2023-2024学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上.下列大学校徽的主体图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x(x+1)=x2+xB. x2+xy−3=x(x+y)−3
C. x2+6x+4=(x+3)2−5D. x2+2x+1=(x+1)2
3.若点A(1,2)向下平移2个单位长度得到对应点A′，则点A′的坐标是( )
A. (−1,2)B. (1,0)C. (1,4)D. (3,2)
4.若分式x+1x−2有意义，则x的取值应满足
( )
A. x≠2B. x≠−1C. x=2D. x=−1
5.如图，将含45°的直角三角板ADE绕点A逆时针旋转到△ABC处(点C，A，D在一条直线上)，则本次旋转的旋转角度为( )
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 180°
6.如图，在▱ABCD中，∠D=66°，∠ACB=36°，则∠BAC的度数为( )
A. 72°B. 74°C. 76°D. 78°
7.下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. a2ab=abB. ab=a+1b+1
C. a+bb=aD. a2−9a2−6a+9=a−3a+3
8.某中学八年级举行15km春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早0.7h到达目的地，求两个小组的步行速度.若设第二小组的步行速度为x km/h，则可列出方程为( )
A. 15x−151.2x=0.7B. 151.2x−15x=0.7C. 15x+151.2x=0.7D. 15x=151.2x−0.7
9.如图，在▱ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则▱ABCD的周长为( )
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
10.如图1，在矩形ABCD中，AB0时，随着x的增大，分式x+4x的值______(填“增大”或“减小”)；
(3)当x>−2时，随着x的增大，分式3x+8x+2的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由；
(4)请你将x2+2x+1写成一个整式与一个真分式的和的形式．
24.(本小题10分)
如果一个正整数n的倒数可以分解成两个正整数a，b(a,b均不为n)倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为n的“最大倒分解”，这个最大的差记为：F(n)=1a−1b，例：12的倒分解为14×13或12×16，因为12−16>13−14，所以最大倒分解为12×16，所认F(12)=12−16=13．
(1)填空：写出8的一种倒分解：______；
(2)计算F(36)的值；
(3)若3m+6的最大倒分解为13×1m+2，且F(3m+6)=16，求m的值．
25.(本小题12分)
如图1，直线l1：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
(1)求点C，D的坐标；
(2)求四边形BACD的面积；
(3)若直线l2：y=ax−2a+4将四边形BACD分成面积相等的两部分，请求出a的值．
、
26.(本小题12分)
(一)猜测探究
在等边△ABC中，点D是直线AB上的一个动点，线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，BE．
(1)如图1，当点D在AB边上运动时，线段BD，BC和BE的关系是______；
(2)如图2，当点D运动到线段AB的延长线上时，(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(二)拓展应用
如图3，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，连接AB，DE交于点F，连接CF，若CF=5，BF=2，DF=3，求线段DE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，点A(1,2)向下平移2个单位长度得到对应点A′的坐标是(1,0)，
故选：B．
根据点坐标上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减求解作答即可．
本题考查了点坐标的平移．熟练掌握点坐标上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】本题考查了分式有意义的条件．
根据分式有意义，分母不等于0，列式计算即可得解．
解：由题意得，x−2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】解：旋转角是∠BAD=180°−45°=135°．
故选：C．
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．
本题考查了图形的旋转，理解旋转角的定义是关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=66°，
∵∠ACB=36°，
∴∠BAC=180°−66°−36°=78°，
故选：D．
由平行四边形的性质得∠B=∠D=66°，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：a2ab=ab，变形正确，故A选项符合题意；
ab=a+1b+1只有当a=b时才成立，故B选项不合题意；
a+bb=ab+1，故C选项不合题意；
a2−9a2−6a+9=(a+3)(a−3)(a−3)2=a+3a−3，故D选项不合题意；
故选：A．
根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”逐项判断即可．
本题考查分式得基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
15x−151.2x=0.7，
故选：A．
根据时间=路程÷速度，即可列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
9.【答案】B
【解析】解：由作图知，MN垂直平分AC，
∴AF=CF，
∵△ABF的周长为10，
∴AB+AF+BF=AB+BF+CF=AB+BC=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴▱ABCD的周长为20．
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的y随x的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【解答】
解：A、由图1可知，若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A的距离是BA，在点C时的距离是BC，BADC，故选项D正确；
故选：D．
11.【答案】x(x−1)
【解析】解：x2−x=x(x−1)．
故答案为：x(x−1)．
提取公因式x即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
12.【答案】AB/​/CD(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【解答】
解：添加条件为：AB/​/CD，理由如下：
∵AB=CD，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意，得
x2−16=0且2x+8≠0，
解得，x=4．
故答案是：4．
分式的值是0，则分母不为0，分子是0．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
14.【答案】±70
【解析】解：(5x±7y)2=25x2±70xy+49y2，
∵25x2+kxy+49y2是一个完全平方式，
∴k=±70．
故答案为：±70．
利用完全平方公式即可作答．
本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
15.【答案】83
【解析】解：由图形可以看出，图形中包含5个完整图形和最后的3cm竖线段，
其中1个完整图形为：，
从网格中可以看出，1个完整图形的线段长为：3+2+1+2+3+1+1+3=16(cm)，
∴图形中的线段总长度为：16×5+3=83(cm)，
故答案为：83．
根据图形可以看出，图形中包含5个完整图形和最后的3cm竖线段，从网格中可以看出，1个完整图形的线段长为：3+2+1+2+3+1+1+3=16(cm)，
本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出线段的长度规律是解题的关键．
16.【答案】(−1,− 3)
【解析】解：如图所示，
由此可见，
每旋转六次，点Pi的坐标循环出现一次，
因为2024÷6=337余2，
所以点P2024的坐标与点P2的坐标相同．
因为点P2与点P关于x轴对称，
所以点P2的坐标为(−1,− 3)，
则点P2024的坐标为(−1,− 3).
故答案为：(−1,− 3).
根据题中所给旋转方式，画出示意图，结合图形发现每旋转六次，点Pi的坐标循环出现一次，据此可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式，画出示意图，并得出每旋转六次，点Pi的坐标循环出现一次是解题的关键．
17.【答案】解：(1)5x2−20
=5(x2−4)
=5(x+2)(x−2)；
(2)a3b−2a2b+ab
=ab(a2−2a+1)
=ab(a−1)2．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：(1−4a−4a2)÷a−2a2
=a2−4a+4a2⋅a2a−2
=a2−4a+4a−2
=(a−2)2a−2
=a−2，
当a=2− 3时，原式=2− 3−2=− 3．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，∠BAD=∠DCB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AE，CF分别为∠BAD，∠DCB的角平分线，
∴∠DAE=12∠BAD∠BCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
在△AED与△CFB中，
∠DAE=∠BCFAD=CB∠ADB=∠CBD，
∴△AED≌△CFB(ASA)，
∴BF=DE．
【解析】根据平行四边形的性质得AD//BC，∠BAD=∠DCB，从而得∠ADB=∠CBD，根据角平分线的性质得∠DAE=12∠BAD∠BCF=12∠BCD，再根据△AED≌△CFB(ASA)，即可解答．
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和三角形的全等的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x−1=3x2−1，
2x−1=3(x+1)(x−1)，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得2(x+1)=3，
2x+2=3，
2x=3−2，
2x=1，
x=12，
检验：当x=12时，(x+1)(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=12；
(2)x−2x−3+13−x=2，
方程两边都乘x−3，得x−2−1=2(x−3)，
x−2−1=2x−6，
x−2x=−6+2+1，
−x=−3，
x=3，
检验：当x=3时，x−3=0，
所以x=3是原方程的增根，
即分式方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出2(x+1)=3，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘x−3得出x−2−1=2(x−3)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21.【答案】(−2,0)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)旋转中心Q的坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
(3)对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．
22.【答案】解：设A种机器人每小时搬运x kg货品，则B种机器人每小时搬运(x−30)kg货品，
根据题意得：1200x=900x−30，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，
∴x−30=120−30=90．
答：A种机器人每小时搬运120kg货品，B型机器人每小时搬运90kg货品．
【解析】设A种机器人每小时搬运x kg货品，则B种机器人每小时搬运(x−30)kg货品，根据每个A型机器人搬运1200kg所用的时间与每个B型机器人搬运900kg所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】1+4x 2+11x−3 减小
【解析】解：(1)x+4x=xx+4x=1+4x，
2x+5x−3=2x−6x−3+11x−3=2(x−3)x−3+11x−3=2+11x−3，
故答案为：1+4x，2+11x−3；
(2)∵x+4x=1+4x，4x是随x的增大而减小，
∴x+4x是随x的增大而减小，
故答案为：减小；
(3)分式3x+8x+2的值无限趋近3，理由如下：
∵3x+8x+2=3(x+2)+2x+2=3+2x+2，
∴随着x的增大，2x+2越来越小，无限趋近于0，
∴随着x的增大，分式3x+8x+2的值无限趋近3；
(4)x2+2x+1=x2+x−x+2x+1，
=x2+xx+1+2−xx+1
=x(x+1)x+1−x−2x+1
=x−(x+1x+1−3x+1)
=x−(1+3x+1)
=x−1+3x+1．
(1)把所求分式分别写成分子和分母相同的分式与另一个分式的形式，再把分子和分母相同的分式写成整式即可；
(2)根据(1)中的结果，先判断分式的增减性，从而判断真分式的增减性即可；
(3)把分式3x+8x+2写成整式与真分式和的形式，然后根据所写分式的增减性，从而进行判断即可；
(4)分式分子的前两项当作分子，把分式写成分母是x+1的两个分式相加，把第一个分式约分，第二个分式写成整式与真分式和的形式，再进行化简即可．
本题主要考查了分式的有关运算，解题关键是理解已知条件中的真假分式的定义．
24.【答案】12×14
【解析】解：(1)8的倒分解为12×14．
故答案为：12×14．
(2)∵36的倒分解为：12×118或13×112或14×19或16×16，
其中最大的倒分解12×118，
∴F(36)=12−118=49．
(3)∵3m+6的最大倒分解为：13×1m+2且F(3m+6)=16，
∴①当m+2>3时，
13−1m+2=16，
解得：m=4，
经检验，m=4是原方程的根，
但m=4时，3m+6=18，最大倒分解为12×19，故不合题意，舍去，
②当m+2