2023-2024学年江苏省常州市北郊初级中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市北郊初级中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．关于x的方程（a﹣2）x2+（a+2）x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣2B．a≠2C．a＝﹣2D．a＝2
2．关于x的一元二次方程x2+x﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．任意三角形都有内切圆
D．相等的圆心角所对的弧也相等
4．某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（ ）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600
B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600
D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
5．已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．相交或相切
6．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．不确定
7．无论x取何值，代数式3x2﹣6x+11的值（ ）
A．总大于8B．总不小于8
C．总不小于11D．总大于11
8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4＝0的一个根是1，则m＝ ．
10．小华在解一元二次方程x2＝x时，只得出一个根是x＝1，则被他漏掉的一个根是 ．
11．关于x的方程x2+px+q＝0的两个根分别为﹣1、4，则p+q的值为 ．
12．已知m，n为一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则m2+m﹣n的值为 ．
13．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x元，则可列方程为 ．
14．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝34°，则∠A的度数为＝ ．
15．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD，AD＝2，则AC的长为 ．
16．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为 ．
17．如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B′上的动点．以P为圆心、PA'为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径长为 ．
三、解答题：（共64分）
19．（16分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（4）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
21．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏围成两个矩形围栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长．
22．如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三个格点都在圆上，点P是此圆内的一个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并写出⊙O的半径长＝ ；
（2）画出⊙O上的点Q，使PQ长最小，并写出PQ的最小值＝ ；
（3）画出格点E，使EC为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．（只需要画出满足条件的一个点E和一个点F即可）
23．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．
24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC＝∠ABC，连接DC交⊙O于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，E是CD的中点，求CE的长度．
25．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”；并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，a≠b，关于x的方程ax2+5x+b＝0是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．关于x的方程（a﹣2）x2+（a+2）x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣2B．a≠2C．a＝﹣2D．a＝2
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，列出并解不等式即可．
解：∵一元二次方程的二次项系数不能为0，
∴a﹣2≠0，
∴a≠2．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的二次项系数不能为0是解题关键．
2．关于x的一元二次方程x2+x﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
解：∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣8）＝1+32＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．任意三角形都有内切圆
D．相等的圆心角所对的弧也相等
【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；C、任何一个三角形都有内切圆，故本选项正确；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
4．某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（ ）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600
B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600
D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
【分析】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程．
解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，
故选：A．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
5．已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．相交或相切
【分析】求出圆O的半径，把半径和圆O到直线AB的距离（相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r）比较即可．
解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
∵圆心O到直线AB的距离为5cm，
∴5＝5，
∴⊙O与直线AB的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，熟练掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键．
6．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．不确定
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴△ABC外接圆的半径＝BC＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处是解题的关键．
7．无论x取何值，代数式3x2﹣6x+11的值（ ）
A．总大于8B．总不小于8
C．总不小于11D．总大于11
【分析】B将代数式3x2﹣6x+11配方，得到3（x﹣1）2+8，即可求解．
解：3x2﹣6x+11＝3（x﹣1）2+8，
∵（x﹣1）2≥8，
∴代数式3x2﹣6x+11的值总不小于8，
故选：B．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意取OC的中点，根据点E的运动轨迹，确定点F的运动轨迹，根据DF≤DM+MF，可确定当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF＝DM+MF，求出DM＝4﹣，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则DM＝OC＝，联立即可求出半径r的值，然后求出OD的长，利用勾股定理即可求出CD的长．
解：如图所示：连接OE、OC，取OC的中点M，连接MF和DM，设⊙O的半径为r，
∵点F为CE的中点，
∴MF＝OE＝，
∵点E是⊙O上的动点（不与C重合），点C为顶点，
∴点F的运动轨迹是以点M圆心，以MF的长为半径的圆上，
则DF≤DM+MF，
∴当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF＝DM+MF，
∴DM＝4﹣，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO＝90°，
∵点M为OC的中点，
∴DM＝OC＝，
∴，解得：r＝4，
∴OD＝OA﹣AD＝2，
在Rt△CDO中，CD＝＝2；
故选：A．
【点评】本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点D、M、F三点共线时，DF有最大值4．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4＝0的一个根是1，则m＝ ．
【分析】把x＝1代入已知方程得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值即可．
解：把x＝1代入x2﹣3mx+4＝0，得
12﹣3m+4＝0，
解得m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
10．小华在解一元二次方程x2＝x时，只得出一个根是x＝1，则被他漏掉的一个根是 x＝0 ．
【分析】由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．
解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1＝0，
x＝0，x＝1，
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解，本题的方程有些学生容易在方程两边除以x，求出x＝1，忽略x＝0的情况，造成错解方程．
11．关于x的方程x2+px+q＝0的两个根分别为﹣1、4，则p+q的值为 ﹣7 ．
【分析】根据根与系数的关系得到﹣1+4＝﹣p，﹣1×4＝q，然后解方程即可得到p和q的值，即可得到结论．
解：根据题意得﹣1+4＝﹣p，﹣1×4＝q，
所以p＝﹣3，q＝﹣4．
故p+q＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．已知m，n为一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则m2+m﹣n的值为 11 ．
【分析】根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，而m是方程的一个根，可得m2+2m﹣9＝0，即m2+2m＝9，那么m2+m﹣n＝m2+2m﹣（m+n），再把m2+2m、m+n的值整体代入计算即可．
解：∵m、n为一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∵m是x2+2x﹣9＝0的一个根，
∴m2+2m﹣9＝0，
∴m2+2m＝9，
∴m2+m﹣n＝m2+2m﹣（m+n）＝9﹣（﹣2）＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x元，则可列方程为 （150﹣80﹣x）（160+8x）＝16000 ．
【分析】设每件商品售价降低x元，根据“每天盈利16000元”列出一元二次方程即可．
解：设每件商品售价降低x元，平均每天可售出（160+8x）盒．
依题意得：（150﹣80﹣x）（160+8x）＝16000，
故答案为：（150﹣80﹣x）（160+8x）＝16000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝34°，则∠A的度数为＝ 59° ．
【分析】如图，连接OB．求出∠OBC，∠ABC，可得∠OBA＝59°，可得结论．
解：如图，连接OB．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝34°，
∵∠ABC＝∠AOC＝25°，
∴∠OBA＝∠OBC+∠ABC＝59°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠A＝59°，
故答案为：59°．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD，AD＝2，则AC的长为 ．
【分析】连接OC，根据直径所得的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而利用角平分线的定义可得∠ABC＝45°，然后利用圆周角定理可得∠AOC＝90°，从而在Rt△AOC中，利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答．
解：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵AO＝OC＝AD＝1，
∴AC＝AO＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为 2 ．
【分析】连接AB，由AC是圆的直径，得到∠ABC＝90，由PA，PB是⊙O的切线，得到PA＝PB，推出△PAB是等边三角形，得到PA＝AB，∠PAB＝60°，因此∠BAC＝90°﹣∠PAB＝30°，求出AB的长，即可得到PA的长．
解：连接AB，
∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90，
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴PA＝AB，∠PAB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠PAB＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝BC＝2，
∴PA＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
17．如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 1＜d＜5 ．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．
故答案为：1＜d＜5．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B′上的动点．以P为圆心、PA'为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径长为 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点M时，如图2中，当⊙P与AB相切于点N时，解直角三角形即可得到结论．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，
∴AB＝A′B′＝13．AC＝A′C＝12，B′B＝BC＝5，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
①若⊙P与AC相切，如图1，
设切点为M，连接PM，
则PM⊥AC，且PM＝PA′，
∵PM⊥AC，A′C⊥AC，
∴PM∥A′C，
∴△B′PM∽△B′A′C，
∴＝，
∴＝；
∴PA′＝；
②如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
则∠ATB′＝90°，
∴∠AB′T+∠A＝90°，
∵∠A′B′C+∠A′＝90°，
∴∠AB′T＝∠A′B°C，
∴A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
＝，
∴＝，
∴A′T＝，
∴A′P＝A′T＝．
综上所述，⊙P的半径为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题：（共64分）
19．（16分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（4）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
【分析】（1）方程整理后，开方即可求出解；
（2）方程利用公式法即可求出解；
（3）方程因式分解法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝﹣2，x2＝4；
（2）3x2﹣x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4），
x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（4）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，
2x﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接平方法以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）
＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2．
∵m2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1．
∵m＜0，
∴﹣1＞m﹣1．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴﹣1﹣（m﹣1）＝3．
∴m＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
21．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏围成两个矩形围栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长．
【分析】根据各边之间的关系，可得出CD的长为（49+2﹣3x）米，由矩形围栏ABCD面积为210平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：∵栅栏的总长度为49米，栅栏BC长为x米，
∴CD的长为（49+2﹣3x）米．
根据题意得：x（49+2﹣3x）＝210，
整理得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10，
当x＝7时，49+2﹣3x＝49+2﹣3×7＝30＞25，不符合题意，舍去；
当x＝10时，49+2﹣3x＝49+2﹣3×10＝21＜25，符合题意．
答：栅栏BC的长为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三个格点都在圆上，点P是此圆内的一个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并写出⊙O的半径长＝ 2.5 ；
（2）画出⊙O上的点Q，使PQ长最小，并写出PQ的最小值＝ ；
（3）画出格点E，使EC为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．（只需要画出满足条件的一个点E和一个点F即可）
【分析】（1）根据圆周角定理，确定圆心的位置，求出半径即可；
（2）PQ≥OQ﹣OP，当O，P，Q三点共线时，PQ最小；如图，连接OP并延长，交⊙O于点Q，PQ即为所求；
（3）根据题意，画出切线即可．
解：（1）延长AP交圆于点E，连接BE，
由图可知：∠BAE＝90°，
∴BE为直径，
由勾股定理得：，
过C作CD∥AB，交圆于点D，
由图可知：CD＝5，
∴CD是直径，
∴CD，BE的交点即为圆心，如图所示，点O即为所求，
∴⊙O的半径长为：2.5，
故答案为：2.5；
（2）∵PQ≥OQ﹣OP，
∴当O，P，Q三点共线时，PQ最小，
如图，连接OP并延长，交⊙O于点Q，PQ即为所求，
设CD交AE于点H，
∵CD∥AB，
∴∠OHP＝90°，
由图可知：HD＝PH＝1，
则：OH＝OD﹣HD＝2.5﹣1＝1.5，
由勾股定理，得：，
∴．
故答案为：；
（3）如图所示，EC，EF即为所求（答案不唯一）；
【点评】本题考查网格作图，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是90°，以及勾股定理求边长是解题的关键．
23．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．
【分析】（1）先根据垂径定理求出＝，再根据圆周角定理即可得出∠BCD＝∠BAC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝18﹣r，OC＝r，在Rt△OCE中根据勾股定理求出R的值，进而可得出结论．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴＝，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝18﹣r，OC＝r，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴CE＝CD＝×24＝12，
在Rt△OCE中，
OE2+CE2＝OC2，即（18﹣r）2+122＝r2，解得r＝13，
∴AB＝2×13＝26．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC＝∠ABC，连接DC交⊙O于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，E是CD的中点，求CE的长度．
【分析】（1）作圆的直径AF，连接CF，由圆周角定理得到∠ABC＝∠AFC，∠ACF＝90°，由条件推出∠DAC+∠CAF＝90°，即可证明AD是⊙O的切线．
（2）由圆内接四边形的性质推出△DAE∽△DCA，得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
解：（1）证明：作圆的直径AF，连接CF，
∵∠DAC＝∠ABC，∠ABC＝∠AFC，
∴∠DAC＝∠AFC，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°，
∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∴直径AF⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接AE．
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠DEA+∠AEC＝180，
∴∠DEA＝∠ABC，
∵∠DAC＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠DAC．
∵∠D＝∠D，
∴△DAE∽△DCA，
∴，
∵E是CD的中点，
∴CD＝2DE＝2CE．
∵AD＝4，
∴，
∴CE＝2．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理证明∠DAO＝90°，由圆内接四边形的性质推出△DAE∽△DCA．
25．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”；并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，a≠b，关于x的方程ax2+5x+b＝0是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义即可判断．
（2）利用勾股定理以及“勾系一元二次方程”的定义即可解决问题．
（3）如图2中，连接OC，OB，作OE⊥CC于E，EO的延长线交AB于F．利用全等三角形的性质证明∠COB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）解：方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”．理由如下：
由方程x2+2x+1＝0可知：a＝1，b＝1，c＝√2，
∵a，b，c构成直角三角形，
∴方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”．
（2）证明：∵关于x的ax2+cx+b＝0方程是“勾系一元二次方程”，
∴a，b，c构成直角三角形，c是斜边，
∴c2＝a2+b2
∵Δ＝2c2﹣4（ab）＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
（3）如图2中，连接OC，OB，作OE⊥CC于E，EO的延长线交AB于F．
∵关于x的方程ax2+5x+b＝0是“勾系一元二次方程”，
∴a，b，5构成直角三角形，5是斜边，
∴a2+b2＝52
∵AB∥CC，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFB＝90°，
∴CE2+OE2＝OC2，OF2+BF2＝OB2，DE＝EC＝b，BF＝AF＝a，
∵OD＝OB＝5，
∴OE＝a，OF＝b，
∴CE＝OF，OE＝BF，
∴△OEC≌△BFO（SSS），
∴∠EOC＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOC+∠BOF＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴∠CAB＝∠COB＝45°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．