2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、高新三中、高新五中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、高新三中、高新五中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  平行四边形的对角线(    )

A. 长度相等 B. 互相平分 C. 互相垂直 D. 以上都对

4.  下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线与且，为常数的交点坐标为，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是：，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的方程无解，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

9.  如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，等边边长为，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：
形状不变；
的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；
四边形的面积始终不变；
周长的最小值为．
上述结论中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分式的值为则的值为______．

12.  已知一个正多边形的一个内角是其相邻外角的倍，则该该边形的边数是______ ．

13.  如图，在中，是边的中点，过点作平分线的垂线，垂足为，连接，若，，则 ______ ．

14.  若关于的不等式有且只有四个整数解，且一次函数的图象不经过第三象限，则符合题意的整数的值为_________．

15.  如图，四边形中，，，，是的中点，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间______秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．

16.  如图等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
分解因式；．
解不等式组：．

18.  本小题分
解方程，
，从、、、几个数中选取一个作为的值代入．

19.  本小题分
如图，已知平行四边形，将这个四边形折叠，使得点和点重合，请你用尺规作出折痕所在的直线．保留作图痕迹，不写作法

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．
在图中画出将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的，点、、的对应点分别为、、；
以点为对称中心，在图中画出与成中心对称的，点、、的对应点分别为、、，并写出点的坐标．

21.  本小题分
某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用元，若用元购买钢笔和用元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．
求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？
经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的倍还少个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过元，那么最多可购买多少支钢笔？

22.  本小题分
如图，在中，是边上任意一点，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．

23.  本小题分
阅读理解：已知，，试比较与的大小．
想法：求当，则；当，则；当，则．
解：，．
用你学到的方法解决下列问题：
已知且，，试比较与的大小．
甲、乙两地相距，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是、，；小宇去时和返回时的速度都是请问二者一个来回中，谁用时更短？

24.  本小题分
如图，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点 ．
求证：；
如图，与关于直线对称，连接．
判断四边形的形状，并说明理由；
若，，，求线段的长．

 

25.  本小题分
发现：如图，点为线段外一动点，且，．
填空：当点位于______时，线段的长取得最大值，且最大值为______用含，的式子表示
应用：点为线段外一动点，且，，如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，．
请找出图中与相等的线段，并说明理由；
直接写出线段长的最大值．
拓展：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不等式两边都乘以，的正负情况不确定，所以不一定成立，故本选项错误；
B、不等式的两边都减去可得，故本选项正确；
C、不等式的两边都乘以可得，故本选项错误；
D、不等式两边都除以可得，故本选项错误．
故选：．
根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查了不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：．
根据平行四边形的对角线互相平分作出选择．
本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、中等式右边不是乘积的形式，故A、不是因式分解；
选项D中等式右边不是整式，故D不是因式分解；
有选项C中的等式的右边是最简整式的积的形式．
故选：．
判断因式分解有两点：分解的对象是多项式；分解的结果是个整式的积的形式，对于，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．
本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、可由逆时针旋转一个角度得到；
B、可由翻折得到；
C、可由逆时针旋转一个角度得到；
D、可由逆时针旋转一个角度得到．
故选：．
根据平移和旋转的性质解答即可．
本题考查了旋转变换，注意掌握旋转变换的定义并熟练应用是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为．
故选：．
根据函数图象，写出直线的图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知，装裱后的长为，宽为，再根据整幅图画宽与长的比是：，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
方程无解，
或，即，
或，
故选：．
解分式方程可得，根据题意可知，或，即，求出的值即可．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，，，
，
沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换，
第一次变换后：，
第二次变换后：，
第三次变换后：，
，
由此变换规律为：
横坐标：每次变换后加一，
纵坐标：奇数次变换为，偶数次变换后为，
次变换后，纵坐标为，横坐标为，
，
故选：．
先由等边三角形的性质推出点的坐标，再将前几次变换的坐标求出来，观察规律为横坐标变换后加一，纵坐标变换后符号改变，即可求解．
本题考查折叠变换、点的坐标规律型，坐标与图形变化，解题的关键是推出每次变换后横纵坐标的变换规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

为等边三角形，
，
点是等边的内心，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
所以正确；
，
四边形的面积，所以正确；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，所以正确；
的面积最小为：
，
而四边形的面积为：，
的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，所以正确
综上所述：
上述结论中正确的是．
故选：．
连接、，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断≌，所以，，则可对进行判断；
利用得到四边形的面积，则可对进行判断；
作，如图，则，当时，最小，此时，计算出，四边形的面积为：，可对进行判断；
由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案是：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个正多边形的一个外角是，
由题意得：，
，
这个正多边形的每个外角是，
该正多边形的边数是．
故答案为：．
设这个正多边形的外角是，得到，求出，得到这个正多边形的每个外角是，即可求出该正多边形的边数是．
本题考查正多边形的内角和外角，多边形的外角和定理，关键是掌握正多边形的性质：正多边形的各角相等；多边形的外角和是．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，

平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
点是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
延长交于点，证明≌，得出，，再根据中位线的判定与性质定理得出，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

14.【答案】， 

【解析】解：解不等式组得：，
关于的不等式有且只有四个整数解，
其整数解为：，，，，
，即，
一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得，
由可得，
符合题意的整数的值为，，
故答案为：，．
根据关于不等式组有且只有四个整数解得出的取值范围，再由一次函数的图象不经过第三象限得出取值范围，再找出其公共解集，取符合条件的整数即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由已知梯形，
当运动到和之间，设运动时间为，则得：
，
解得：，
当运动到和之间，设运动时间为，则得：，
解得：，
故当运动时间为或秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或．
由已知以点，，，为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，当运动到和之间，当运动到和之间，根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此设运动时间为，列出关于的方程求解．
此题主要考查了梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，以为边作等边三角形，连接，

是等边三角形，点是的中点，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点在线段上时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：

．
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】根据平方差公式和完全平方公式进行分解；
按照解一元一次不等式组的方法求解集．
本题主要考查了因式分解的知识、一元一次不等式组的知识，难度不大，认真计算即可．
 

18.【答案】解：方程两边同乘以得：
，
则，
解得：，
检验：当时，，
故此方程无解；

原式

，
当，，时，分式无意义，
当时，
原式． 

【解析】直接利用分式方程的解法，去分母解方程，注意要检验；
首先将分式的分子与分母通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

19.【答案】解：如图所示，直线即为所求．
 

【解析】根据轴对称的性质作出线段的垂直平分线即可得．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，点的坐标．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设购买一个笔记本需要元，则购买一支钢笔需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：购买一支钢笔需要元，购买一个笔记本需要元．
设购买支钢笔，则购买个笔记本，
依题意，得：，
解得：．
答：最多可购买支钢笔． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设购买一个笔记本需要元，则购买一支钢笔需要元，根据数量总价单价结合用元购买钢笔的数量是用元购买笔记本数量的一半，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买支钢笔，则购买个笔记本，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

22.【答案】证明：，
，，
是的中点，
，
在和中，，，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于点，则，

在中，，，．
由勾股定理得，
在中，，，，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得，，由中点定义得，然后由全等三角形的判定与性质可得，最后根据平行四边形的判定可得结论；
过点作于点，则，由勾股定理可得，，再由线段的和关差关系可得答案．
此题考查的是平行四边形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：，
且，
，，，
，
．
；
甲的用时为，乙的用时为，
，
，
答；乙用时更短． 

【解析】用差值法比较，计算的差，由差的正负，确定、的大小；
根据题意计算出甲乙二人的时间，再根据差值法比较时间的大小便可．
本题主要考查了用差值法比较两个数的大小，读懂阅读材料是解题的关键．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
；
解：四边形为平行四边形；
理由是：由对称得：≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形；
如图，过作于，连接，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
． 

【解析】利用证≌可得．
根据题意知：，并由内错角相等可得，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；
如图，作辅助线，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】的延长线上 
 ，
理由：与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，，
≌，
；
线段长的最大值线段的最大值，
由知，当线段的长取得最大值时，点在的延长线上，
最大值为；

将绕着点顺时针旋转得到，连接，
则是等腰直角三角形，
，，
的坐标为，点的坐标为，
，，
，
线段长的最大值线段长的最大值，
当在线段的延长线时，线段取得最大值，
最大值，
，
最大值为；
如图，过作轴于，
是等腰直角三角形，
，
，
 

【解析】

解：点为线段外一动点，且，，
当点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为，
故答案为：的延长线上，；
，见答案

【分析】
根据点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，，推出≌，根据全等三角形的性质得到；由于线段长的最大值线段的最大值，根据中的结论即可得到结果；
连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；如图，过作轴于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．