福建省福州市五校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市五校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知直线,,则下列结论正确的是( )
A.直线过定点
B.当时,
C.当时,
D.当时,两直线,之间的距离为
3．已知是等比数列的前n项和,若存在,满足,,则数列的公比为( )
A.B.2C.D.3
4．四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,点E为棱PC的中点,若,则等于( )
A.1B.C.D.2
5．从0,1,2,3,4,5,6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数,这样的四位数的个数有( )
A.260B.240C.220D.200
6．已知函数的导函数是,若,则下列结论正确的是( )
A.B.在上单调递减
C.为函数的极大值点D.曲线在处切线为
7．已知,是双曲线(,)的左,右焦点,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径的圆上,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知函数所有极小值点从小到大排列成数列,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．等差数列中,为的前n项和,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,且,则取得最大值时,或
D.必为等差数列
10．椭圆的左右两焦点分别为,,点P为椭圆上的一点,点P与原点O连线与椭圆交于Q,则下列结论正确的是( )
A.若轴,则B.四边形周长为8
C.点P到点最小距离1D.至少存在一点P使
11．抛物线焦点为F,下列结论正确的是( )
A.过焦点F的直线交抛物线于A,B,若,则弦AB的中点到y轴距离为4
B.A,B,C为抛物线上三点,若F是的重心,则的值为6
C.若为抛物线上一点,,则
D.若,P为抛物线上一点,则的最小值为
12．已知函数为定义在上的奇函数,若当时,,且,则( )
A.B.当时,
C.D.不等式解集为
三、填空题
13．直线的方向向量坐标可以是____________(只需写出一个满足条件的一个向量)
14．五个学生(含甲,乙,丙)排成一排,甲与乙必须相邻,甲与丙不能相邻,则不同的排法种数有______．(用数字作答)
15．直线与曲线恰有2个公共点,则实数a的取值范围为________.
16．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数满足如下两个条件:（1）其图象在闭区间上是连续不断的;（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数,使得,其中称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值________.
四、解答题
17．已知圆C经过点,和直线相切,且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程
18．（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64,求其展开式中含项的系数．
（2）已知．分别求和的值．
19．已知在公差不为零的等差数列中,,是与的等比中项,数列的前n项和为,满足
（1）求数列与的通项公式;
（2）求数列的前n项和．
20．四棱锥中,侧面底面ABCD,,底面ABCD是直角梯形,,,,．
（1）求证:平面PBD;
（2）求直线AP与平面PBD所成角的正弦值;
（3）侧棱PC上是否存在异于端点的一点E,使得二面角的余弦值为,若存在,求的值,若不存在,说明理由．
21．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程;
（2）求函数的单调区间和极值;
（3）若不等式在上恒成立,求实数a的取值范围．
22．已知椭圆过点,,分别为椭圆C的左,右焦点,且．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）点M,N是椭圆C上与点P不重合的两点,且以MN为直径的圆过点P,若直线MN过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由．
参考答案
1．答案：D
解析：由直线得其斜率为,
设直线的倾斜角为(,则,
所以,所以直线的倾斜角为,
故选:D
2．答案：B
解析：对于A选项,由可得,所以,直线过定点,A错;
对于B选项,当时,,解得,B对;
对于C选项,当时,,解得,C错;
对于D选项,当时,,直线的方程为,即,
直线的方程为,
此时,直线,之间的距离为,D错.
故选:B.
3．答案：B
解析：设数列的公比为q,
若,则,与题中条件矛盾,
故.,.,
,,.
故选:B
4．答案：B
解析：因为,
所以,所以,所以,,,
解得,,,所以,
故选:B.
5．答案：C
解析：当个位是0时,共有种情况;
当个位是5时,首位有5种情况,十位和百位有种情况,共有100种情况.
综上共有种
故选:C
6．答案：D
解析：由,得,
则,所以,
所以,
则,故A错误;
,
当或时,,当时,,
所以函数在和上递减,在上递增,故B错误;
为函数的极小值点,为函数的极大值点,故C错误;
,
则曲线在处切线为,即,故D正确.故选:D.
7．答案：C
解析：由题意,,,
设一条渐近线方程为,则到渐近线的距离为.
设F1关于渐近线的对称点为M,与渐近线交于A,,
A为的中点,又O是的中点,
,为直角,
为直角三角形,
由勾股定理得,
,,
,.
故选:C
8．答案：D
解析：因为,则,
由,即,可得,
由,即,可得,
所以,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,函数的极小值点为,
将函数所有极小值点从小到大排列成数列,
则,,易知数列为等差数列,
且数列的公差为,则,
因此,,故选:D.
9．答案：AD
解析：对于A,在等差数列中,
因为,所以,则,
则,故A正确;
对于B,若,则,故B错误;
对于C,设公差为d,
由,得,
则,又因,所以,
则当时,,当时,,
所以当或时,取得最大值,故C错误;
对于D,,
则,
因为,所以必为等差数列,故D正确.
故选:AD.
10．答案：BC
解析：A选项,由题意得,,
中,令得,故,
由椭圆定义可知,所以,A错误;
B选项,由椭圆的定义可知,,
故四边形周长为,B正确;
C选项,设,,则,
,
因为,所以当时,取得最小值,最小值为,
故点P到点最小距离为1,C正确;
D选项,以为直径圆的方程为,
将与联立得,无解,故不存在一点P使,D错误.
故选:BC
11．答案：BC
解析：设点,,,易知点,抛物线C的准线为.
对于A选项,,则,
所以,弦AB的中点到y轴距离为,A错;
对于B选项,A,B,C为抛物线上三点,若F是的重心,则,
所以,,B对;
对于C选项,设点,则,可得,则,
所以,,C对;
对于D选项,过点P作,垂足为点A,由抛物线的定义可得,
所以,,
当A,P,Q三点共线,即当时,取得最小值,且其最小值为,D错.
故选:BC.
12．答案：CD
解析：构造函数,其中,
因为函数为定义在上的奇函数,则,
所以,,故函数为偶函数,
当时,,
所以,函数在上单调递增,在上单调递减,
因为,则,则.
对于A选项,,,即,所以,,A错;
对于B选项,不妨取,则,即,此时,B错;
对于C选项,因为偶函数在上单调递减,
则,即,整理可得,C对;
对于D选项,当时,由可得,解得,
当时,由可得,解得.
综上所述,不等式解集为,D对.
故选:CD.
13．答案：(只需满足即可)
解析：直线的斜率为,
所以,直线的方向向量坐标可以为.
故答案为:(只需满足即可).
14．答案：36
解析：将甲与乙捆绑,形成一个“大元素”,与其他学生进行排序,不同的排法种数为,
若甲与乙相邻,且与丙相邻,则将甲,乙,丙三人捆绑,其中甲在中间,
再将这个“大元素”与其他学生排序,不同的排法种数为.
因此,五个学生(含甲,乙,丙)排成一排,甲与乙必须相邻,甲与丙不能相邻,
则不同的排法种数为.
故答案为:36.
15．答案：
解析：由曲线得,当时;当时;
直线恒过点,
所以直线与曲线的图象为
当直线与相切时,此时,
得,解得,
当直线与平行时,,
直线与曲线要恰有2个公共点,
可得,
故答案为:.
16．答案：
解析：,则
由拉格朗日中值的定义可知,函数在区间上的拉格朗日中值满足,
所以
所以,即,则
故答案为:
17．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）设圆心的坐标为,
则.
化简,得,解得.
所以C点坐标为,
半径.
故圆C的方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
由题意得,解得,
∴直线l的方程为,即.
综上所述,直线l的方程为或.
18．答案：（1）;
（2）,
解析：（1）由题意得,解得,
故展开式的通项公式为,
令得,,
故,故其展开式中含项的系数为;
（2）中,
令得,
令得,①
令得,②
②+①得,
又,故,
的展开式通项公式为,
当得,令得,
故中含的项为,
所以.
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由题意得,设公差为,
又,所以,解得或0,
因为公差不等于0,所以,
故;
①中,当得,解得,
当时,②,①－②得,即,
中,当时,,解得,满足,
故为公比为2的等比数列,故;
（2）,
,故,
两式相减得
,
解得.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在,且
解析：（1）证明:因为平面平面ABCD,平面平面,
平面PCD,,所以,平面ABCD,
因为平面ABCD,所以,,
取CD的中点F,连接BF,
在直角梯形中,,,,,
因为F为CD的中点,则,且,
所以,四边形ABFD为正方形,所以,,且,
所以,,,
因为,所以,,故,
因为,BD,平面PBD,所以,平面PBD.
（2）因为平面,,
以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
由（1）知平面PBD,所以,平面PBD的一个法向量为,
因为,则,
所以,直线AP与平面PBD所成角的正弦值为.
（3）设,其中,
则,,
设平面BDE的法向量为,
则,取,可得,
因为二面角的余弦值为,则,
整理可得,因为,解得,
且当时,由图可知,二面角为锐角,
因此,侧棱PC上存在异于端点的一点E,使得二面角的余弦值为,且.
21．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）因为,则,所以,,,
所以,曲线在处的切线方程为,
即.
（2）,该函数的定义域为,
则,列表如下:
所以,函数的增区间为,,减区间为,
函数的极大值为,极小值为.
（3）当时,由可得,
令,其中,则,
由可得,由可得,
所以,函数的增区间为,减区间为,所以,,
所以,,故实数a的取值范围是.
22．答案：（1）
（2）直线MN过定点,该定点坐标为
解析：（1）由椭圆定义可知:,解得,
将代入椭圆方程得,解得,
故椭圆C的标准方程为;
（2）当直线MN的斜率不存在时,设,则,
因为以MN为直径的圆过点,
则,
因为,故,解得或,
因为M,N是椭圆C上与点P不重合的两点,所以,故,
故此时直线MN的方程为,
当直线MN的斜率存在时,设方程为,
与联立后,得到,
设,,则,,
其中,
,
则,
即,
整理得,即,
解得或,
当时,,即,此时直线MN过定点,
此时与点P重合,不合要求,
当时,,即,
此时直线MN过定点,
显然当直线MN的斜率不存在,直线也过定点,满足要求,
综上,直线MN过定点,该定点坐标为.
x
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增