2024年湖南省长沙市湘江新区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年湖南省长沙市湘江新区中考一模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年湖南省长沙市湘江新区中考一模数学试题原卷版docx、2024年湖南省长沙市湘江新区中考一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选B．
2. 随着新一轮人口流动浪潮的出现，长沙凭借优越的地理位置、活跃的经济动力和高品质的生活条 件，成为人才和劳动力流动的首选之地．据统计，截至2024年2月全市流动人口达4060000人，数据4060000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图的几何体由5个完全相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从上边看，共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1．
故选：D．
4. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算以及完全平方公式，合并同类项；根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C
6. 长沙某景点今年三月接待游客25万人次，四月接待游客30万人次，设该景点今年三月到四月接待游客人次的增长率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设该景点今年三月到四月接待游客人次的增长率为，根据“今年三月接待游客25万人次，四月接待游客30万人次”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设该景点今年三月到四月接待游客人次的增长率为，根据题意得：
．
故选：D
7. 社会主义本质是解放生产力，发展生产力，消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕．下列有关居民收入的统计量中，最能体现发展生产力，消除两极分化的是（ ）
A. 收入平均数变小，方差变大B. 收入平均数变小，方差变小
C. 收入平均数变大，方差变大D. 收入平均数变大，方差变小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查方差的意义和平均数的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：收入平均数变大，方差变小最能体现发展生产力，消除两极分化，
故选D．
8. 如图，为的切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．根据圆周角和圆心角的关系，可以得到的度数，然后根据为的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的切线，点A为切点，
∴，
∴，
故选：B．
9. 约在两千五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为．
故选：B．
10. 如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意条件可证得，结合全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，则，故①正确；过点A作，垂足为点H，通过条件证得，，再通过条件证得，结合对应边相等可得到，从而说明②③正确；通过边长的等量关系能推出，最后说明，故能说明④错误．
【详解】解：∵由题可知，，，
∴，，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
即，故①正确；
如图，过点A作，垂足为点H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则，故④错误；
故选C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形性质与判定，锐角三角函数的应用等知识，综合运用相关知识，采用数形结合的方法是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 的倒数是________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：的倒数是-3．
故答案为-3．
【点睛】本题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可得结果．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是．
故答案为：．
13. 不等式组的解集为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为．
故答案为：．
14. 折扇是我国传统日用品，也是工艺品，我国关于折扇的记载最早出现于公元五世纪的南北朝代南朝梁的建康（今南京市），如图为用韧纸做扇面的折扇，折扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴韧纸部分的长为，制作这样的一把折扇，需要贴韧纸的面积为__（结果保留π）．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．根据题意先求出，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．
【详解】解：∵的长为，贴韧纸部分的长为，
∴，
∴需要贴韧纸的面积为：
．
故答案为：．
15. 袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中红球有3个，则袋中的黄球和白球共有___个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是已知概率求数量，设袋中的黄球和白球共有个，再建立方程求解即可．
【详解】解：设袋中的黄球和白球共有个，则
，
解得；，经检验符合题意；
∴袋中的黄球和白球共有个；
故答案：
16. 如图，菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
，
，
在中，，
同理，，
，
，
在中，
．
故答案：．
三、解答题（本大题共9个小题第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、 23题每小题9分，第24、25题每小题10分，满分72分）
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，在求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图，，以点圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，垂足为，求证：．
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出；
（2）根据证明三角形全等即可．
【小问1详解】
解：∵，
，
，
，
由题意平分，
；
【小问2详解】
证明：平分，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
．
20. 某大型活动的主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A、B、C、D、E五组制成了如下的统计表和统计图（不完整）：
根据信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 人，表中的 ，扇形统计图中A 组所占的圆心角的度数是 ；
（2）本次被调查的志愿者的身高的众数在 组，中位数在 组；
（3）若E 组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长，请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）40；8；
（2）；
（3）刚好抽中两名女志愿者的概率为．
【解析】
【分析】（1）用统计表中的人数除以扇形统计图中的百分比可得这次被调查身高的志愿者人数；用这次被调查身高的志愿者人数分别减去，，，组的人数，可得的值；用乘以组的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据众数和中位数的定义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中两名女志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：这次被调查身高的志愿者有（人．
．
扇形统计图中组所占的圆心角的度数是．
故答案为：40；8；；
【小问2详解】
解：由统计表可知，本次被调查的志愿者的身高的众数在组．
将这次被调查的40名志愿者的身高按照从小到大的顺序排列，排在第20和21名的身高都落在组，
中位数在组．
故答案为：；．
【小问3详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，
刚好抽中两名女志愿者的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、中位数、众数的定义是解答本题的关键．
21. 如图是某款篮球架的示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．（参考数据：，，，，）
（1）求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到米）；
（2）求篮框D到地面的距离（精确到米）．
【答案】（1）的高度为米
（2）篮框到地面的距离约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
（1）直接根据即可求解；
（2）延长交射线于点，过点作于点，则四边形是矩形，解，求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：在中，，
（米），
∴的高度为米；
【小问2详解】
如图，延长交射线于点，过点作于点．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴（米）．
∵，则，
∴．
在中，（米），
∴（米），
∴篮框到地面的距离约为米
22. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）．
（1）左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围；
（2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】（1），．
（2）空矿泉水瓶的重量为．
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围；
（2）根据题意列出方程组，求解即可．
【小问1详解】
解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：．
将其化为关于的函数表达式：，
由于．
，即为．
的取值范围为．
【小问2详解】
解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为．
第一次称量时，，，
根据杠杆原理列出方程：．
第二次称量时，，，
根据杠杆原理列出方程： ．
可得方程组，
解得，
因此可得，空矿泉水瓶的重量为．
23. 如图，在矩形中，，点E在上，，F为的中点，连结，分别交于点G，H，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、矩形的性质以及三角形的中位线定理：
（1）根据矩形的性质得出，，结合直角三角形的性质、等腰三角形的判定求出，则，即可求出是的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可；
（2）结合（1）求出，根据矩形的性质求出，，由，，即可判定，，根据相似三角形的性质求出，根据线段的和差求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴是的中位线，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∵，
∴，
∵，，F为的中点，
∴，，
在矩形中，，
∴
∴，，
∴，，
∴，
∴．
24. 新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”．
（1）求正比例函数图象上“制高点”的坐标；
（2）若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标；
（3）已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）点M的坐标为或或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）设正比例函数图象上“制高点”的坐标为，得到，据此计算即可求解；
（2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“制高点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解；
（3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设正比例函数图象上“制高点”的坐标为，
根据题意得，
解得，
∴正比例函数图象上“制高点”的坐标为；
【小问2详解】
解：设点A的坐标为，
根据题意得，整理得，
∵点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∴点A的坐标为，
设点是反比例函数图象上的“制高点”，
根据题意得，
消去并整理得，
解得，，
∴，，
∴点B，C的坐标分别为，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
在中，令，则，
将直线向上平移4个单位的直线，
直线与双曲线的交点为，
此时也满足面积与的面积相等，
联立得，
解得或，
将或分别代入，
得或，
∴或，
综上，点M的坐标为或或；
【小问3详解】
解：∵，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
由，得；
由，得；
∴，
设函数，
∴当时，
函数的值随自变量的增大而减少，
当，；
当，；
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25. 如图，的半径为5，是的直径，弦于点F，，P是上一点，连接交于点E，连接交于点G，的延长线与的延长线交于点Q．
（1）如果，求证：；
（2）在（1）的条件下，求线段的长；
（3）如果，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）连接，利用垂径定理和圆周角定理证明四边形是菱形，再利用圆周角定理即可证明，得到；
（2）连接，利用垂径定理求得，，利用余弦函数求得，代入数据求解即可；
（3）连接，利用勾股定理求得的长，证明，利用相似三角形的性质列式求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，弦于点F，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
【小问3详解】
解：连接，
∵，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
组别
身高范围
人数
6
12
10
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）