2024福建省厦泉五校联考高一下学期4月期中考试数学含答案

这是一份2024福建省厦泉五校联考高一下学期4月期中考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：柳明全 审核人：苏培坤 ）
试卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数 （其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. B. 3C. D. 5
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为的中点，若则等于( )
A. 1 B. −1 C. 12 D. −12
4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,−4)，且a // c，则a在b上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中， BC边上的高等于则sin A=( )
A. B. C. D.
7．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若，则的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于非零向量a,b，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=0，则a // b B. 若a⊥b，则a⋅b=(a⋅b)2
C. 若a⋅c=b⋅c，则a=b D. 若a−b=a+b，则a⋅b=0
10．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线A1C1与AD1为异面直线
B. A1C1//平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若△ABC有唯一解，则a的值可以是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 2，|2a−b|= 2，则a与b的夹角为
13．如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为 m.

第13题图 第14题图
在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，则当堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，阳马B−A1ACC1的体积为 ．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（本小题满分13分）
已知复数，复数在复平面内对应的向量为，
（1）若为纯虚数，求值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．（本小题满分15分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大小；
(2)若且BD是AC边的中线，求的长度．
（本小题满分15分）
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(1)用OA，OB表示CB；
(2)点P在线段上，且求的值．
（本小题满分17分）
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：BC//AD；
(2)求证：CE//平面PAB；
(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．
（本小题满分17分）
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(Ⅰ)求B的大小；
(Ⅱ)若求▵ABC的面积；
(Ⅲ)求的最大值．
厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考
数学科参考答案及评分标准
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 300 14．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题15分，18~19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】：(1)由题，则，-----------------------2分
由为纯虚数得，，-----------------------4分
解得．-----------------------6分
（2），-----------------------8分
在复平面内的对应点在第四象限，则，即，-----------------11分
解得．-----------------------13分
【解析】：(1)因为(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC，
可得sin2A+sin2C=sin2B−sinAsinC，-----------------------1分
所以由正弦定理可得a2+c2=b2−ac，即a2+c2−b2=−ac，-----------------------3分
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，-----------------------6分
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3．-----------------------7分
(2)由S△ABC=15 34=12a·ABsinB得AB=5，-----------------------9分
又BC=3，B=2π3，则cs2π3=52+32−AC22×5×3=−12，可得AC=7，-----------------------11分
则AD=DC=72，
又∠BDA+∠BDC=π，可得cs∠BDA+cs∠BDC=0，
由余弦定理可得BD2+(72)2−522×72×BD+BD2+(72)2−322×72×BD=0，-----------------------13分
整理可得BD2=194，解得BD= 192． -----------------------15分
17.【解析】(1)因为CD=2BO，OA=2AD，
所以DO=32AO，-----------------------2分
所以CB=CD+DO+OB-----------------------4分
=2BO+32AO+OB=−OB−32OA．-----------------------7分
(2)因为OB/​/CD，OA//AD，所以点O，A，D共线．
因为∠D=90°，所以∠O=90°．
以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．---------9分
因为 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，
所以AB=(−2,1)，CB=(−3,−1)，-----------------------11分
因为点P在线段上，且AB=3AP，
所以 CP=AP−AC=(−53,−53)，-----------------------13分
所以 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+5353 2× 10=2 55． -----------------------15分
18．【解析】证明：(1)在四棱锥P−ABCD中，BC // 平面PAD，BC⊂平面ABCD，-----------------------2分
平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BC // AD，-----------------------4分
(2)取PA的中点F，连接EF，BF，-----------------------5分
∵E是PD的中点，∴EF // AD，EF=12AD，-----------------------6分
又由(1)可得BC // AD，且BC=12AD，∴BC // EF，BC=EF，-----------------------8分
∴四边形BCEF是平行四边形，∴CE // BF，
∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，∴CE//平面PAB．-----------------------10分
(3)取AD中点N，连接CN，EN，-----------------------11分
∵E，N分别为PD，AD的中点，∴EN // PA，-----------------------12分
∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN // 平面PAB，-----------------------13分
又由(2)可得CE // 平面PAB，CE∩EN=E，CE、EN⊂平面CEN，∴平面CEN // 平面PAB，-----------------------15分
∵M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN // 平面PAB，
∴线段AD上存在点N，使得MN // 平面PAB． -----------------------17分
【解析】(1)因为2c−a=2bcsA，又asinA=bsinB=csinC，
所以2sinC−sinA=2sinBcsA， -----------------------1分
所以2sin(A+B)−sinA=2sinBcsA， -----------------------2分
所以2sinAcsB−sinA=0， -----------------------3分
因为A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csB=12， -----------------------4分
则B=π3． -----------------------5分
(2)因为b2=a2+c2−ac， -----------------------6分
所以c2− 3c−6=0， -----------------------7分
所以c=2 3或c=− 3(舍去)， -----------------------9分
所以△ABC的面积为S=12acsinB=3 32． -----------------------11分
(3)由a2+c2−ac=9，得(a+c)2=9+3ac， -----------------------12分
因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2， -----------------------13分
所以3设t=a+c，则t∈(3,6]，所以aca+c=t2−93t，
设f(t)=t2−93t=13(t−9t)， -----------------------15分
则f(t)在区间(3,6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=32，
所以，aca+c的最大值为32． -----------------------17分
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
B
A
C
D
A
A
9
10
11
BD
ABC
BD