湖北省孝感市孝南区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖北省孝感市孝南区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分． 在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的）
1．-2的倒数是（ ）
A．-2B．C．D．2
2．如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木绳长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长、绳子长各多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，则（ ）

A．1B．2C．D．4
9．如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
① ②
③方程的两个根为
④抛物线上有两点和，若且，则．
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．因式分解： ．
12．若关于的一元二次方程两根为，，则的值为 ．
13．如图，在等腰中，，分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，
两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是 ．
14．班主任邀请甲、乙两位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在座位，甲、乙两位同学随机坐A、B、D三个座位中的两个座位，则甲、乙两位同学座位都与班主任相邻的概率是 ．
15．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图1），西方国家称之为毕达哥拉斯定理（如图2），它们都是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图3，点分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，连接分别交于点，设，若，则的值为 ．

三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：．
17．已知：如图，，，．求证：．

18．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
19．某校为扎实落实“双减”政策，提高学生身体素质，采用体育课和课外体育锻炼相结合的方式，鼓励学生积极参与体育锻炼，为了解学生每周参加课外体育锻炼时间，对三个年级的学生进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周参加课外体育锻的炼时间分为小时、小时、小时、小时、小时共五种情况小明根据调查结果制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)本次共调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中小时所对应的圆心角是______度；
(3)小亮同学平均每周参加课外体育锻炼的时长是小时，他若想知识自己在这次调查中处于一种什么样的水平，应该去了解这组数据哪方面的信息，并说明理由；
(4)已知全校共名学生，请估算全校学生每周参加课外体育锻炼的时间至少有小时的学生人数有多少人？
20．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

(1)求行进路线和所在直线的夹角的度数；
(2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
21．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
22．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件．
(1)①当售价上涨时，与的函数关系为______，自变量的取值范围是______；
②当售价下降时，与的函数关系为______，自变量的取值范围是______；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每月可获得利润最大？最大月利润是多少元？
23．在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在点处，延长交射线于点，延长交于，如图1，图2．
(1)直接写出与的数量关系为______；
(2)如图1，求证：；
(3)若，在点从点向点运动的过程中．
①如图2，当时，求的长；
②当时，直接写出的长．
24．抛物线经过点和，与轴交于另一点．
(1)则抛物线的解析式为______；顶点坐标为______．
(2)如图1，连接，将直线沿折叠交抛物线于点，求点坐标；
(3)如图2，为抛物线上任意一点，连接，将沿轴折叠交抛物线于点，连接，过点作轴的平行线交于点，求的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
【解答】解：-2的倒数是-，
故选：B．
【点拨】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2．C
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：C．
【点拨】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．A
【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数．
【解答】解：，
故选A．
【点拨】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：如图，两条入射光线平行，
，
，
，
故选：C．
5．D
【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案．
【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故本题选：D．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【解答】解：∵，，
∴双曲线过二，四象限，
∵，
∴，
无法判断的符号，
故选D．
7．B
【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题．设木长尺，绳子长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”即可列出方程．
【解答】解：设木长尺，绳子长尺，根据题意，得
．
故选：B．
8．B
【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案．
【解答】解：连接，如图所示，
，，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
9．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，过点M作于N，则是等腰直角三角，则，则，据此可得答案．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点M作于N，则是等腰直角三角，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的长为，
故选：A
10．B
【分析】此题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据抛物线开口方向及对称轴的位置以及抛物线与y轴的交点的位置，可确定a，b，c的符号，由此可判断①；根据抛物线的对称轴为直线，以及抛物线与x轴的一个交点为，可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；由抛物线与x轴交于点和，可得，，进而可得方程的两根，由此可判断③；由且，可得P点到对称轴的距离小于Q点到对称轴的距离，由此可判断④．熟练掌握二次函数的图像与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【解答】由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
则另一个交点为，
∴时，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点和，
∴的两根为6和，
∴，，
则，，
∴方程可变为，
∵，
∴，
解得，，
故③不正确；
∵，
∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵，
∴，
即P点到对称轴的距离小于Q点到对称轴的距离，
∴，故④正确．
综上，正确的有①②④，
故选：B．
11．m（m﹣1）
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案为：
12．7
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．利用根与系数的关系求解即可．
【解答】解：利用根与系数的关系可知，，，
．
故答案为：7．
13．
【分析】本题考查了作图，基本作图，也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到 ，则计算出 ，然后计算即可；
【解答】由作法得垂直平分，
，
，
，

故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了树状图求概率．画出树状图，再由概率公式求解即可．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【解答】解：画出树状图如图：
共6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位都与班主任相邻的结果有2种，
∴；
故答案为：．
15．##
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，延长交的延长线于点，根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可得，同理可得，，设，根据可得的长度，再证根据相似三角形的性质可得列方程求解即可，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【解答】解：延长交的延长线于点，如图所示：
在正方形中， ， ， ，
∴，
在正方形中， ，，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
同理可得，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴即，
∴
整理得：，
解得：
∵，
故答案为：．
16．3
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【解答】解：
．
【点拨】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
17．见解析
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点拨】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
19．(1)名
(2)图见解析，
(3)中位数，理由见解析
(4)人
【分析】本题考查的是条形统计图、扇形图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）用“小时”的人数除以可得样本容量；
（2）结合（1）的结论求出“小时”的人数，进而补全条形统计图；用乘“小时”所占比例可得扇形统计图中小时所对应的圆心角度数；
（3）根据中位数的定义解答即可；
（4）用乘样本中每周参加课外体育锻炼的时间至少有小时的学生所占比例即可．
【解答】（1）解：（名），
答：本次共调查了名学生；
（2）“小时”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：

扇形统计图中小时所对应的圆心角是：．
故答案为：；
（3）小亮同学平均每周参加课外体育锻炼的时长是小时，他若想知识自己在这次调查中处于一种什么样的水平，应该去了解这组数据的中位数，理由如下：
如果他平均每周参加课外体育锻炼的时长大于中位数，则他排在中上水平，否则就排在中下水平；
（4）（人），
答：全校学生每周参加课外体育锻炼的时间至少有小时的学生人数大约有人．
20．(1)行进路线和所在直线的夹角为
(2)检查点和之间的距离为
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【解答】（1）解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
（2）过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
【点拨】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据切线的判定即可得到结论；
（2）由（1）得，，由勾股定理得，由得到，根据平行得性质得，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了切线的判定和性质，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
【解答】（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：
得到，，
，
22．(1)①；；②；
(2)当售价为元时，利润最大利润为元
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用．
（1）根据题意分别列出当售价上涨和售价下降时的一次函数解析式，再根据实际问题含义写出自变量的取值范围；
（2）根据利润=（售价-进价）销量分类讨论列出二次函数关系式，求顶点坐标即为本题答案．
【解答】（1）解：∵进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，
又∵售价每上涨1元，则每月少卖10件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件，
∴上涨了元，少卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不能高于65元，x为正整数，
∴；
∵如果售价每下降1元，则每月多卖12件，
∴下降了元，多卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不低于48元，x为正整数，
∴，
故答案为：；；；．
（2）解：∵由（1）得和，
∴对价格上涨和下降分情况讨论利润问题：
设：利润为，
①当价格上涨时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴售价元时利润最大，最大利润为：元，
②当价格下降时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴对称轴，当元时，利润最大为：元，
∵，
∴综上所述：当售价为55元时，利润最大，最大利润为2250元．
23．(1)
(2)见解析
(3)①；②当在内部时，；当在延长线上时，
【分析】（1）由对折可得，，再结合四边形的内角和定理与邻补角的性质可得结论；
（2）如图，连接，先证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论；
（3）①由，可得，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可；②如图，当在线段上时，求解，，，，结合轴对称的性质可得答案；②如图，当在的延长线上时，同理：，求解，，，证明，可得，设，再进一步解答可得答案．
【解答】（1）解：，理由如下：
∵将沿折叠，使点落在点处，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接，由对折可得：
，，，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴
∴，而，
∴．
（3）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴；
②如图，当在线段上时，
∵，，
∴，，
∴，，
由对折可得：
，，，
∴，
∴，
②如图，当在的延长线上时，同理：，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，设，
∴，
解得：，
∴；
综上：当在内部时，；当在延长线上时，．
【点拨】本题考查的是轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式后，求出顶点坐标即可；
（2）设点的对应点为，求出点坐标，勾股定理逆定理得到，根据对称的性质，得到三点共线，进而得到为的中点，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出点的坐标即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，设，折叠推出，得到，进而得到为的中点，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质，进行求解即可．
【解答】（1）解：把点和代入，得：
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）令，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点的对应点为，则：垂直平分，
∴三点共线，
∴为的中点，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立：，解得：或（舍去）；
∴；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，
设，
∵折叠，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
连接并延长交于点，
∵轴，轴，轴，
∴，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．