2024届高考数学学业水平测试复习专题三第13讲函数与方程课件

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第13讲　函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
(2)函数f(x)＝|x|－1的零点的个数，就是y＝|x|与直线y＝1交点的个数，结合图形可得函数f(x)＝|x|－1的零点的个数是2.故选C.答案：(1)C　(2)C
剖析：(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
2．函数零点的应用 (1)若函数f(x)＝2x＋x3＋a的零点所在的区间为(0，1)，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1] B．[－2，－1]C．(－3，－1) D．(－2，－1)(2)(2023·广东模拟)函数f(x)＝ln x＋x－2的零点所在区间为(　　)A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)
(2)由题意得：f(x)定义域为(0，＋∞)，且在定义域上为增函数，故至多一个零点，f(1)＝－1<0；f(2)＝ln 2>0；所以f(1)·f(2)<0，f(x)零点所在区间为(1，2)．故选C.答案：(1)C　(2)C剖析：对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．
3．二次函数的零点问题 (1)已知函数f(x)在区间[－2，2]上有定义，则“f(x)在区间[－2，2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2023·广东模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
答案：(1)D　(2)(－2，0)剖析：解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式．(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．(3)利用二次函数的图象列不等式组．
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以是(　　)A．1.25 B．1.39C．1.41 D．1.5C　由表中数据可得f(1.406 25)·f(1.437 5)＜0，根据零点的存在性定理可知，零点在区间(1.406 25，1.437 5)内，观察四个选项，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.41.故选C.
3．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4) B　因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象在(0，＋∞)上是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．故选B.
C　因为函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，所以g(x)＝f(x)－m＝0有三个实根，即直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个交点．作出函数y＝f(x)图象，由图可知，实数m的取值范围是(0，1)．故选C.
6．设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]上有零点，则实数k的取值范围为________．
8．已知函数f(x)＝ax2－x－2a，其中a＞0.(1)若函数f(x)在区间(1，3)上单调，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)＝0在区间(－∞，3)上有两个不等的实根，求实数a的取值范围．