2023-2024学年陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，数轴所表示的不等式的解集是( )
A. x<−1B. x>−1C. x≤−1D. x≥−1
3.已知aA. a−1−2bC. 12a+1<12b+1D. ma>mb
4.下列各式属于因式分解的是( )
A. 3abc3=3c⋅abc2B. (x+1)2=x2+2x+1
C. x2−2x−1=x(x−2)−1D. 4t2−9=(2t+3)(2t−3)
5.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
6.用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a//b”时，应假设( )
A. a不垂直于cB. a与b相交
C. a不垂直于bD. a、b都不垂直于c
7.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
8.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：______．
10.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是．
11.如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=2，若将线段AB平移至A′B′，则a+b的值为______．
12.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，有下列条件：①a2=b2+c2；②∠A=∠B−∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=3：4：5；⑤∠A=12∠B=23∠C.其中可以判定△ABC为直角三角形的有______个.
13.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=______．
三、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
分解因式：
(1)3x−12x2；
(2)n2(m−2)−n(2−m)．
15.(本小题8分)
解不等式组：
(1)8x+5>9x+62x−1<7；
(2)2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)．
16.(本小题5分)
如图，在公路l附近有两个小区A、B，某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M，要求超市M到A、B两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市M的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
17.(本小题5分)
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD=CE．
求证：∠ABC=∠ACB．
18.(本小题6分)
△ABC的三边a，b，c满足a2−2ab+b2−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，C(−1,3)．
(1)若点C1的坐标为(4,0)，画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
20.(本小题6分)
在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C.已知点A(−1,0)，B(2,0)，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是______；关于x的不等式kx+b<0的解集是______；
(2)直接写出关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集；
(3)若点C(1,3)，求关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集和△ABC的面积．
21.(本小题7分)
已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线．
(1)求证：BD=2CD；
(2)若CD=2，求△ABD的面积．
22.(本小题8分)
蓝田樱桃果实大，细嫩多汁，甜酸适口，娇艳欲滴，馥郁甜香，极具地方特色．小张想在蓝田县某果园购买一些樱桃，经了解，现有甲、乙两家樱桃园的樱桃可供采摘，这两家樱桃的品质相同，定价均为每千克20元，但两家果园的采摘方案不同：
甲樱桃园：游客进园需购买32元的票，采摘的樱桃按定价的6折优惠；
乙樱桃园：不需要购买门票，采摘的樱桃按定价付款不优惠．
设小张采摘的樱桃数量为x千克，他在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元．
(1)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
(2)小张应选择哪家樱桃园采摘樱桃更划算？
23.(本小题10分)
已知关于x的不等式组2x+4>03x−k<6．
(1)当k为何值时，该不等式组的解集为−2(2)若该不等式组只有3个正整数解，求一个满足条件的整数k的值．
24.(本小题12分)
【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．
【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转来解决问题．
(1)如图2，连接BD，由于AD=CD，可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是______；
(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积．
[类比应用](3)如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC= 2，求四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：数轴所表示的不等式的解集是x≤−1．
故选：C．
根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】
解：A、在不等式aB、在不等式a−2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式aD、在不等式amb.原变形不正确，故此选项符合题意．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意．
故选：D．
根据因式分解的定义逐项判断即可判断．
本题考查了因式分解的意义，关键是因式分解意义的熟练掌握．
5.【答案】C
【解析】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠OEB=90°，∠EBO=12∠ABC=30°，
∴∠BOE=60°，
故选：C．
根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．
本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a//b”时，
应假设a与b不平行，即a与b相交，
故选：B．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.【答案】C
【解析】解：∵Rt△A′B′C是由Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得，
∴∠B′A′C=∠BAC，∠A′CB′=90°，
∵∠AB′A′=90°+∠B′A′C，∠1=25°，
∴∠B′AA′=180°−∠AB′A′−∠1=180°−90°−∠B′A′C−25°=65°−∠B′A′C，
∴∠BAA′=∠BAC+∠B′AA′=∠BAC+65°−∠B′A′C=∠BAC+65°−∠BAC=65°．
故选：C．
现根据旋转的性质得到∠B′A′C=∠BAC，∠A′CB′=90°，再根据三角形内角和和外交的性质即可得出结论．
本题主要考查旋转的性质和三角形的内角和等于180°、三角形的外角等性质，关键是用旋转的性质得出∠B′A′C=∠BAC．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE′B=30°，则BE′=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，进而可求出AB的长．
【解答】
解：作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE′，
∴EP+FP=PE′+PF=E′F，此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B=30°，
∴BE′=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E′B=10，
∵CE=CE′，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=AB=7．
故选：A．
9.【答案】x−5≤2x
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意抓住关键词语，弄清不等关系．x与5的差为x−5，不大于即小于等于，x的2倍为2x，据此列不等式．
【解答】
解：由题意得：x−5≤2x；故答案为x−5≤2x．
10.【答案】100°
【解析】解：∵三角形三个内角的和为180°，等腰三角形的两底角相等，
∴等腰三角形的两底角都为锐角，
∵100°>90°，
∴100°的角是顶角，
∴此等腰三角形的顶角的度数是100°．
故答案为100°．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，判断出100°的角是顶角是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等，并且三个角的和为180°，而100°的角是钝角，因此可以判断出100°的角只能是顶角．
11.【答案】2
【解析】解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，
∵A(−1,0)，B(0,2)，
∴A′(2,−1)，B′(3,1)，
∴a=−1，b=3，
∴a+b=2，
故答案为：2．
由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，求出A′，B′的坐标可得结论．
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】3
【解析】解：①∵a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A=∠B−∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
⑤∵∠A=12∠B=23∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=32∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+32∠A=180°，
解得：∠A=40°，∠B=80°，∠C=60°，
∴△ABC不是直角三角形；
所以，上列条件，可以判定△ABC为直角三角形的有3个，
故答案为：3．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
AE=BEEF=EG，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL)，
∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC−CF=12−x，BG=BC+CG=8+x，
∴12−x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12−2=10．
故答案为：10．
先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF=EG，AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12−x=8+x，求得x的值，即可得到AF长．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14.【答案】解：(1)原式=3x(1−4x)；
(2)原式=n2(m−2)+n(m−2)
=n(m−2)(n+1)．
【解析】(1)原式提取公因式即可；
(2)原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15.【答案】解：(1)8x+5>9x+6①2x−1<7②，
解不等式①，得：x<−1，
解不等式②，得：x<4，
则不等式组的解集为x<−1；
(2)2x−13−5x+12≤1①5x−1<3(x+1)②，
解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x<2，
则不等式组的解集为−1≤x<2．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：如图，点M为所作．

【解析】作线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为M点．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
17.【答案】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BC=CBBD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴∠DBC=∠ECB，
即∠ABC=∠ACB．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，即可得出结论．
18.【答案】解∵a2−2ab+b2−ac+bc=0，
∴(a−b)2−(a−b)c=0，
∴(a−b)(a−b−c)=0，
∵△ABC中b+c>a，
∴a−b−c<0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABC为等腰三角形．
【解析】由a2−2ab+b2−ac+bc=0得(a−b)(a−b−c)=0，可知a=b，就可以判断△ABC的形状．
本题考查了应用完全平方公式和提公因式法分解因式，进行等式变形，利用各边长关系判断三角形的形状．关键是因式分解的应用．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为(3,−2)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
点B2的坐标为(2,−1)．

【解析】(1)根据平移的性质作图，可得出点B1的坐标．
(2)根据中心对称的性质作图，可得出点B2的坐标．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)x=−1，x>2 ;
(2)根据图象可以得到关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集−1(3)∵点C(1,3)，
∴由图象可知，不等式k1x+b1>kx+b的解集是x>1，
∵AB=3，
∴S△ABC=12AB⋅yC=12×3×3=92．
【解析】解：(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=−1，关于x的不等式kx+b<0的解集，为x>2，
故答案为x=−1，x>2；
(2)(3)见答案．
(1)利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
(2)利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
(3)利用三角形面积公式求得即可．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
又∵∠B=30°，
∴Rt△BDE中，DE=12BD，
∴BD=2DE=2CD；
(2)∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2CD=4，
∴Rt△ACD中，AC= AB2−CD2=2 3，
∴△ABD的面积为12×BD×AC=12×4×2 3=4 3．
【解析】(1)过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；
(2)依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，AC= AB2−CD2=2 3，再根据△ABD的面积=12×BD×AC进行计算即可．
本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的的性质是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意，得：y甲=32+20×0.6x=12x+32，
y乙=20x．
(2)当y甲4，
所以当采摘量大于4千克时，到甲樱桃园更划算；
当y甲=y乙，即12x+32=20x，解得x=4，
所以当采摘量为4千克时，到两家樱桃园所需总费用一样；
当y甲>y乙，即12x+32>20x，解得x<4，
所以当采摘量小于4千克时，到乙樱桃园更划算．
【解析】(1)由题意直接得出结论．
(2)根据(1)的结论列不等式或方程解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
23.【答案】解：(1)解不等式组2x+4>03x−k<6可得解集为−2∵不等式组的解集为−2∴6+k3=1，
解得k=−3．
(2)解不等式组2x+4>03x−k<6可得解集为−2不等式组有3个正整数解，则正整数解是：1，2，3．
则3<6+k3≤4．
解得：3【解析】(1)求出不等式组的解集，根据已知得出6+k3=1，从而求出k的值．
(2)首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组只有3个正整数解即可得到一个关于k的不等式组，求得k的范围．
本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
24.【答案】解：(1)等边三角形
(2)过点D作DE⊥AB于点E．
由(1)知，△BCD≌△B′AD，
∴四边形ABCD的面积=等边三角形BDB′的面积，
由旋转可知BC=AB′=1，
∴BB′=AB+AB′=2+1=3，
∵△BDB′是等边三角形，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，BE=12BB′=1.5，
∴DE= BD2−BE2=3 32，
∴S四边形ABCD=S△BDB′=12×3×3 32=9 34；
(3)如图3，连接 BD，由于AD=CD，可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE，DF⊥BB′．
由旋转可得△BCD≌△B′AD，
∴∠B′AD=∠C，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A,
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAD+∠C=360°−75°−60°=225°，
∴∠B′AD+∠BAD=225°，
∴∠BAB′=360°−225°=135°，
∴∠B′AE=45°．
∵B′A=BC= 2，B′E⊥BE，
∴B′E=AE，AE2+B′E2=B′A2，
∴AE=B′E=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴BB′= B′E2+BE2= 10，
∴S△ABB′=12AB×B′E=12×2×1=1．
由旋转可知∠BDB′=60°，DB=DB′，
∴△BDB′是等边三角形，
∴BD=BB′= 10，
∵DF⊥BB′，
∴BF=12BB′= 102，
∴DF= BD2−BF2= 302，
∴S△BDB′=12× 10× 302=5 32，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′−S△ABB′=5 32−1．
【解析】解：(1)△DCB绕点D顺时针方向旋转60°得到△DAB′，
∴BD=B′D，∠BDB′=60°，
∴△BDB′是等边三角形；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由旋转可得到BD=DB′，∠BDB′=60°，所以△BDB′是等边三角形；
(2)由旋转可知等边三角形的边长为3，求出S△BDB′即可；
(3)类比(1)的旋转方法，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE，DF⊥BB′，易证△AEB′是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=1，BB′= 10，求△ABB′和△BDB′的面积和即可．
本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．