江苏省盐城市盐都区2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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八年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米，黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 了解一批圆珠笔的使用寿命B. 了解全国九年级学生身高的现状
C. 考查人们保护海洋的意识D. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
【答案】D
【解析】
【详解】A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；
故选：D．
3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义条件：分母不为0．据此列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：C．
4. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 打开手机有未接电话B. 同位角相等
C. 乘坐公共汽车恰好有空座位D. 三角形内角和等于
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查事件分类，掌握必然事件就是一定会发生的事件，是解题的关键．
【详解】解：A. 打开手机有未接电话，是随机事件，不符合题意；
B. 同位角相等，是随机事件，不符合题意；
C. 乘坐公共汽车恰好有空座位，是随机事件，不符合题意；
D. 三角形内角和等于，是必然事件，符合题意；
故选D．
5. 下列各式，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：当一个分式的分子与分母，除去以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式，即可判定求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是整式，不是分式，该选项不合题意；
、，故原式不是最简分式，该选项不合题意；
、，故原式不是最简分式，该选项不合题意；
、中分子、分母不含公因式，原式是最简分式，该选项符合题意；
故选：．
6. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A. 瓜熟蒂落B. 旭日东升C. 日行千里D. 守株待兔
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【详解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B、旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C、日行千里，是随机事件，有先进的交通工具，发生的可能性较大，不符合题意；
D、守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
7. 分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么这个分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大3倍C. 缩小3倍D. 扩大9倍
【答案】A
【解析】
【分析】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，根据的基本性质，把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数(0除外)，分式的大小不变．
由题意可知，把、代入原分式得到一个新分式，比较新分式与原分式的比值．
【详解】解：把、代入原分式可得，
故分式的值不变，
故选：A．
8. 下列关于“平行四边形”的说法：
① 平行四边形的对角线互相垂直平分；
② 平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④ 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中说法正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，涉及中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定定理．
【详解】解：① 平行四边形的对角线互相平分，原说法错误；
② 平行四边形是中心对称图形，原说法错误；
③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，说法正确；
④ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误；
正确说法只有1个，
故选A．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9. 若分式的值为0，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：．
故答案为：
10. 在中，，则______°．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，

在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
11. 分式、的最简公分母是________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式、的分母分别是、，故最简公分母为．
故答案为：．
12. 在英文“Believe in yurself．”中，字母“e”出现的频数为_____ ．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了求频数．根据频数是指每个对象出现的次数可得答案．
【详解】解：根据题意得：字母“e”出现4次，
即字母“e”出现的频数为4．
故答案为：4
13. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，则的度数是_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质和判定．根据矩形的性质可得，进而得到是等边三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知菱形的面积是24，对角线长为6，于点E，则的长为_______．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积的两种计算方法，及菱形的对角线互相垂直且平分是解决本题的关键．
连接交于点，根据菱形的性质和勾股定理求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，可得出的长度；
【详解】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

15. 对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为________________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据新运算法则可得，即，代入原式化简即可求解．理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，即，则：，
∴，
则，
故答案为：1．
16. 如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则_____．
【答案】8或2##2或8
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
分两种情况：如图，当点在线段时，当点在的延长线时，连接，根据矩形的性质得到 由点是的中点，得到根据折叠的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理即可得到结论.
【详解】如图，当点在线段时，连接,
∵四边形是矩形,
，
∵点是的中点,
，
∵将沿翻折至，使恰好落在上，
，，
∴，
，
在与中,
，
，
，
，
，，
，
(负值舍去)，
如图，当点在的延长线时，连接,
∵四边形是矩形,
，
∵点是的中点,
，
∵将沿翻折至，使恰好落上，
，，
，
，
在与中,
，
，
，
，
，
，
解得 (负值舍去)，
综上所述， 或,
故答案为:或.
三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根据分式的加减乘法，掌握根据分式的加减乘法法则进行计算是关键．
（1）根据分式的加减法法则进行计算；
（2）根据分式的乘法法则进行计算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
18. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
（1）估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ；（结果精确到0.1）
（2）结合上面数据，某同学说：“如果这名运动员射击1000次，那么射中9环以上正好是800次．”该同学的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）
（2）不正确．因为该运动员射击一次射中9环以上这一事件是随机事件，所以射击1000次射中9环以上不一定是800次
【解析】
【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
（1）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
（2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确．
【小问1详解】
解：根据表格数据可知：
频率稳定在，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是．
故答案为：；
【小问2详解】
该同学说法是错误的；因为事件发生具有随机性．
19. 先化简，再从－2，2，－1，1中选取一个恰当的数作为a的值代入求值.
【答案】原式=,当a=-1时，原式=
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
=
= =
=
当a=-1时，原式＝.
【点睛】考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键,注运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形AODE是矩形，
∴AO＝DE＝1，
∵AB＝2，
∴BO，
∴OD＝BO，
∴四边形AODE的面积＝AO•OD＝1．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解决问题的关键．
21. 在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．
（1）画出关于点成中心对称的；
（2）在（）条件下，连接，四边形的形状是 ；
（3）在网格内存在点，使点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标 ．
【答案】（1）作图见解析；
（2）平行四边形； （3）或．
【解析】
【分析】（）根据中心对称的性质作图即可；
（）根据中心对称的性质以及平行四边形的判定可得答案；
（）结合平行四边形的判定，分别以，为对角线画出平行四边形，即可得出答案；
本题考查了中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：∵与关于点成中心对称，
∴，，
∴四边形平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【小问3详解】
解：如图，点均符合条件，
∴符合条件的点的坐标为或，
故答案为：或．
22. 开学初，某学校准备开展“每日大课间活动”，决定开设以下活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据统计图回答问题．
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，选择“篮球”项目的人数所在的圆心角等于 °；
（3）如果该学校有学生2000人，请你估计该学校选择“乒乓球”项目的学生人数．
【答案】（1）见详解 （2）108
（3）估计该学校选择“乒乓球”项目的学生人数为320人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全条形统计图即可；
（2）用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以即可；
（3）用总人数乘以样本中乒乓球所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：调查的总人数为(人)，
选择篮球的人数为(人)，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
选择“篮球”项目的人数所在的圆心角等于；
故答案为：108；
【小问3详解】
(人)，
答：估计该学校选择“乒乓球”项目的学生人数为320人．
23. 如图，在四边形中，，分别为的中点，顺次连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当时，四边形为正方形，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形；
（）根据平行线性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论；
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵分别为的中点，
∴分别为中位线，
∴，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：当时，四边形为正方形．
理由：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴菱形是正方形．
24. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（1）在图1中画出将线段绕点B顺时针方向旋转后的对应线段；
（2）在图1中确定格点C，的面积等于10．若有多个点C，用，···表示；
（3）在图2中画出以为一边的矩形，使矩形的面积等于12．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）作，，与网格交点为，则为平行四边形，则；
（3）先作的垂线，根据网格的特点，以及勾股定理可得，且，，在A点上方3格的位置取格点E，取格点M，作直线，交于点D，于点C，则四边形即为所求作的矩形．
【小问1详解】
线段即为所求；
【小问2详解】
格点，即为所求；
【小问3详解】
矩形即为所求；
【点睛】本题考查了格点无刻度作图，矩形的性质，勾股定理与网格，掌握以上知识是解题的关键．
25. 课堂上，老师提出下面的问题：
已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法”
老师：比较与的大小．
小聪：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题；
（2）比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”）
（3）解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？”
我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），…
请你用数学知识解释其中的奥秘．
【答案】（1）
（2）< （3）加糖后糖水会变甜，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解；
（2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解；
（3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
又，
，
，
，
∴；
【小问2详解】
由题意，结合（1）当时，
，
故答案为：．
【小问3详解】
由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为．
，
又，
，
，
，
∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜．
26. 【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且．
【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）．
（1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ．
【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长；
（4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值．
【答案】（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）或；（4）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得；延长，二线交于点M，与交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明．
（2）画图分类计算即可．
（3）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可；
（4）连接，取中点M，连接，则，利用三角形中位线定理，三角形不等式，勾股定理解答即可．
【详解】（1）且仍成立．理由如下：
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；；
延长，二线交于点M，与交于点N，
则，，
∴，
∴，
∴．
故且．
（2）如图，∵，
∴，
∴，
故；
如图，∵，
∴，
∴，
∴，
故．
．
故答案为：或
（3）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时，
连接交于点M，
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，，,,
∴，
∵，
∴，
∴；
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，,,
∴，
∴；
当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时，
连接，交于点N，
同理可证，，
∴；
综上所述，的长为或；
（4）如图，连接，取中点M，连接，
则，
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，
,
∴，
∵，
∴三点共线时，线段长度取得最大值，
此时，．
故线段长度的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式的应用求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．射击次数
50
100
200
400
800
“射中9环以上”的次数
38
82
157
317
640
“射中9环以上”的频率