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    2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级(下)期中数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级(下)期中数学试卷(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列标点符号中是中心对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    2.下列各式:4πr33,2πr,mnm+n,mv中,是分式的共有
    ( )
    A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
    3.为了解我校八年级600名学生期中数学考试成绩,从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计.下列判断正确的是( )
    A. 被抽取的100名学生的数学成绩是总体B. 样本容量是600
    C. 被抽取的100名学生是总体的一个样本D. 样本容量是100
    4.如图,在▱ABCD中,AC是对角线,∠D=60∘,∠1=45∘,则∠2的度数是
    ( )
    A. 105∘B. 90∘C. 75∘D. 30∘
    5.下列各式从左到右的变形中,正确的是( )
    A. ab=2a2bB. ab=a−1b−1C. 1a+a=1+a2D. 2a+b3a+b=23
    6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
    A. 对角线垂直B. 对边平行C. 对角相等D. 对角线相等
    7.如图,在四边形ABCD中,AC=BD,点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点,四边形EFGH是
    ( )
    A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
    8.若分式方程x+1x−2=mx−2有增根,则m的值为
    ( )
    A. 3B. −3C. −32D. 32
    9.数学家们曾思考过这个问题:一个容器装有1升水,按照下面的方式将水倒出:第1次倒出12升水,第2次倒出的水量是12升的13,第3次倒出的水量是13升的14,….第n次倒出的水量是1n升的1n+1,……,按照这种倒水的方式,第n次倒出水后,还剩下水
    ( )
    A. 1n+1升B. 1n升C. 0升D. nn+1升
    10.如图,已知正方形ABCD中,AB=2,点E为BC边上一动点(不与点B、C重合),连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90∘得到FE,连接CF,设AF与CD相交于点G,连接DF.以下说法:①∠EAF=45∘;②DF最小值为 2;③FE平分∠AFC;④当DF最小时,四边形ECFA的面积是3.其中一定正确的是
    ( )
    A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④
    二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
    11.若分式x−1x+1的值为零,则x的值为_____.
    12.小明在农贸市场购买葡萄,为了解葡萄的甜度,他取了一颗品尝.这种了解方式属于_______(填“普查”或“抽样调查”)
    13.分式1x,12x,13x的最简公分母是_____.
    14.如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BD=10,AC=6,则▵AOB的周长为______.
    15.如图,四边形ABCD是菱形,其中点A、D的坐标分别为−3,0、0,4,点B在x轴上,则点C的坐标为______.
    16.已知非零实数x,y满足1y−1x=2,则x−y+4xyxy的值等于______.
    17.如图,在菱形ABCD中,BD=BC=2,点E是BC的中点,点P是对角线AC上的动点,连接PB、PE,则PB+PE的最小值是______.
    18.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点O是BD的中点,点E在BC边上,BE=3.已知点P是AD边上动点(DP≤4),线段OP绕点O逆时针旋转一定的度数,使点P落在线段AE上的点Q处.连接PQ,则PQ2的最小值是______.
    三、计算题:本大题共1小题,共6分。
    19.化简:
    (1)1x+1+xx+1;
    (2)x2+xyxy⋅1x+y.
    四、解答题:本题共7小题,共56分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    20.(本小题8分)
    计算:
    (1)解分式方程:x2x−1=1+22x−1.
    (2)先化简1+1x−2÷x2−2x+1x2−4,然后从−1,1,−2,2中选取一个合适的数作为x的值代入求值.
    21.(本小题8分)
    如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.
    (1)求证:AE=CF.
    (2)若BE=4,AB=5,求CF.
    22.(本小题8分)
    在“世界读书日”前夕,学校开展了“共享阅读,向上人生”的读书活动.活动中,为了解学生对书籍种类(A:艺术类,B:科技类,C:文学类,D:体育类)的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生,进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项)将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图.

    (1)这次调查中,一共调查了______名学生?
    (2)求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数,并补全条形统计图.
    (3)若全校有2000名学生,请估计喜欢B(科技类)的学生有多少名?
    23.(本小题8分)
    如图,▵ABC的顶点坐标为A−2,3,B−3,0,C0,1.
    (1)画出▵ABC关于点O成中心对称的▵A1B1C1;
    (2)将▵ABC绕点C顺时针旋转90∘,画出旋转后的▵A2B2C;
    (3)四边形BCB1C1的面积为______.
    24.(本小题8分)
    为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后每天比更新前多生产25件产品,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
    (1)更新设备后每天生产______件产品(用含x的式子表示);
    (2)更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同,求更新设备后每天生产多少件产品.
    25.(本小题8分)
    如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点B的坐标为6,8,点D为对角线OB的中点,点P是OC边上一动点,直线PD交AB边于点E.
    (1)求证:四边形OPBE为平行四边形;
    (2)若▵ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1:3,求点P的坐标;
    (3)设点Q是x轴上方平面内的一点,以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形,直接写出点Q的坐标.
    26.(本小题8分)
    在如图所示的平面直角坐标系中,正方形AOBC边长为2,点C的坐标为2,2.
    (1)如图1,动点D在OB边上,将▵BCD沿直线DC折叠,点B落在点B′处,连接DB′并延长,交AO于点E.
    ①当B′D=OD时,点D的坐标是______;
    ②若点E是线段OA的中点,求此时点D与点B′的坐标;
    (2)如图2,动点D,G分别在边OB,AC上,将四边形DBCG沿直线DG折叠,使点B的对应点B′始终落在边OA上(点B′不与点O,A重合),点C落在点C′处,B′C′交AC于点E.设OB′=t,四边形AB′DG的面积为S,直接写出S与t的关系式.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】【分析】本题考查中心对称图形的定义,理解中心对称图形的定义是解题关键.
    若把一个图形绕中心点旋转180°,旋转后的图形能和原图形重合,则这个图形为中心对称图形,即可判断.
    【详解】A.若把绕中心点旋转180°,旋转后的图形为,不能和原图形重合,不符合题意;
    B.若把绕中心点旋转180°,旋转后的图形为,不能和原图形重合,不符合题意;
    C.若把绕中心点旋转180°,旋转后的图形为,能和原图形重合,符合题意;
    D.若把绕中心点旋转180°,旋转后的图形为,不能和原图形重合,不符合题意.
    故选C.
    2.【答案】B
    【解析】【分析】本题主要考查分式的识别,形如AB,且B中含有字母,这样的式子叫做分式.注意π是常数,不是字母.
    【详解】解:4πr33分母中不含字母,不是分式;2πr是整式,不是分式;mnm+n是分式;mv是分式;
    分式共有2个,
    故选B.
    3.【答案】D
    【解析】【分析】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目,不能带单位.总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.
    【详解】解:A.被抽取的100名学生的数学成绩是样本,故A错误;
    BD.样本容量是100,故B错误,D正确;
    C.被抽取的100名学生的数学成绩是总体的一个样本,故C错误.
    故选:D.
    4.【答案】C
    【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质,掌握“平行四边形的两组对边分别平行”是解题的关键.根据∠D=60∘,AB/​/CD得出∠BAD=120∘,根据∠1=45∘,求出∠CAD,最后根据平行线的性质即可求出结果.
    【详解】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴AD//BC,AB/​/CD,
    ∴∠2=∠CAD,∠BAD+∠D=180∘,
    ∵∠D=60∘,
    ∴∠BAD=120∘,
    ∵∠1=45∘,
    ∴∠2=∠CAD=120∘−45∘=75∘,
    故选:C.
    5.【答案】A
    【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质,根据分式的基本性质:分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式,分式的值不变,依次分析各个选项,即可求出答案.
    【详解】解:A,ab=2a2b,变形正确;
    B,ab≠a−1b−1,变形错误;
    C,1a+a=1+a2a≠1+a2,变形错误;
    D,2a+b3a+b的分子和分母不能约分,2a+b3a+b≠23,变形错误;
    故选A.
    6.【答案】D
    【解析】【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质,掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键.根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形,所以平行四边形所具有的性质,矩形和菱形都具有即可解答.
    【详解】解:∵矩形和菱形是平行四边形,
    ∴对边平行,对角相等,是二者都具有的性质,
    ∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质,对角线垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质.
    故选:D.
    7.【答案】C
    【解析】【分析】本题考查了菱形的 判定以及三角形的中位线定理,顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形,一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半,说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形,再根据AC=BD即可证明结论.
    【详解】解:∵点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点,
    ∴HG//AC,HG=12AC,EF/​/AC,EF=12AC,EH=12BD,
    ∴EF=HG且EF/​/HG,
    ∴四边形EFGH是平行四边形,
    ∵AC=BD,
    ∴EH=EF,
    ∴四边形EFGH为菱形.
    故选:C.
    8.【答案】A
    【解析】【分析】本题考查了分式方程的增根,先去分母将分式方程化为整式方程,令分母为0求出增根,代入整式方程即可求解.
    【详解】解:x+1x−2=mx−2,
    去分母,得x+1=m,
    解得x=m−1,
    ∵分式方程x+1x−2=mx−2有增根,
    ∴x−2=0,
    ∴x=2,
    ∴m−1=2,
    解得m=3,
    故选A.
    9.【答案】A
    【解析】【分析】考查了规律型:数字的变化,此题属于规律性题目,解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律,按照此规律再进行计算即可.注意1n⋅1n+1=1n−1n+1.根据题目中第1次倒出12升水,第2次倒出水量是12升的13,第3次倒出水量是13升的14,第4次倒出水量是14升的15…,第n次倒出的水量是1n升的1n+1…,可知按照这种倒水的方法,第n次倒出水后,还剩下水升水.
    解:∵1−12−12×13−13×14−14×15−⋅⋅⋅−1n×1n+1
    =1−12−12+13−13+14−14+15−⋅⋅⋅−1n+1n+1
    =1n+1.
    故按此按照这种倒水的方法,这1升水经n次后还有1n+1升水.
    故选:A.
    10.【答案】D
    【解析】【分析】根据旋转得出:∠AEF=90∘,AE=EF,根据三角形内角和定理求出∠AFE=∠EAF=12180∘−90∘=45∘,判断①正确;延长BC,过点F作FM⊥BC于点M,连接AC,延长CF,过点D作DN⊥CF于点N,证明▵EFM≌▵AEB,得出AB=EM,BE=FM,说明点F一定在过点C,与AC垂直的 直线上,根据垂线段最短,得出点F在点N处时,DF最小,根据△CDN为等腰直角三角形,得出DN=CD 2=2 2= 2,判断②正确;根据S四边形AECF=S▵AEF+S▵CEF求出四边形AECF的面积,判断④正确;根据∠ACF=90∘,得出∠AFC<90∘,说明∠AFE≠∠CFE,判断③错误.
    【详解】解:根据旋转可知:∠AEF=90∘,AE=EF,
    ∴∠AFE=∠EAF=12180∘−90∘=45∘,故①正确;
    延长BC,过点F作FM⊥BC于点M,连接AC,延长CF,过点D作DN⊥CF于点N,如图所示:
    则∠EMF=90∘,
    ∵四边形ABCD为正方形,
    ∴∠B=∠BCD=90∘,AB=BC=CD=AD=2,
    ∵∠EFM+∠FEM=∠FEM+∠AEB=90∘,
    ∴∠EFM=∠AEB,
    ∵AE=EF,∠FME=∠B,
    ∴▵EFM≌▵AEB,
    ∴AB=EM,BE=FM,
    ∴BC=EM,
    ∴BE+EC=EC+CM,
    ∴BE=CM,
    ∴CM=FM,
    ∴∠FCM=∠CFM=12×90∘=45∘,
    ∴∠DCF=180∘−90∘−45∘=45∘,
    ∵∠ACD=∠ACB=45∘,
    ∴∠ACF=45∘+45∘=90∘,
    ∴FC⊥AC,
    ∴点F一定在过点C,与AC垂直的直线上,
    ∵垂线段最短,
    ∴点F在点N处时,DF最小,
    ∵∠CND=90∘,∠DCN=45∘,
    ∴△CDN为等腰直角三角形,
    ∴DN=CD 2=2 2= 2,
    即DF的最小值为 2,故②正确;
    当DF最小时,CF=DF= 2,
    ∵∠CMF=90∘,∠FCM=45∘,
    ∴▵CFM为等腰直角三角形,
    ∴FM=CM=CF 2= 2 2=1,
    ∴CE=EM−CM=2−1=1,
    ∴BE=2−1=1,
    ∴AE= 22+12= 5,
    ∴EF=AE= 5,
    ∴S四边形AECF=S▵AEF+S▵CEF
    =12× 5× 5+12×1×1
    =3,故④正确;
    ∵∠ACF=90∘,
    ∴∠AFC<90∘,
    ∵∠AFE=45∘,
    ∴∠CFE=∠AFC−∠AFE<45∘,
    ∴∠AFE≠∠CFE,
    ∴FE一定不平分∠AFC,故③错误;
    综上分析可知:①②④正确;
    故选:D.
    11.【答案】1
    【解析】【分析】由题意根据分式的值为0的条件是分子为0,分母不能为0,据此可以解答本题.
    【详解】解:x−1x+1=0,
    则x−1=0,x+1≠0,
    解得x=1.
    故若分式x−1x+1的值为零,则x的值为1.
    故答案为:1.
    12.【答案】抽样调查
    【解析】【分析】本题考查普查和抽样调查的含义,普查即全面调查,抽样调查指的是全部数据中抽出部分调查,根据定义即可选出本题答案.
    【详解】解:∵为了解葡萄的甜度,他取了一颗品尝,
    ∴更适用抽样调查,
    故答案为:抽样调查.
    13.【答案】6x
    【解析】【分析】先确定各分母中,系数的最小公倍数,再找出各因式的最高次幂,即可得答案.
    【详解】∵3个分式分母的系数分别为1,2,3
    ∴此系数最小公倍数是6.
    ∵x的最高次幂均为1,
    ∴三个分式的最简公分母为6x.
    故答案为6x
    14.【答案】13
    【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质,根据平行四边形的对角线互相平分即可求解.
    【详解】解:∵平行四边形ABCD中,AB=5,BD=10,AC=6,
    ∴OB=12BD=5,OA=12AC=3,
    ∴OB+OA+AB=5+3+5=13,
    即▵AOB的周长为13,
    故答案为:13.
    15.【答案】5,4
    【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质、两点间距离公式等,由两点间距离公式可得AD=5,再根据菱形的性质可得CD=AD=5,根据点B在x轴上,可得CD/​/AB,进而可得点C的坐标.
    【详解】解:∵点A、D的坐标分别为−3,0、0,4,
    ∴AD= −3−02+0−42= 32+42=5,
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴CD=AD=5,
    ∵点B在x轴上,
    ∴CD//AB,
    ∴点C的坐标为5,4,
    故答案为:5,4.
    16.【答案】6
    【解析】【分析】本题考查的是分式的加减法和求值,根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可.
    【详解】解:∵非零实数x,y满足1y−1x=2,
    ∴x−y+4xyxy
    =xxy−yxy+4xyxy
    =1y−1x+4
    =2+4
    =6,
    故答案为:6.
    17.【答案】 3
    【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质,轴对称−最短路线问题,勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.根据菱形的对称性可知点B、D关于AC对称,则PB+PE的最小值即为DE的长,再利用勾股定理求出DE的长即可.
    【详解】解:设BD与AC相交于点O,连接DE,DP,如图所示:
    ∵四边形ABCD为菱形,
    ∴AC垂直平分BD,BC=CD,
    ∴DP=BP,
    ∴PE+PB=DP+PE,
    ∴当DP+PE最小时,PB+PE最小,
    ∴当D、P、E三点共线时DP+PE最小,即PB+PE最小,
    ∵BD=BC=2,
    ∴BD=BC=CD,
    ∵点E是BC的中点,
    ∴DE⊥BC,BE=CE=1,
    ∴DE= BD2−BE2= 22−12= 3,
    ∴PB+PE最小值为 3.
    故答案为: 3.
    18.【答案】645
    【解析】【分析】连接OA,作AG⊥BD于G,作OI⊥AD于I,OK⊥AE于K,证明Rt▵KOQ≅Rt▵IOP,得出PQ2=165OP2,求出OP最小值即可.
    【详解】解:连接OA,作AG⊥BD于G,
    在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,
    ∴BD= 42+82=4 5,
    ∴OA=OD=2 5,
    ∵12AG⋅BD=12AB⋅AD,
    ∴AG=8 55,
    ∴sin∠AOB=AGAO=45,
    ∵BE=3,AB=4,∠ABE=90∘,
    ∴AE= 42+32=5,
    ∴sin∠AEB=45,
    ∴∠AEB=∠AOB=2∠OAD,
    ∵AD//BC,
    ∴∠DAE=∠AEB=2∠OAD,
    ∴∠QAO=∠OAD,
    作OI⊥AD于I,OK⊥AE于K,
    ∴OI=OK,
    ∵OP=OQ,
    ∴Rt▵KOQ≅Rt▵IOP,
    ∴∠QOK=∠POI,
    ∴∠IOK=∠POQ,
    ∵∠IOK+∠EAD=∠IOK+2∠OAD=180∘,∠POQ+2∠OPQ=180∘,
    ∴∠OPQ=∠OAD=∠ADO,
    ∴tan∠OPQ=tan∠ADO=12,
    作OH⊥PQ于H,
    ∴PQ=2PH=4OH,
    ∴PO= OH2+PH2= 5OH,
    ∴PQ2=16OH2,PO2=5OH2,
    ∴PQ2=165OP2,
    当OP⊥AD时,OP最小,最小值为2,
    此时PQ2=165OP2=645;
    故答案为:645.

    19.【答案】【小问1详解】
    解:1x+1+xx+1
    =1+xx+1
    =1;
    【小问2详解】
    解:x2+xyxy⋅1x+y
    =xx+yxy⋅1x+y
    =1y.

    【解析】【分析】本题考查分式的加法及乘法,熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.
    (1)同分母分式相加,分母不变,分子相加,再约分化简;
    (2)先对原式中能因式分解的分子和分母进行因式分解,再约分化简即可.
    20.【答案】【小问1详解】
    解:(1)x2x−1=1+22x−1,
    去分母得:x=2x−1+2,
    解整式方程得:x=−1,
    检验:把x=−1代入2x−1得:2x−1=2×−1−1=−3≠0,
    ∴x=−1是原方程的解;
    【小问2详解】
    解:1+1x−2÷x2−2x+1x2−4
    =x−2+1x−2÷x−12x+2x−2
    =x−1x−2⋅x+2x−2x−12
    =x+2x−1,
    ∵x≠2,−2,1,
    ∴把x=−1代入x+2x−1得:原式=−1+2−1−1=−12.

    【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程,分式化简求值,熟练掌握运算法则,准确计算.
    (1)先变分式方程为整式方程,然后解整式方程即可;
    (2)先根据分式混合运算法则进行化简,然后代入求值即可.
    21.【答案】【小问1详解】
    证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB/​/CD,AB=CD,
    ∴∠ABE=∠CDF,
    ∵AE⊥BD,AE⊥BD,
    ∴∠AEB=∠CFD=90∘,
    在▵ABE和▵CDF中,
    ∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD,
    ∴▵ABE≌▵CDFAAS,
    ∴AE=CF;
    【小问2详解】
    解:由(1)得▵ABE≌▵CDF,
    ∴DF=BE=4,CD=AB=5,
    ∵在Rt▵CFD中,CF2+DF2=CD2,
    ∴CF= CD2−DF2= 52−42=3.

    【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理:
    (1)根据平行四边形的性质得出AB/​/CD,AB=CD,进而证明▵ABE≌▵CDFAAS,即可得出AE=CF;
    (2)由全等三角形的性质可得DF=BE=4,CD=AB=5,再用勾股定理解Rt▵CFD即可.
    22.【答案】【小问1详解】
    解:40÷20%=200(名),
    答:调查的总学生是200名;
    【小问2详解】
    解:D所占百分比为30200×100%=15%,
    扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为360∘×15%=54∘,
    B所占的百分比是1−15%−20%−30%=35%,
    C的人数是:200×30%=60(名),
    补图如下:

    【小问3详解】
    解:2000×35%=700(名),
    答:估计喜欢B(科技类)的学生大约有700名.

    【解析】【分析】(1)根据A类的人数和所占的百分比,即可求出总人数;
    (2)用整体1减去A、C、D类所占的百分比,即可求出扇形统计图中“B”所在扇形的圆心角的度数以及B所占的百分比;用总人数乘以所占的百分比,求出C的人数,从而补全图形;
    (3)总人数乘以样本中B所占百分比即可得出结果.
    23.【答案】【小问1详解】
    解:如图,▵A1B1C1即为所求作的三角形;
    【小问2详解】
    解:如图,▵A2B2C即为所求作的三角形;
    【小问3详解】
    解:∵BC=CB1=B1C1=BC1= 12+32= 10,
    ∴四边形BCC1B1为菱形,
    ∴S四边形BCB1C1=12×6×2=6.

    【解析】【分析】本题主要考查了作中心对称图形,旋转作图,解题的关键是作出对应点的位置.
    (1)作出点A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1,然后顺次连接即可;
    (2)作出点A、B绕点C顺时针旋转90∘的对应点A2、B2,然后顺次连接即可;
    (3)利用网格求出四边形BCB1C1的面积即可.
    24.【答案】【小问1详解】
    解;由题意得,更新设备后每天生产x+25件产品,
    故答案为:x+25;
    【小问2详解】
    解:由题意得,6000x=7000x+25,
    解得x=150,
    经检验,x=150是原方程的解,
    ∴x+25=175,
    答:更新设备后每天生产175件产品.

    【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用,列代数式:
    (1)根据更新设备后每天比更新前多生产25件产品列式求解即可;
    (2)根据更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同列出方程求解即可.
    25.【答案】【小问1详解】
    证明:∵四边形OABC是矩形,
    ∴OC//AB,
    ∴∠POD=∠EBD,
    ∵点D为对角线OB的中点,
    ∴OD=BD,
    在△OPD和▵BED中,
    ∠POD=∠EBDOD=BD∠PDO=∠EDB,
    ∴△OPD≌▵BEDASA,
    ∴OP=BE,
    又∵OP//BE,
    ∴四边形OPBE为平行四边形;
    【小问2详解】
    解:∵矩形OABC中点B的坐标为6,8,
    ∴OA=6,AB=8,
    ∴S▵OAB=12OA⋅AB=12×6×8=24,
    由(1)知△OPD≌▵BEDASA,
    ∴S▵OPD=S▵BED,
    ∴S▵OPD :S四边形OAED=S▵BED:S四边形OAED=1:3,
    ∴S▵BED:S▵OAB=1:4,
    ∴S▵OPD=S▵BED=14S▵OAB=14×24=6,
    ∵B6,8,点D为对角线OB的中点,
    ∴D3,4,
    ∴△OPD中OP边上的高为3,
    ∴S▵OPD=12OP×3=6,
    ∴OP=4,
    ∴点P的坐标为0,4;
    【小问3详解】
    解:由(2)知D3,4,
    ∴OD= 32+42=5.
    以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时,设P0,t,
    分三种情况:
    ①当OQ为对角线时,OP=OD=5,
    ∴P0,5,
    ∵xO+xQ=xP+xD,yO+yQ=yP+yD,
    ∴0+xQ=0+3,0+yQ=5+4,
    ∴xQ=3,yQ=9,
    ∴Q3,9;
    ②当OP为对角线时,DP=OD=5,
    ∴3−02+4−t2=52,
    解得t=8,t=0(舍),
    ∴P0,8,
    ∵xO+xP=xQ+xD,yO+yP=yQ+yD,
    ∴0+0=xQ+3,0+8=yQ+4,
    ∴xQ=−3,yQ=4,
    ∴Q−3,4;
    ③当OD为对角线时,DP=OP,
    ∴3−02+4−t2=t2,
    解得t=258,
    ∴P0,258,
    ∵xO+xD=xQ+xP,yO+yD=yQ+yP,
    ∴0+3=xQ+0,0+4=yQ+258,
    ∴xQ=3,yQ=78,
    ∴Q3,78;
    综上可知,点Q的坐标为3,9或−3,4或3,78.

    【解析】【分析】(1)先证△OPD≌▵BEDASA,推出OP=BE,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明;
    (2)先求出S▵OAB,根据△OPD≌▵BEDASA可得S▵OPD=S▵BED,进而可证S▵OPD=S▵BED=14S▵OAB=6,再求出OP的长即可;
    (3)分OQ为对角线时、OP为对角线时、OD为对角线时三种情况,利用顶点坐标关系列式求解即可.
    26.【答案】【小问1详解】
    解:①∵正方形AOBC边长为2,点C的坐标为2,2,
    ∴OB=BC=AC=OA=2,
    由折叠的性质可得B′D=BD,
    又∵B′D=OD,
    ∴BD=OD,
    ∴OD=12OB=1,
    ∴点D的坐标是1,0,
    故答案为 :1,0;
    ②如图,连接CE,
    ∵点E是线段OA的中点,
    ∴OE=AE=12OA=1,
    由折叠的性质可得B′C=BC,∠DB′C=∠DBC=90∘,
    又∵AC=BC,
    ∴B′C=AC,
    在Rt▵B′CE和Rt▵ACE中,B′C=ACCE=CE,
    ∴Rt▵B′CE≌Rt▵ACEHL,
    ∴B′E=AE=1,
    设点D的坐标为d,0,则OD=d,
    ∴B′D=BD=OB−OD=2−d,
    ∴DE=B′E+B′D=1+2−d=3−d,
    在Rt▵EOD中,OE2+OD2=DE2,
    ∴12+d2=3−d2,
    解得d=43,
    ∴点D的坐标为43,0,
    设直线DE的解析式为y=kx+b,
    将E0,1和D43,0代入,得b=143k+b=0,
    解得b=1k=−34,
    ∴直线DE的解析式为y=−34x+1,
    设点B′的坐标为x,−34x+1,
    ∵B′E=1,E0,1,
    ∴x−02+−34x+1−12=12,
    解得x=45或x=−45(舍去),
    ∴点B′的坐标为45,25;
    【小问2详解】
    解:如图,连接B′G,B′B,BG,
    设OB′=t,则AB′=OA−OB′=2−t.
    设BD=B′D=m,则OD=OB−BD=2−m,
    在Rt▵OB′D中,OB′2+OD2=B′D2,
    ∴t2+2−m2=m2,
    解得m=t2+44,
    ∴S▵B′OD=12OB′⋅OD=12t⋅2−t2+44=−t3+4t8;
    设CG=n,则AG=AC−CG=2−n,
    在Rt▵AB′G中,B′G2=AB′2+AG2=2−t2+2−n2,
    在Rt▵BCG中,BG2=CG2+BC2=n2+22=n2+4,
    由折叠可知DG垂直平分B′B,
    ∴B′G=BG,
    ∴B′G2=BG2,即2−t2+2−n2=n2+4,
    解得n=t2−4t+44,
    ∴S梯形DBCG=12CG+DB⋅BC=12t2−4t+44+t2+44×2=t2−2t+42;
    ∴S=S正方形OABC−S▵B′OD−S梯形DBCG=22−−t3+4t8−t2−2t+42=18t3−12t2+12t+2,
    即S=18t3−12t2+12t+20
    【解析】【分析】(1)①由折叠的性质可得B′D=BD,结合B′D=OD可得OD=12OB=1;②连接CE,先证Rt▵B′CE≌Rt▵ACEHL,推出B′E=AE=1,设点D的坐标为d,0,用勾股定理解Rt▵EOD可得点D的坐标,利用待定系数法求出直线DE的解析式,设出点B′的坐标,结合B′E=AE=1,利用两点间距离公式列方程,即可求解;
    (2)连接B′G,B′B,BG,设BD=B′D=m,用勾股定理解Rt▵OB′D求出m与t的关系,进而用含t的代数式表示出S▵B′OD;设CG=n,用勾股定理解Rt▵AB′G,Rt▵BCG,用含t,n的式子分别表示出B′G2,BG2,由折叠可知DG垂直平分B′B,推出B′G=BG,进而可得n与t的关系,用含t的代数式表示出S梯形DBCG,最后根据S=S正方形OABC−S▵B′OD−S梯形DBCG即可求解.
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