=α，
∴csα=AOOB，
∴OB=OAcsα=20csα米，
∴OB-OA=（20csα-20） 米，
∴实际比原计划多行驶了（20csα-20） 米.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出OAcsα=20csα，从而得出OB-OA=（20csα-20） 米，即可得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】根据题意得 csα=5AB ，
∴AB=5csα 米．
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质及解直角三角形的知识即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图：由题意可得：∠BAN=30°，∠CAD=45°，AB=50海里，
∴∠B=30°，
∴AD=12AB=25海里，BD=50cs∠B=50×32=253，
∴CD=AD⋅tan∠CAD=1×25=25，
∴渔船航行的距离为BC=BD+DC=253+25=25(3+1)海里．
故选D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AD=12AB=25，再根据锐角三角形函数的定义可得BD=50cs∠B=253，CD=AD⋅tan∠CAD=25，再根据BC=BD+D即可求出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AD于点H，
依题意得：AD⊥CE，BE⊥CE，
又∵BH⊥AD，
∴四边形DEBH为矩形，
∴BE=HD，BH∥CE，
∴∠HBF=∠C=α，
∵AB⊥CG，BH⊥AD，
∴∠BAH=∠HBF=α，
在Rt△BCE中，∠C=α，BC=2米，
∴BE=BC·sinα=2sinα，
即DH=BE=2sinα，
在Rt△ABH中，∠BAH=α，AB=1米，
∴AH=AB·csα=csα，
∴AD=AH+HD=csα+2sinα；
故答案为：C.
【分析】过点B作BH⊥AD于点H，根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边平行且相等可得BE=HD，BH∥CE，根据两直线平行，内错角相等可得∠HBF=∠C=α，根据等角的余角相等可得∠BAH=∠HBF=α，根据锐角三角形的定义可求得DH=2sinα，AH=csα，即可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵csα=ACAB，
∴AB=ACcsα=4csαkm．
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中求AB的距离，可以利用已知的边长AC和合适的锐角三角函数求得．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ADB中，AB=60，
∵sinB=ADAB
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD=6m，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴BD=AD·tan30°=6×33=23（m），
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴CD=AD·tan60°=63（m），
∴BC=BD+CD=83（m），
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD=6m，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作CG⊥AB于G，C'G'⊥A'B'于G'，交EF于H.
∵点A到地面DD'的距离为29，
∴GD=29，
∵CD=14，AB=10，
∴CG=GD−CD=15，AG=12AB=5，
在Rt△ACG中，
∴tan∠ACG=AGCG=515=13，
设H'G'=EF=x，则EH=12x，C'H=15−x
在Rt△HEC'中，
∴tan∠EC'H=tan∠ACG=EHC'H=13，
即12x15−x=13，解得x=6
∴EF=6．
故答案为：C.
【分析】本题利用等腰三角形的性质及三角函数列出方程，即可解答.
11．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，
AE=DF=1米，AD=EF=3米，
∵坡度=AEBE=DFCF=11.5，
∴BE=CF=1.5米，
∴BC=BE+EF+CF=1.5+3+1.5=6米．
故答案为6．
【分析】过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，先根据坡度可求出BE=CF=1.5米，再利用BC=BE+EF+CF计算即可。
12．【答案】81.96
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，
在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x，
在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=3CE=3x ，
∴3x=x+60，
解得：x=303+30≈81.96.
答：河宽约为81.96米.
故答案为：81.96.
【分析】过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，则AE=CE=x，BE=3x，然后根据BE=AB+AE进行求解.
13．【答案】9
【解析】【解答】解：如图：
在Rt△ABC中，AB＝6m，∠CAB＝60°，
∴AC＝ABcs60°＝6×12=3（m），
在Rt△DHG中，HG＝2.4m，∠HDG＝60°，
∴HD=GHsin60°=2.432=853(m)，
∵∠GDE＝90°，
∴∠FDE＝180°−∠HDG−∠GDE＝30°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝90°−∠FDE＝60°，
在Rt△DFE中，DE＝2.4m，
∴DF＝DEsin60°＝2.4×32=653(m)，
∴(30−AC−DF)÷DH+1
=(30−3−653)÷853+1
≈8.8+1=9.8
∴在这一路段边上最多可以划出9个车位，
故答案为：9．
【分析】先利用锐角三角函数求出HD=GHsin60°=2.432=853，再求出DF＝DEsin60°＝2.4×32=653，利用列出算式(30−AC−DF)÷DH+1求解即可。
14．【答案】200033
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=1000米，∠B=60°，∠C=90°，
∵sinB=ACAB，
∴sin60°=ACAB=32，
∴1000AB=32，
解得：AB=200033，
经检验，AB是方程的解，
即飞机与该地面控制点之间的距离AB等于200033 ，
故答案为：200033.
【分析】利用锐角三角函数求出1000AB=32，再计算求解即可。
15．【答案】602
【解析】【解答】解：连接BD，
由题意可得BD=12h1=12×60=30cm.
∵∠AOB=120°，
∴∠DAB=30°，
∴AD=BDsin30°=60cm.
连接DF，
由题意可得∠DEF=45°，ED=AD=60cm，
∴FD=ED·sin45°=60×22=302，
∴h2=2FD=602.
故答案为：602.
【分析】连接BD，由题意可得BD=12h1=12×60=30cm，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠DAB=30°，利用三角函数的概念可得AD，连接DF，由题意可得∠DEF=45°，ED=AD=60cm，根据三角函数的概念可得FD，进而可得h2.
16．【答案】解：如图所示，过点C作CO⊥DE于点O，
∵∠CDE=45°，CD=1.2米，
∴CO=CDsin∠CDE=CD×sin45°=325米，
∵AB=MN+CO+FG，
∴FG=3−1.8−325=(65−325)米，
∴FG≈1.2−0.8484=0.3516米=35.16厘米，
∵35.16