2024年湖南省长沙市部分学校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的概念，需要掌握：负数的绝对值是它的相反数、正数的绝对值是它本身、0的绝对值是0．
2. 由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面看可得到第一列为2个正方形，第二列有一个正方形．
故选D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘等知识点，根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据，进行判断作答即可．
【详解】解：∵
∴方程没有实数根．
故选：D．
5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，交于点．若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了主要考查了菱形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质可得，由可得E是的中点，再用直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
故选：B．
6. 将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，是等腰直角三角形，，
∴，
又∵由题意可知，，，
∴，
∴．
故选：D．
7. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据物品的价格是定值，列出方程即可．
【详解】解：每人出8元，还盈余3元，得到物品的价格为：；每人出7元，则还差4元，得到物品的价格为：，
∴可列方程为；
故选A．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B. 数据，，，，的中位数是4
C. “清明时节雨纷纷”是必然事件
D. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了统计与概率的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、事件可能性大小判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题意；
B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差，则甲的成绩比乙的稳定，故此选项不符合题意．
故选：A．
9. 如图，已知四边形内接于，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．
根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如图，在中，是线段上一点（点不与重合），过点作，交于点为中点，连接，得到以下四个结论：①当时，；②当垂直平分线段时，；③当时，；④当为的中点时，面积最大．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，证明，得到，求出的长，利用线段和差即可求从而对①判断；利用线段垂直平分线性质得到，结合相似三角形性质即可判断②的对错；利用正切值表示出，利用等腰三角形性质表示出，结合相似三角形性质求出，即可求出的长，判断出③的对错；利用相似三角形性质，直角三角形特征将都用含的式子表示出来，利用三角形面积公式得出二次函数求出最大值即可．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，，，
，
即，
解得：，
，
为中点，
，故①正确；
垂直平分线段，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，故②正确；
在中，，
，
，
，为中点，
，
，即，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，即，
，
，
，
，
，
整理得：，
当时，的面积最大，
，
当为中点时，面积最大，故④正确，
综上所述，正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形特征，解直角三角形的相关计算，垂直平分线性质，二次函数的几何应用，勾股定理等知识，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，利用二次函数求最大值是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：3x2-6x=__________________．
【答案】3x（x-2）．
【解析】
【详解】试题解析：3x2-6x=3x（x-2）．
考点：因式分解-运用公式法．
12. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】扇形的圆心角为，半径为，
则弧长
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键．
13. 如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图像比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，观察函数图像得到在点的左边，直线都在直线的上方，据此求解．
【详解】解：∵直线和直线相交于，
∴观察图像可知：关于不等式的解集为．
故答案为：．
14. 如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
15. 如图，的半径为是的内接三角形，半径于点．当时，的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，根据题意可得是等腰直角三角形，半径于，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵的半径为，
∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
16. 如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点在轴上．若的面积是3，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，根据平行线间的距离处处相等，得到，结合双曲线过第二象限，求出值即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是反比例函数图像上的一点，
∴，
∴，
∵双曲线过第二象限，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值的意义，零指数幂、负指数幂以及特殊角的三角函数值，根据绝对值的意义，负指数幂以及特殊角的三角函数值先化简，再合并计算即可．
【详解】解：
18. 求不等式组的正整数解．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进一步求出正整数解即可，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．
【详解】解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴，
∴不等式组的正整数解为：．
19. 已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．
（1）填空：由作图可知，射线是的______；
（2）以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
【答案】（1）角平分线
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定．
（1）根据作图可知：射线是的角平分线；
（2）根据作图可知，得到，进而推出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：由作图可知，射线是的角平分线；
故答案为：角平分线；
【小问2详解】
，理由如下：
由作图可知：，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
20. 为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“．园艺、．厨艺、．木工、．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______；
（2）补全条形统计图：
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．
【答案】（1）400；108
（2）见解析 （3）该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人
【解析】
【分析】（1）由两个统计图可得，参加“园艺”的人数为100人，占调查人数的，然后样本容量即可；先求出“厨艺”的人数，然后用乘“”所占的百分比，即可得出“”所对应的圆心角的度数即可；
（2）根据求出的“厨艺”和“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计整体，求出样本中“厨艺”所占的百分比，进而估计整体中“厨艺”所占的百分比，进而求出答案．
【小问1详解】
解：由统计图可知：参加“园艺”劳动课的人数为100人，占调查人数的，
∴样本容量为：，
参加“编织”劳动课的学生人数为：（人），
参加“厨艺”劳动课的学生人数为：（人），
∴“”所对应的圆心角的度数为；
故答案为：400；108．
【小问2详解】
解：补全条形统计图，如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的特点，是正确解答的关键．
21. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形：
（2）连接．若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论；
（2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
由（1）可知，，，
，
菱形的面积．
22. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．作为一个国际性的盛事，亚运会为杭州城市的发展带来巨大的机遇．杭州街头增添了许多令人惊叹的高科技设施．在准备过程中，政府计划购买两种型号的能为手机无线充电的智能太阳能座椅．已知购买1套型座椅和1套型座椅需5500元，购买2套型座椅和1套型座椅需8500元．
（1）求，型座椅的单价分别是多少元；
（2）政府计划购买两种智能太阳能座椅共80台，要求型座椅数量不少于型座椅数量的．设购买台型座椅，购买型两种座椅的总费用为元，求关于的函数解析式，并求出购买两种座椅的总费用最少需要多少元．
【答案】（1）A型座椅单价是3000元，B型座椅单价是2500元；
（2），最少需要元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解题的关键是读懂题意，正确的列出方程组和一次函数关系式．
（1）设A型座椅单价是x元，B型座椅单价是y元，根据购买1台型座椅和1台B型座椅需5500元，购买2台A型座椅和1台B型座椅需8500元，列出方程组进行求解即可；
（2）根据A型座椅数量不少于B型座椅数量的，列出不等式，求出的取值范围，根据总费用等于A型座椅的费用加上B型座椅的费用，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设A型座椅单价是x元，B型座椅单价是y元，
根据题意得：，解得：，
∴A型座椅单价是3000元，B型座椅单价是2500元；
【小问2详解】
∵A型座椅数量不少于B型座椅数量的，
∴，解得：，
根据题意得：
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值为（元）
答：w关于a的函数表达式是，购买两种设备的总费用最少需要元．
23. 如图，在Rt中，，点是边上一点，交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：：
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的特征，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，正切等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，根据全等三角形的判定即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据正切的定义可得 ，求得，根据等腰三角形的性质可推得，根据平行线的判定可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求出，即可求得．
【小问1详解】
证明：
又点是的中点，
在和中
【小问2详解】
由（1）可知
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，又

，

24. 如图，四边形内接于，对角线交于点，连接．若的半径为．
（1）若，求证：平分；
（2）试用含的式子表示的值；
（3）记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的性质与平行、勾股定理的综合应用，熟记各性质以及面积关系与线段之间关系的转化是解题的关键．
（1）利用圆中同弧或等弧所对的圆周角分别相等，得到，进而可得，再由等角对等边得到线段相等得到；再证明即可得出结论；
（2）作，，得到矩形，再根据垂径定理和勾股定理将转换为；
（3）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到，进而．
【小问1详解】
解：连接、，
由，得：，
又∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
∴，即：平分．
【小问2详解】
解：如图，作，，，连接、，得四边形为矩形，，
根据垂径定理得
则
即：
【小问3详解】
由两边同时平方化简得：
∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴
∴，，即
因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
25. 对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
（1）反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
（2）若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
（3）若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【答案】（1）反比例函数是上的“民主函数”，理由见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“民主函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“民主函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可；
（3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题．
【小问1详解】
解：当时，则：，
∵，在第一象限内随的增大而减小，
∴时，，
∴，
∴反比例函数是上的“民主函数”；
【小问2详解】
由题意，得：当时，，
∵，
当时，随着增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
综上：或；
【小问3详解】
∵抛物线顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，

假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．