2024年中考数学热点探究十一 与三角形、四边形有关的辅助线练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十一 与三角形、四边形有关的辅助线练习附解析，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在四边形ABCD 中，点P是边CD 上的动点，点Q是边BC 上的定点，连接AP，PQ ，E，F 分别是AP，PQ 的中点，连接EF .点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变B．逐渐变小
C．先变大，再变小D．逐渐变大
2．如图，⊙O半径长2cm，点A、B、C是⊙O三等分点，点D为圆上一点，连接AD，且AD=22cm，CD交AB于点E，则∠BED=()
A．75°B．65°C．60°D．55°
3．如图，矩形ABCD是由4块矩形拼接而成，矩形A'B'C'D'是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成.则（ ）
A．ac+bd=ad+bcB．a2+d2=b2+c2
C．(ac+bd)2⩾(a2+d2)(b2+c2)D．(ac+bd)2⩽(a2+d2)(b2+c2)
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且保持AE=CF，在CD上取一点G，连结GF，使EF恰好平分∠BFG，连结EG．若要求正方形ABCD的面积，则只需要知道( )
A．ΔEFG 的面积B．ΔEDG 的面积
C．ΔCFG 的周长D．ΔEDG 的周长
5．如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或158C．2或3D．6或158
6．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形ABCD，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2.若EG∥CF，EG=3，S1S2=16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23B．94C．32D．92
7．如图，在正方形ABCD中，ΔBPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP；BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE=12FC；②∠PDE=15°；③SΔPBCSΔPCD=3；④SΔDHCSΔBHC=12；⑤DE2=PF⋅FC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则BC2AD2的值等于（ ）
A．5+12B．5+32C．5−12D．3−52
二、填空题（每题4分，共20分）
9．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=42，AB=8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
12．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A，D除外)，以CE为边作正方形CEFG，EF与AB交于点H，连接BE，BF，BG．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是 (填序号)．
13．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S1，四边形CDPE的面积为S2，则S2S1＝ ．
三、解答题（共4题，共36分）
14． 如图， 在平行四边形ABCD中， E为DC边的中点，连接AE， 若AE的延长线和BC的延长线相交于 F．
（1） 求证： AD=FC；
（2）连接BE， 若△AEB的面积为2， 求平行四边形ABCD的面积．
15．如图1，已知四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接EF、FG、GH、HE、得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）连接AC与BD，当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？
（3）如图2，若四边形ABCD是菱形，则四边形EFGH是什么图形，请说明理由．
16．如图，在一个正六边形ABCDEF中，点O是该正六边形的中心，将该六边形的每条边延长，延长线的交点分别为G、H、I、J、K、L．
（1）证明四边形OBGA是菱形；
（2）若AB的长为6，请计算正六边形ABCDEF的面积．
17．如图，在ΔABD中，AB=AD，∠BAD=α．点C是BD延长线上一动点，连接AC，将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE交AC于点F．
（1）求证：∠C=∠E；
（2）如图1，若DE//AB，DF=2，FE=7，求BD的大小；
（3）如图2，若点F为AC中点，SΔADFSΔABC=1n+2，CD=4，求AB的长（用含n的代数式表示）．
四、实践探究题（共4题，共40分）
18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝32，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
19．“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段.
（1）【问题情景】：如图（1），正方形ABCD中，点E是线段BC上一点（不与点B、C重合），连接EA.将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF，求∠FCD的度数.
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；
②小明：在AB上截取BM，使得BM=BE；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.
（2）【类比探究】：如图（2）点E是菱形ABCD边BC上一点（不与点B、C重合），∠ABC=α，将EA绕点E顺时针旋转α得到EF，使得∠AEF=∠ABC=α（a≥90°），则∠FCD的度数为 （用含α的代数式表示）
（3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结AF，与CD相交于点G，当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值.
20．综合与实践
在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.
（1）如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，则图①中与△ADE相似的三角形有 .(填序号)
①△ABD ②△ADC ③△ABC④△DCE
（2）如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，求证：△BDF∽△DEF
（3）在图2中，若AB=AC=5，BC=6，当△DEF的面积等于△ABC的面积14时，求线段EF的长.
21．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形.
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E.请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形.
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S四边形ABCD=8，求BD的长.
（3）如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠A+∠C=180°，BD=4，求四边形ABCD面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AQ，
∵E、F分别为PA、PQ的中点，
∴EF为△PAQ的中位线，
∴EF＝12 AQ，
∵Q为定点，
∴AQ的长不变，
∴EF的长不变，
故答案为：A．
【分析】连接AQ，则可知EF为△PAQ的中位线，可知EF＝12 AQ，可知EF不变．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=2cm，
∵点A、B、C是⊙O三等分点，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，AB=BC=AC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵OD=OA=2cm，AD=22cm，
∴OD2+OA2=AD2，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，∠DOA=∠ADO=45°，
∵弧BD对应∠DAB和∠DCB，
∴∠DAB=∠DCB
∵AB=BC=AC，
∴∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，
∵∠BED=∠EDA+∠DAB，∠DAB=∠DCB，
∴∠BED=∠ADE+∠DCB，
∵∠ADE=∠ADO+∠ODC，∠ADO=45°,∠ODC=∠OCD
∴∠ADE=45°+∠OCD
∴∠BED=45°+∠OCD+∠DCB=45°+∠OCB=45°+30°=75°
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质及勾股定理逆定理得出△AOD为等腰直角三角形，再由圆周角定理及各角之间之间的关系进行等量代换即可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：ac+bd-(ad+bc )=ac+bd-ad-bc=a(c-d)-b(c-d)=(c-d)(a-b)，
∵矩形ABCD是由4块矩形拼接而成，
∴a≠b，c≠d，
∴(c-d)(a-b)≠0，
∴ac+bd-(ad+bc)=0，
即ac+bd≠ad+bc，
故选项A不正确；
如下图所示：
根据矩形的性质及勾股定理得：
a2+d2=OD2， b2+c2=OB2，
∵矩形ABCD是由4块矩形拼接而成，
∵OD与OB不一定相等，
故选项B不正确；
∵(ac+bd)2-(a2+d2)(b2+c2)=a2c2+2abcd+b2a2-(a2b2+a2c2+b2a2+c2a2)=a2c2+2abcd+b2a2-a2b2-a2c2-b2a2-c2a2
=-a2b2+2abcd-c2a2
=-(ab-cd)2≤0，
∴(ac+bd)2-(a2+d2)(b2+c2)≤0，
即(ac+bd)2≤(a2+d2)(b2+c2).
故选项C不正确，选项D正确，
故答案为：D.
【分析】由于ac+bd-(ad+bc)=(c-d)(a-b)，而根据题意得a≠b，c≠d，则(c-d)(a-b)≠0，因此ac+bd-(ad十bc)=0，即ac+bd≠ad+bc，据此可对选项A进行判断；根据矩形的性质及勾股定理得a2+d2=OD2，b2+c2=OB2，依题意得，OD与OB不一定相等，据此可对选项B进行判断；由于(ac+bd)2-(a2+d2)(b2+c2)=-(ab-cd)2