2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列标点符号中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式：，，，中，是分式的共有
( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
3.为了解我校八年级名学生期中数学考试成绩，从中抽取了名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是( )
A. 被抽取的名学生的数学成绩是总体B. 样本容量是
C. 被抽取的名学生是总体的一个样本D. 样本容量是
4.如图，在中，是对角线，，，则的度数是
( )
A. B. C. D.
5.下列各式从左到右的变形中，正确的是( )
A. B. C. D.
6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线垂直B. 对边平行C. 对角相等D. 对角线相等
7.如图，在四边形中，，点、、、分别是边、、、的中点，四边形是
( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
8.若分式方程有增根，则的值为
( )
A. B. C. D.
9.数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有升水，按照下面的方式将水倒出：第次倒出升水，第次倒出的水量是升的，第次倒出的水量是升的，第次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第次倒出水后，还剩下水
( )
A. 升B. 升C. 升D. 升
10.如图，已知正方形中，，点为边上一动点不与点、重合，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，设与相交于点，连接以下说法：；最小值为；平分；当最小时，四边形的面积是其中一定正确的是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若分式的值为零，则的值为_____．
12.小明在农贸市场购买葡萄，为了解葡萄的甜度，他取了一颗品尝．这种了解方式属于_______填“普查”或“抽样调查”
13.分式，，的最简公分母是_____．
14.如图，在平行四边形中，，，，则的周长为______．
15.如图，四边形是菱形，其中点、的坐标分别为、，点在轴上，则点的坐标为______．
16.已知非零实数，满足，则的值等于______．
17.如图，在菱形中，，点是的中点，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值是______．
18.如图，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，已知点是边上动点，线段绕点逆时针旋转一定的度数，使点落在线段上的点处．连接，则的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.化简：
；
．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：
解分式方程：．
先化简，然后从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
21.本小题分
如图，在平行四边形中，于，于．
求证：．
若，，求．
22.本小题分
在“世界读书日”前夕，学校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

这次调查中，一共调查了______名学生？
求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图．
若全校有名学生，请估计喜欢科技类的学生有多少名？
23.本小题分
如图，的顶点坐标为，，．
画出关于点成中心对称的；
将绕点顺时针旋转，画出旋转后的；
四边形的面积为______．
24.本小题分
为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产件产品，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
更新设备后每天生产______件产品用含的式子表示；
更新设备前生产件产品的天数和更新设备后生产件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品．
25.本小题分
如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，点为对角线的中点，点是边上一动点，直线交边于点．
求证：四边形为平行四边形；
若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
26.本小题分
在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为，点的坐标为．
如图，动点在边上，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交于点．
当时，点的坐标是______；
若点是线段的中点，求此时点与点的坐标；
如图，动点，分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上点不与点，重合，点落在点处，交于点设，四边形的面积为，直接写出与的关系式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查中心对称图形的定义，理解中心对称图形的定义是解题关键．
若把一个图形绕中心点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可判断．
【详解】若把绕中心点旋转，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意；
B.若把绕中心点旋转，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意；
C.若把绕中心点旋转，旋转后的图形为，能和原图形重合，符合题意；
D.若把绕中心点旋转，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查分式的识别，形如，且中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母．
【详解】解：分母中不含字母，不是分式；是整式，不是分式；是分式；是分式；
分式共有个，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：被抽取的名学生的数学成绩是样本，故A错误；
样本容量是，故B错误，D正确；
C.被抽取的名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形的两组对边分别平行”是解题的关键．根据，得出，根据，求出，最后根据平行线的性质即可求出结果．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案．
【详解】解：，，变形正确；
，，变形错误；
，，变形错误；
，的分子和分母不能约分，，变形错误；
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有即可解答．
【详解】解：矩形和菱形是平行四边形，
对边平行，对角相等，是二者都具有的性质，
对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，对角线垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查了菱形的 判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论．
【详解】解：点、、、分别是边、、、的中点，
，，，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形为菱形．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查了分式方程的增根，先去分母将分式方程化为整式方程，令分母为求出增根，代入整式方程即可求解．
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
分式方程有增根，
，
，
，
解得，
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意根据题目中第次倒出升水，第次倒出水量是升的，第次倒出水量是升的，第次倒出水量是升的，第次倒出的水量是升的，可知按照这种倒水的方法，第次倒出水后，还剩下水升水．
解：
．
故按此按照这种倒水的方法，这升水经次后还有升水．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据旋转得出：，，根据三角形内角和定理求出，判断正确；延长，过点作于点，连接，延长，过点作于点，证明，得出，，说明点一定在过点，与垂直的 直线上，根据垂线段最短，得出点在点处时，最小，根据为等腰直角三角形，得出，判断正确；根据求出四边形的面积，判断正确；根据，得出，说明，判断错误．
【详解】解：根据旋转可知：，，
，故正确；
延长，过点作于点，连接，延长，过点作于点，如图所示：
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点一定在过点，与垂直的直线上，
垂线段最短，
点在点处时，最小，
，，
为等腰直角三角形，
，
即的最小值为，故正确；
当最小时，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
一定不平分，故错误；
综上分析可知：正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】由题意根据分式的值为的条件是分子为，分母不能为，据此可以解答本题．
【详解】解：，
则，，
解得．
故若分式的值为零，则的值为．
故答案为：．
12.【答案】抽样调查
【解析】【分析】本题考查普查和抽样调查的含义，普查即全面调查，抽样调查指的是全部数据中抽出部分调查，根据定义即可选出本题答案．
【详解】解：为了解葡萄的甜度，他取了一颗品尝，
更适用抽样调查，
故答案为：抽样调查．
13.【答案】
【解析】【分析】先确定各分母中，系数的最小公倍数，再找出各因式的最高次幂，即可得答案．
【详解】个分式分母的系数分别为，，
此系数最小公倍数是．
的最高次幂均为，
三个分式的最简公分母为．
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解．
【详解】解：平行四边形中，，，，
，，
，
即的周长为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质、两点间距离公式等，由两点间距离公式可得，再根据菱形的性质可得，根据点在轴上，可得，进而可得点的坐标．
【详解】解：点、的坐标分别为、，
，
四边形是菱形，
，
点在轴上，
，
点的坐标为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可．
【详解】解：非零实数，满足，
，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对称性可知点、关于对称，则的最小值即为的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：设与相交于点，连接，，如图所示：
四边形为菱形，
垂直平分，，
，
，
当最小时，最小，
当、、三点共线时最小，即最小，
，
，
点是的中点，
，，
，
最小值为．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】连接，作于，作于，于，证明，得出，求出最小值即可．
【详解】解：连接，作于，
在矩形中，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
作于，于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
作于，
，
，
，，
，
当时，最小，最小值为，
此时；
故答案为：．

19.【答案】【小问详解】
解：
；
【小问详解】
解：
．

【解析】【分析】本题考查分式的加法及乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
同分母分式相加，分母不变，分子相加，再约分化简；
先对原式中能因式分解的分子和分母进行因式分解，再约分化简即可．
20.【答案】【小问详解】
解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
是原方程的解；
【小问详解】
解：
，
，，，
把代入得：原式．

【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，分式化简求值，熟练掌握运算法则，准确计算．
先变分式方程为整式方程，然后解整式方程即可；
先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入求值即可．
21.【答案】【小问详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
【小问详解】
解：由得，
，，
在中，，
．

【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
根据平行四边形的性质得出，，进而证明，即可得出；
由全等三角形的性质可得，，再用勾股定理解即可．
22.【答案】【小问详解】
解：名，
答：调查的总学生是名；
【小问详解】
解：所占百分比为，
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为，
所占的百分比是，
的人数是：名，
补图如下：
；
【小问详解】
解：名，
答：估计喜欢科技类的学生大约有名．

【解析】【分析】根据类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
用整体减去、、类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数以及所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中所占百分比即可得出结果．
23.【答案】【小问详解】
解：如图，即为所求作的三角形；
【小问详解】
解：如图，即为所求作的三角形；
【小问详解】
解：，
四边形为菱形，
．

【解析】【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置．
作出点、、关于点的对称点、、，然后顺次连接即可；
作出点、绕点顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可；
利用网格求出四边形的面积即可．
24.【答案】【小问详解】
解；由题意得，更新设备后每天生产件产品，
故答案为：；
【小问详解】
解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：更新设备后每天生产件产品．

【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，列代数式：
根据更新设备后每天比更新前多生产件产品列式求解即可；
根据更新设备前生产件产品的天数和更新设备后生产件产品的天数相同列出方程求解即可．
25.【答案】【小问详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
点为对角线的中点，
，
在和中，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
【小问详解】
解：矩形中点的坐标为，
，，
，
由知，
，
，
，
，
，点为对角线的中点，
，
中边上的高为，
，
，
点的坐标为；
【小问详解】
解：由知，
．
以、、、为顶点的四边形是菱形时，设，
分三种情况：
当为对角线时，，
，
，，
，，
，，
；
当为对角线时，，
，
解得，舍，
，
，，
，，
，，
；
当为对角线时，，
，
解得，
，
，，
，，
，，
；
综上可知，点的坐标为或或．

【解析】【分析】先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可；
分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可．
26.【答案】【小问详解】
解：正方形边长为，点的坐标为，
，
由折叠的性质可得，
又，
，
，
点的坐标是，
故答案为 ：；
如图，连接，
点是线段的中点，
，
由折叠的性质可得，，
又，
，
在和中，
，
，
设点的坐标为，则，
，
，
在中，，
，
解得，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将和代入，得
解得
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，，
，
解得或舍去，
点的坐标为；
【小问详解】
解：如图，连接，，，
设，则．
设，则，
在中，，
，
解得，
；
设，则，
在中，，
在中，，
由折叠可知垂直平分，
，
，即，
解得，
；
，
即．

【解析】【分析】由折叠的性质可得，结合可得；连接，先证，推出，设点的坐标为，用勾股定理解可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设出点的坐标，结合，利用两点间距离公式列方程，即可求解；
连接，，，设，用勾股定理解求出与的关系，进而用含的代数式表示出；设，用勾股定理解，，用含，的式子分别表示出，，由折叠可知垂直平分，推出，进而可得与的关系，用含的代数式表示出，最后根据即可求解．