2025年高考数学一轮复习专题9.2 圆的方程-(原卷版+解析版)

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题型一求圆的方程
例1．（2022选修第一册北京名校同步练习册）圆的半径为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】将圆的方程配成标准式，即可判断.
【详解】圆，即，
所以半径.
故选：B
例2．（2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知圆过点，，，则圆的方程为___．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.
【详解】根据题意，设圆的方程为
又由圆过点，，，
则有，
解可得，，，
即圆的方程为：，
故答案为：.
练习1．（2022·高三单元测试）已知为圆的直径，点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设，再利用中点坐标公式得到方程组，解得即可.
【详解】解：圆即，所以圆心坐标为，
设，又因为，所以由中点坐标公式得，解得，
所以点的坐标为．
故答案为：
练习2．（2021春·河北·高二统考学业考试）若圆C：的半径为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.
【详解】由，得，
所以圆C的圆心为，半径为，
因为圆C：的半径为1，
所以，解得，
故实数.
故选：D.
练习3．（2023·全国·高三对口高考）经过三点的圆的方程为________．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.
【详解】设圆的方程为，
则，
∴圆的方程为：.
故答案为：
练习4．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为________.
【答案】x2+y2-4x+6y=0
【分析】依题意可判断出圆恰好过原点，从而可求出圆的半径，圆的标准方程，再化为一般方程即可.
【详解】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，
所以圆的标准方程为，化为一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
故答案为：x2+y2-4x+6y=0
练习5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．
(1)求直线的方程；
(2)求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设，代入得出直线的方程；
（2）设圆心，根据得出圆的标准方程.
【详解】（1）由题设，
代入得，于是的方程为.
（2）设圆心，则，
即，
解得：，
，又圆心，
圆的标准方程为.
题型二二元二次方程表示的曲线与圆的关系
例3．（2022-2023学年高二同步练习）设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
【答案】，.
【分析】将方程配方，利用圆的方程建立不等式，即可求出实数m的取值范围；然后根据
圆的圆心坐标，再消去参数，根据实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程．
【详解】配方得，
若该方程表示圆，则有，得.
由标准方程知圆心的轨迹方程为，消去m，得.
由，得.
故所求的轨迹方程是，.
例4．（2023届甘肃省定西市高三下学期高考模拟考试文科数学试题）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
练习6．（2023秋·甘肃天水·高三统考期末）若方程表示圆，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据圆的一般方程的形式，列出关于不等式，即可求解.
【详解】由方程表示圆，则满足，
整理得，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
练习7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】，即，
∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
练习8．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合点在圆外条件，及表示圆的方程可得答案.
【详解】因在圆外，则，得.
又表示圆，则，得.
综上：.
故选：D
练习9．（2022秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．2C．0D．
【答案】D
【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.
【详解】由，可得，
所以，
解得或，
选项中只有符合题意.
故选：D.
练习10．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程表示的几何图形是（ ）
A．一点和一圆B．两点C．一圆D．两圆
【答案】A
【分析】分，讨论，结合条件及圆的方程即得.
【详解】由可得，
当时，，
即表示以为圆心，以为半径的圆，
当时，，
即，表示点，
综上，方程表示的几何图形是一点和一圆.
故选：A.
题型三点与圆的位置关系
例5．（2023秋·福建三明·高三统考期末）（多选）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用代入验证法确定正确答案.
【详解】，A选项正确.
，B选项错误，
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
例6．（2022秋·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
故选：D
练习11．（2023·高三课时练习）直线与的交点在曲线上，则______．
【答案】
【分析】先联立方程求出两直线的交点坐标，再代入曲线的方程进行求解.
【详解】联立，得，
即直线与的交点为，
因为两直线的交点在曲线上，
所以，解得.
故答案为：.
练习12．（2023春·湖南·高三校联考期中）若不同的四点共圆，则实数__________．
【答案】-1或5
【分析】先由A、B、C三点确定其外接圆，再计算即可.
【详解】易知圆心在线段的垂直平分线上，该直线方程为，设圆心坐标为，半径为，所以，解得，所以所求圆的方程为，
点在圆上，所以，解得或．
故答案为：-1或5
练习13．（2022秋·高三单元测试）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相交或相切D．不确定
【答案】A
【分析】易得直线过定点，判断出点与圆的位置关系即可得出结论.
【详解】由直线，得，
令，则，所以直线过定点，
因为，
所以点在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A.
练习14．（2023·全国·高三专题练习）点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定
【答案】C
【分析】由点到原点距离与圆半径大小比较，即可判断点、圆位置关系.
【详解】因为，所以点在圆外．
故选：C
练习15．（2023·浙江·高三专题练习）（多选）已知圆的方程为，对任意的，该圆（ ）
A．圆心在一条直线上B．与坐标轴相切
C．与直线不相交D．不过点
【答案】ABC
【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.
【详解】对于：显然圆心在故A对；
对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；
对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；
对于D：将点代入圆方程得，
显然，故有解，所以可能过点错；
故选：ABC．
题型四圆的对称的应用
例7．（2022-2023学年广东省深圳中学高三上学期期中数学试题）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为__________．
【答案】20
【分析】由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值.
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则，
所以，所以，所以的最大值为20，
故答案为：20.
例8．（2023届江西省新八校高三第二次联考数学（理）试题）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用特殊值“1”将化成积为定值的形式，再用基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意可知，圆心在直线上，
则，又因为，，
所以，
当且仅当且即，时取等号，
此时取得最小值．
故选：D．
练习16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】ABC
【分析】求得圆心，结合对称性确定正确答案.
【详解】圆即，
所以圆心为，
A选项，为圆心，所以圆关于点对称，A正确.
直线，直线过圆心，所以圆关于直线、
直线对称，BC选项正确.
直线不过圆心，所以D选项错误.
故选：ABC
练习17．（2022·全国·高二专题练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．
【答案】4
【分析】根据圆关于直线和直线都对称，由圆心在直线上，也在直线上求解.
【详解】圆的圆心为，
因为圆关于直线和直线都对称，
所以圆心在直线上，也在直线上，
所以，
解得，
所以，
故答案为：4
练习18．（2022秋·江苏南通·高三统考期末）已知A，B是圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．0B．19C．D．1
【答案】B
【分析】设，则，利用数量积公式以及圆的方程得出答案.
【详解】圆心坐标为，设，则，.
故选：B
练习19．（2022秋·广东广州·高三校考期末）已知圆关于直线对称，则___________.
【答案】/
【分析】由圆的方程可确定圆心，根据直线过圆心可构造方程求得结果.
【详解】由圆方程知：圆心；
圆关于直线对称，直线过圆的圆心，，解得：.
故答案为：.
练习20．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最小值为D．最大值为
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为，
由题意可得直线经过圆心，
故有，即，
所以半径为，
当时，圆C的半径的最小值为.
故选：C.
题型五直线与圆的位置关系
例9．（2023届北京名校高三一轮总复习）若直线与圆相交，则点（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能
【答案】B
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可.
【详解】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：
，即，
据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.
故选：B.
例10．（2022北京名校同步练习册）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【答案】C
【分析】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案.
【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点，
则，
而圆：的圆心到直线的距离为，
故直线与该圆的位置关系为相离，
故选：C
练习21．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.
【详解】由题知，圆心坐标，半径，
将直线化为点斜式得，
知该直线过定点，
又，故该定点在圆内，
所以该直线与圆必相交.
故选：C
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的取值范围______________．
【答案】
【分析】令，利用圆心到直线距离小于等于半径可解.
【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆，
令，即，
由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得.
即的取值范围为.
故答案为：
练习23．（2023·四川·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据题意转化为圆上的点与定点之间的连线的斜率，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由题意，设，且
可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，
如图所示，
在直角中，可得，可得直线的斜率为；
在直角中，可得，可得直线的斜率为，
所以的范围为.
故答案为：.

练习24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设集合，，则的真子集个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】求出再求真子集个数即可．
【详解】依题意表示直线与圆的交点的集合，
则，所以的真子集个数为个．
故选：C．
练习25．（2023·江苏南通·三模）（多选）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则( ).
A．线段最短长度为B．的面积最大值为
C．无论为何值，与圆相交D．不存在，使取得最大值
【答案】CD
【分析】求出直线经过的定点，也可知直线斜率一定存在，结合弦长的几何求法可判断A；结合三角形面积公式以及l的位置可判断B；根据定点在圆内可判断C，结合圆周角和弧长之间的关系可判断D.
【详解】由直线可知，该直线过定点,
且直线斜率一定存在，
当时，弦的弦心距最长，则长最短为，
此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；
的面积为,
若的面积取到最大值，则为直角，
由于,此时，与题意矛盾，B错误；
由于直线过定点,在内，
故无论为何值，与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，
故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，
故选：CD
题型六圆与圆的位置关系
例11．（2022北京名校同步练习册）当为何值时，两圆和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，由列式，即可求解.
（2）由列不等式组，即可求出的范围.
（3）由列不等式，即可求出的范围.
【详解】（1）设圆，半径为，得，
圆心，.
，半径为，得，圆心，.
圆心距，
因为两圆外切，则，所以，
解得或.
（2）因为两圆相交，则，
即，所以，解得或.
（3）因为两圆外离，则，即 ，
所以，解得或.
例12．（2022届深圳中学高三下学期）已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为__________.
【答案】
【分析】根据条件求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.
【详解】因为圆C过点且与圆切于点，
可知圆C与的公切线为，且圆C过点，
过点作切线的垂线，即为轴，
可知圆心C在此垂线上，即圆心C在轴上，
设圆C，又圆C过点，且圆C过点，
由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，
所以，可得，从而半径，
所以圆C的方程为.
故答案为：.
练习26．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.
【答案】
【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程.
【详解】如图所示：
过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为.
由得，则圆的半径，
所以圆的方程为.
故答案为：
练习27．（2023秋·高三课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】圆与圆相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式．
【详解】圆与圆相交，
两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，
即，所以.
解得或.
故选：B
练习28．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；
圆的圆心坐标为，半径为3，
所以两圆的圆心距为，
因为，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
练习29．（2023春·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【分析】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.
【详解】两圆化为标准形式，可得与圆，
可知半径，，于是，
而，故两圆相交，
故选：.
练习30．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______.
【答案】，
【分析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，
设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，
所以，即，
所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则，，，
所以轨迹方程为，，即，.
故答案为：，
题型七圆的（公共）弦长问题
例13．（2023届安徽省定远中学高三下学期考前押题数学试卷）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A．B．C．或1 D．
【答案】D
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案.
【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.
圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，
半弦长为，则有，解得或（舍），此时
故选：.
例14．（2023届东莞定远中学高三下学期）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为即可求得圆的方程.
【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，
又因为与y轴相切，所以半径，
易知圆心到直线的距离为，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，
所以，解得；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.
故选：C
练习31．（2023·广东深圳·校考二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为___________.
【答案】
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，分析可得直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.
【详解】圆，即，
圆心为，半径，
若弦长，则圆心到直线的距离，
显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，
所以，解得，所以直线方程为.
故答案为：
练习32．（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________.
【答案】12
【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长及圆心到直线得距离，即可求的面积.
【详解】圆：，得圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，因此，
所以.
故答案为：.
练习33．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
【答案】
【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】联立，两式相减得.
故答案为：
练习34．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
【答案】BD
【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，
故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为
到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
故选：BD
练习35．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则___________．
【答案】
【分析】根据题意，由条件两圆方程作差可得直线方程，然后再求得圆心到直线的距离，再由勾股定理即可得到结果.
【详解】因为圆与圆交于A，B两点，
则两圆方程相减可得，
即直线方程为，
又因为直线AB的倾斜角为，则斜率，
又因为，即，则，
所以直线方程为，
圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为：.
题型八圆的（公）切线与切线长
例15．（2023届四川省成都市树德中学高三适应性考试文科数学试题）若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案.
【详解】的圆心为，半径为，
因为直线，与相切，
所以，即，
所以可设，
所以，其中，
故选：B
例16．（2023届北京市师大附属中学高三适应性练习数学试题）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆：中，圆心，半径
设，则，
则,
当时，，
故选：C
练习36．（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______.
【答案】/0.75
【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解．
【详解】由题意圆心为，半径为2，
所以，解得．
故答案为：．
练习37．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是________.
【答案】
【分析】求出以 为直径的圆的方程, 将两圆的方程相减, 即可求解.
【详解】圆 的圆心为 , 半径为 2，
以 为直径的圆的方程为 ,
将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 .
故答案为: .
练习38．（2023春·贵州·高三遵义一中校联考阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________.
【答案】
【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标.
【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为，
连接,则,
设，则,
故,
当垂直于直线时，d最小，
所以，所以；
由于点A是直线上的一个动点，设点，
线段的中点设为P，则，且，
所以以线段为直径为圆的方程为 ，
即，
将方程与作差可得，
即直线的方程为，可得，
由于,故，
因此，直线恒过定点，
故答案为：；
练习39．（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
【答案】或或（三条中任写一条即可）
【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为；
与的距离为，所以两圆外切.
过与的直线方程为.
由图可知，直线是两圆的公切线，
由解得，设，
设两圆的一条公切线方程为，
到直线的距离为，
即，解得，
所以两圆的一条公切线方程为，即.
由两式相减并化简得，
所以两圆的公切线方程为或或.
故答案为：或或（三条中任写一条即可）
练习40．（2023秋·高三课时练习）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据圆与直线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案；
（2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案.
【详解】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线相切，
故圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）当过点的直线斜率不存在时，为与圆不相切；
故过点作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为，
即，则，解得或，
故切线方程为或．
题型九距离的最值问题
例17．（2023届广西邕衡金卷高三第三次适应性考试数学（理）试题）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把直线方程化为，求得直线过定点，结合圆的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
例18．（2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高三上学期期末文科数学试题）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.
【详解】圆，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：B
练习41．（2023·全国·校联考三模）已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求得点到直线距离的最大值.
【详解】由题可得，圆心，半径，
圆心到直线的距离等于，
所以点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
练习42．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【答案】
【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
练习43．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______．
【答案】
【分析】根据两直线所过的定点和位置关系，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】直线过定点，直线过定点，
显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，
显然点的坐标为，所以该圆的方程为，
由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
当点在如下图位置时，的值最大，即，
所以|PM|的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据两直线的位置关系确定点的轨迹，利用圆的几何性质是解题的关键.
练习44．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得，进而可得的面积最小值.
【详解】由圆，得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
因为
所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小，
故，
所以，
即的面积最小值为.
故选：B.
练习45．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】圆，圆心，半径，
设圆心到直线：的距离为，则，
易得，则，
故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，
因为，所以，
故最小值是．
故选：D.
题型一
求圆的方程
题型二
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
题型三
点与圆的位置关系
题型四
圆的对称的应用
题型五
直线与圆的位置关系
题型六
圆与圆的位置关系
题型七
圆的（公共）弦长问题
题型八
圆的（公）切线与切线长
题型九
距离的最值问题