2024年湖南省长沙市雨花区中考一模数学试题(原卷版+解析版)
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1.答题前,请考生先将自己的姓名、考号填写清楚,并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
6.本试卷共25个小题,考试时量120分钟,满分120分.
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1. 的相反数是( )
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义,即可求解,
本题考查了相反数的定义,熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键.
【详解】解:的相反数是2024,
故选:.
2. 下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义,根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可:把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
【详解】解:A、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B.是中心对称图形,故此选项符合题意;
C.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:B.
3. 下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项,同底数幂的乘除法,幂的乘方.根据幂的乘方,合并同类项的方法,以及同底数幂的乘除法的运算方法,逐项判断即可.
【详解】解:A、与不是同类项,不能合并,故本选项不符合题意;
B、,故本选项不符合题意;
C、,故本选项不符合题意;
D、,故本选项符合题意;
故选:D.
4. 如图,直线,直角三角形如图放置,,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点,先利用平行线的性质可得,然后利用角的和差关系进行计算,即可解答,根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.
【详解】如图:
∵,
∴,
∵,
∴,
故选:C.
5. 如图,B、C两点分别在函数 和()的图象上,线段轴,点A在x轴上,则的面积为( )
A. 9B. 6C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的意义,三角形等积求解;连接、,由等底同高的三角形面积相等得,再由反比例函数的意义得,即可求解;理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线,连接此点与坐标原点,所围成的三角形面积为.”是解题的关键.
【详解】解:如图,连接、,
轴,
轴,
,
,
;
故选:C.
6. 若的解集是,则必须满足是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由的解集是,可得,再利用不等式的解集可得,再利用两数相除,同号得正,可得,从而可得答案.
【详解】解: 的解集是,
,
不等式的解集为:<
,
∴,
∴<
故选:
【点睛】本题考查的是利用不等式的基本性质解不等式,以及利用不等式的解集确定字母系数的范围,掌握不等式的基本性质是解题的关键.
7. 下列说法中,正确的是( )
A. 一组数据4,4,2,3,1的中位数是2B. 反映空气的主要成分(氮气约占,氧气约占,其他微量气体约占)宜采用折线统计图
C. 甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同,方差分别是,,则乙的射击成绩较稳定D. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全面调查和抽样调查,平均数,中位数以及方差等知识点,选项A根据中位数的定义判断即可;选项B根据各种统计图的特点判断即可;选项C根据方差的意义判断即可;选项D根据全面调查和抽样调查的定义判断即可,掌握相关定义是解答本题的关键.
【详解】A.一组数据4,4,2,3,1的中位数是3,原说法错误,故本选项不符合题意;
B.反映空气的主要成分(氮气约占,氧气约占,其他微量气体约占)宜采用扇形统计图,原说法错误,故本选项不符合题意;
C.甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同,方差分别是,,则乙的射击成绩较稳定,说法正确,故本选项符合题意;
D.对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查,原说法错误,故本选项不符合题意;
故选:C.
8. 将下列多项式分解因式,得到的结果不含因式x-1的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法,进行因式分解,据此即可一一判定.
【详解】解:A.,故该选项不符合题意;
B.,故该选项不符合题意;
C.,故该选项不符合题意;
D.,故该选项符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式,熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键.
9. 如图,的对角线,相交于点,的平分线与边相交于点,是的中点,若,,则的长为( )
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先证明为等腰三角形,易得,进而可得,再证明为的中位线,结合三角形中位线的性质即可获得答案.
【详解】解:∵四边形为平行四边形,,,
∴,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵四边形为平行四边形,
∴,
∵是的中点,
∴.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线等知识,熟练掌握相关知识是解题关键.
10. 如图所示,的直径弦,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设CD交AB于H.根据垂径定理得CH=DH=OH,设CH=DH=a,求出BH即可解决问题.
【详解】解:设CD交AB于H.
∵OB=OC,
∴∠2=∠3,
∵AB⊥CD,
∴∠1+∠2+∠3=90°,CH=HD,
∵∠1=2∠2,
∴4∠3=90°,
∴∠3=22.5°,
∴∠1=45°,
∴CH=OH,
设DH=CH=a,则OC=OB=a,BH=a+a,
∴tan∠CDB=,
故选:D.
【点睛】本题考查垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11. 化简:______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式加减的运算法则,将分式进行减法运算,再化简即可求解.
【详解】
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的加减运算.解决本题的关键是明确“”与“”互为相反数.
12. “墙角数枝梅,凌寒独自开. 遥知不是雪,为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》. 梅花的花粉直径约为米,用科学记数法表示为米,则n的值为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解:用科学记数法表示为,即.
故答案为:.
13. 一次函数的图像不经过第__________象限.
【答案】二
【解析】
【分析】根据k、b的正负即可确定一次函数经过或不经过的象限.
【详解】解:
一次函数的图像经过第一、三、四象限,不经过第二象限.
故答案为:二
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质,一次函数的系数是判断其图像经过象限的关键,,图像经过第一、二、三象限;,图像经过第一、三、四象限;,图像经过第一、二、四象限;,图像经过第二、三、四象限.
14. 若,则______.
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根等知识点,根据非负数的性质求出a与b的值,再代入进行计算即可,熟练掌握相关的知识点是解题的关键.
【详解】由题可知,
,
解方程组得,
,
∴,
故答案为:1.
15. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏,规则是:甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种,其中“石头”赢“剪子”,“剪子”赢“布”,“布”赢“石头”,手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种,则乙不输的概率为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】画树状图得到所有可能的结果数,然后找出符合条件的结果数,再根据概率公式进行计算即可得.
【详解】解:画树状图为:
共有9种等可能的结果数,乙不输的结果数有6种,
所以乙不输的概率的概率.
故答案为:.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
16. 小明用一些完全相同的三角形纸片(图中△ABC)拼接图案,已知用6个△ABC纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案,若按照图2所示的方法拼接下去,则得到的图案的外轮廓是正______边形.
【答案】九
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形外角的性质与内角的性质等知识点,先求出的度数,再求出图2中正多边形的每一个内角的度数,进而求出答案,熟记正多边形的性质是解题的关键.
【详解】如图1,
∵正六边形的每一个内角为,
∴,
∴图2中正多边形的每一个内角为,
,
故答案为:九.
三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算等知识点,利用二次根式的性质,负整数指数幂,绝对值的性质,特殊锐角三角函数值计算即可,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
【详解】
.
18. 已知方程组和方程组有相同的解,求,的值.
【答案】,
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键.利用加减消元法解方程组得到的值,再把的值代入方程组求解即可得到答案.
【详解】解:根据题意,可有,
①②,可得 ,
解得 ,
把代入①,可得,
解得,
∴该方程组的解为,
∵方程组和方程组有相同的解,
∴,.
19. 如图,已知,,观察图中尺规作图痕迹,判断P点位置,求弧的长度.
【答案】,详见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图−基本作图,弧长公式等知识点,由作图可知,点P在角的角平分线与弧的交点上,再根据弧长公式求解即可,熟记弧长公式是解题的关键.
【详解】由作图可知,点P在角的角平分线与弧的交点上,
∴,
∴弧长.
20. 为庆祝中国共产党建党100周年,某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛,现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中共抽取________学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,求B等级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该校有1200名学生参加此次竞赛,估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名?
【答案】(1)100;(2)图见详解;(3)144°;(4)这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名.
【解析】
【分析】(1)根据统计图及题意可直接进行求解;
(2)由(1)及统计图可得C等级的人数为20名,然后可求出B等级的人数,进而问题可求解;
(3)根据题意可直接进行求解;
(4)由(2)可直接进行求解.
【详解】解:(1)由题意得:
26÷26%=100(名),
故答案为100;
(2)由题意得:
C等级的人数为100×20%=20(名),B等级的人数为100-26-20-10-4=40(名),
则补全条形统计图如图所示:
(3)由(2)可得:
;
答:B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°.
(4)由(2)及题意得:
(名);
答:这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名.
【点睛】本题主要考查扇形统计及条形统计图,熟练掌握扇形统计及条形统计图是解题的关键.
21. 如图,已知,是的中点,于点,交于点,过点作交的延长线于点,连接,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,,求的面积.
【答案】(1)见详解 (2)
【解析】
【分析】(1)首先根据垂直平分线的性质可得,,,再证明,由全等三角形的性质可得,进而可得,即可证明结论;
(2)过点作于点,根据题意可得在中,,,由含30度角的直角三角形的性质可得,再利用勾股定理解得的值,然后根据三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
证明:∵是的中点,,
∴,,,
∵,
∴,
与中,
,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为菱形;
【小问2详解】
解:过点作于点,如下图,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识,熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.
22. 春节期间,根据习俗每家每户都会在门口挂灯笼和对联,某商店看准了商机,购进了一批红灯笼和对联进行销售,已知每幅对联的进价比每个红灯笼的进价少10元,且用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍.
(1)求每幅对联和每个红灯笼的进价分别是多少?
(2)由于销售火爆,第一批销售完了以后,该商店用相同的价格再购进300幅对联和200个红灯笼,已知对联售价为6元一幅,红灯笼售价为24元一个,销售一段时间后,对联卖出了总数的,红灯笼售出了总数的,为了清仓,该店老板对剩下的对联和红灯笼以相同的折扣数进行打折销售,并很快全部售出,求商店最低打几折可以使得这批货的总利润率不低于90%?
【答案】(1)每幅对联的进价为2元,每个红灯笼的进价为12元;(2)商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%.
【解析】
【分析】(1)设每幅对联的进价为x元,则每个红灯笼的进价为(x+10)元,根据数量=总价÷单价结合用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设剩下的对联和红灯笼打y折销售,根据总利润=销售收入﹣成本结合总利润率不低于90%,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其最小值即可得出结论.
【详解】(1)设每幅对联进价为x元,则每个红灯笼的进价为(x+10)元,
依题意,得:=6×,
解得:x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意,
∴x+10=12.
答:每幅对联的进价为2元,每个红灯笼的进价为12元.
(2)设剩下的对联和红灯笼打y折销售,
依题意,得:300××6+200××24+300×(1﹣)×6×+200×(1﹣)×24×﹣300×2﹣200×12≥(300×2+200×12)×90%,
解得:y≥5.
答:商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%.
【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
23. 如图,为等腰三角形的外接圆,,延长交于点D,过点C作的垂线,交于点E,交于点F,交于点G,交过点A且与平行的直线于点H,连结.
(1)判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若,求和的大小;
(3)若,,求的长.
【答案】(1)与相切,详见解析
(2),,详见解析
(3),详见解析
【解析】
【分析】(1)根据等腰三角形性质得,,再根据得,据此可得与的位置关系;
(2)根据等腰三角形性质得,则,再根据得,然后根据平行线性质及圆周角定理可得和的度数;
(3)设,则,,根据得,再根据,得,进而得,,在中由勾股定理得,在中,由勾股定理得:,则,由此解出,则,设为x,连接,则,然后再由勾股定理构造方程求出x即可.
【小问1详解】
与相切,理由如下:
∵为等腰的外接圆,,延长交于点D,
∴,,
∵,
∴,
∵为的半径,
∴是的切线,
即与相切;
【小问2详解】
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
【小问3详解】
设,则,,
在中,,
∴,
∵,
∴,
在中,,,
∴,
在中,由勾股定理得:,
∴,,
在中,由勾股定理得:,
在中,由勾股定理得:,
∴,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去),
∴,
设为,连接,如下图所示:
则,
在中,由勾股定理得:,
即,
解得:,
故的长为.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,垂径定理,等腰三角形的性质,勾股定理,解直角三角形等知识点,熟练掌握圆周角定理,切线的判定,垂径定理,等腰三角形的性质,灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键.
24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根,,且,那么称这样的方程为“邻近根方程”,例如,一元二次方程的两个根是,,,则方程是“邻近根方程”.
(1)判断方程是否是“邻近根方程”;
(2)已知关于的方程(是常数)是“邻近根方程”,求的值;
(3)若关于的方程(是常数,且)是“邻近根方程”,令,试求的最大值.
【答案】(1)是 (2)或
(3)
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、“邻根方程”的定义以及运用二次函数求最值,解题的关键是灵活运用一元二次方程的解法以及理解“邻根方程”的定义.
(1)解出方程的根,然后再根据“邻根方程”的定义判定即可;
(2)先解方程求得方程的解,然后再根据“邻根方程”列出关于的方程,求解即可;
(3)根据“邻根方程”的定义可得方程的大根与小根的差为1,列出与的关系式,再由,得与的关系,根据二次函数的性质求出的最大值即可.
【小问1详解】
解:解方程,可得,,
∵,
∴方程是“邻近根方程”;
【小问2详解】
解方程,
可得或,
∵方程(是常数)是“邻根方程”,
∴或,
解得或;
【小问3详解】
解方程,得
∵关于的方程(是常数,且)是“邻近根方程”,
∴
∴,
∵,
∴,
∴当时,有最大值,最大值为.
25. 如图,二次函数,与时的函数值相等,其图象与x轴交于A、B两点,与y轴正半轴交于C点.
(1)求二次函数的解析式.
(2)在第一象限的抛物线上求点P,使得最大.
(3)点Q是抛物线上x轴上方一点,若,求Q点坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)把与代入,求出t的值,即可;
(2)过点P作轴,交于点D.先求出直线解析式为,设点,则点D的坐标为,可得,再由
,得到S关于a的函数关系式,即可求解;
(3)将绕点A顺时针旋转得到,则,取的中点H,作直线交抛物线于Q,则,,求出直线的解析式,即可求解.
【小问1详解】
解:∵与时的函数值相等,
∴,
解方程,得,
把代入二次函数,
∴二次函数的解析式为:.
【小问2详解】
解:如图,过点P作轴,交于点D.
把代入,得:
,解得,
∴点A,
∴,
当时,,
∴,
设直线的解析式为,
把点,代入得:
,解得:,
∴直线的解析式为,
设点,则点D的坐标为,
∴,
∴,
当时,有最大值,最大值为4,
所以点P的坐标;
【小问3详解】
解:如图,将绕点A顺时针旋转得到,则,取的中点H,作直线交抛物线于Q,则,,
设直线的解析式为,
把代入得:
,解得:,
∴直线的解析式为,
联立得,解得或,
∴.
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题,涉及了二次函数的图象和性质,求一次函数解析式,利用数形结合思想解答是解题的关键.
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