【二轮复习】高考数学 专题03 空间几何与空间向量（考点精练）

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(1)若平面分别交，于点，，求的周长；
(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.
2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

(1)若点N为的中点，求证：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．
4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．

(1)求；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.
(1)若直线平面，求证：平面；
(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.
9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．

(1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长．
14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.

(1)证明：平面；
(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.
15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是平行六面体中线段上一点，且．

(1)证明：平面；
(2)已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角的正切值．
18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．
22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.
(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体中，，，，，且平面平面.

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．
24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．
29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点．

(1)证明：平面MAC；
(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值．