【二轮复习】高考数学 专题13 空间几何（考点精练）.zip

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考法一 空间几何体的体积与表面积
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
考法二 空间几何中的垂直与平行
【例2-1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）（多选）已知圆柱的轴截面是正方形，为底面圆的直径，点在圆上，点在圆上，且，不在平面内.若，，，四点共面，则（ ）
A．直线平面B．直线平面
C．平面平面D．平面平面
2．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．平面B．平面平面
C．平面D．平面平面
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面平面
D．点E到平面的距离为
考法三 空间距离
【例3】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在三棱柱中，是棱长为的正四面体，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·河北唐山·统考三模）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）如图，底面同心的圆锥高为，，在半径为3的底面圆上，，在半径为4的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点到平面的距离为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2020·四川眉山·校考二模）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2B．C．D．1
考法四 空间角
【例4】．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A．B．AB与平面所成的角为
C．D．与平面所成的角为
2．（2023·吉林白山·统考二模）已知正四面体，E为的中点，则（ ）．
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的余弦值为
3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）（多选）已知正方体，则（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．异面直线与所成角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面所成角的正切值为
考法五 外接球与内切球
【例5-1】（2023·江西九江·统考一模）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）

A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
2．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，二面角的余弦值为，则四棱锥的外接球的表面积为 ．
3．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，三棱锥的体积为，则四棱锥的外接球的表面积为 ．
考法六 轨迹与轨迹的长度
【例6】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为 ，点N轨迹的长度为 ．

【变式】
1．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为 ；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为 ．
2．（2023春·云南）在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若，则点P的迹长度为
D．若，则点P的轨迹长度为
4（2022·全国·高三专题练习）如图，在体积为6的三棱锥中，PA､PB､PC两两互相垂直，，若点M是底面内一动点，且满足，则点M的轨迹长度的最大值为（ ）
A．6B．3C．D．
考法七 截面
【例7】．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在正方体中，以点A为球心，棱AB为半径的球将正方体截为P（含球心的部分）和Q两部分，则四边形被球A截得的区域面积与P的表面积之比为 .
2．（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）已知正四面体的棱长为，为上一点，且，则截面的面积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·福建福州 ）（多选）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点，P为对角线上的一个动点，过P作与平面ACE平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）
A．截面不可能是五边形
B．截面可以是正六边形
C．P从D点向运动时，截面面积先增大后减小
D．截面面积的最大值为
4．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面截三棱锥所得截面为，给出下列结论：
①截面的形状为正方形；
②截面的面积等于；
③异面直线PA与BC所成角的余弦值为；
④三棱锥外接球的表面积等于．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
考法八 最值
【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知正六棱锥的各顶点都在球的球面上，球心在该正六棱锥的内部，若球的体积为，则该正六棱锥体积的最大值是 .
4．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是 ．
考法九 存在性
【例9】（2023·广西柳州·统考模拟预测）（多选）如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则（ ）

A．存在点，使得
B．不存在点，使得
C．存在点，使得平面
D．不存在点，使得直线与平面的所成角为
【变式】
1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）（多选）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有B．存在平面，有
C．存在直线，有D．存在直线，有
2．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）（多选）如图，在矩形中，和交于点，将沿直线翻折，则正确的是（ ）

A．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面
D．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面
3．（2022秋·湖北武汉）（多选）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P满足
B．存在点P满足
C．满足的点P的轨迹长度为
D．满足的点P的轨迹长度为
考法十 两点距离与折线段
【例10-1】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【例10-2】．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·江西九江·统考三模）如图，棱长为1的正方体中，P为内一点（包括边界），且线段的长度等于点P到平面ABCD的距离，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）如图，长方体中，，，点P是BC的中点，点M是BD1上一动点﹐点N在平面上移动，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·江西南昌）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）在一个正方体内放置一个最大的圆锥，使圆锥的底面在正方体的底面上，圆锥的顶点在正方体的上底面内，记正方体的体积为，圆锥的体积为，则约为（注：）（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2023·全国·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河南·校联考模拟预测）等边的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将沿DE折起，使点A到达点的位置.若平面平面BCED，则线段的长为（ ）.
A．B．C．D．
11．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱中，，为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·广东广州·统考三模）正四棱柱中，，P为上底面的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高，点M到平面PCD的距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·四川广安·统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为( )
A．B．C．D．3
14．（2020·四川遂宁·统考二模）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知在正四面体P－ABC中，D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，若PE＝4，PF＝PD＝2，则点P到平面DEF的距离为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
18．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
19．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，为棱的中点，分别在棱上，且满足取得最小值．记四棱锥、三棱锥的体积分别为，则（ ）

A．B．C．D．
22．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在长方体中，，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点满足，则
B．点到平面的距离范围为
C．若点满足，则不存在点使得
D．当时，四面体的外接球体积为
23．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）如图，，是直三棱柱棱上的两个不同的动点，，，则（ ）

A．平面
B．若为定长，则三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成角等于
D．平面平面．
24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知正方体的棱长为1，M是棱的中点．P是平面上的动点(如图)，则下列说法正确的是（ ）

A．若点P在线段上，则平面
B．平面平面
C．若，则动点P的轨迹为抛物线
D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为
25．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则（ ）
A．与不垂直B．平面
C．的最小值为D．的取值范围为
26．（2023·湖南永州·统考一模）菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．球的表面积为
C．球被三棱锥表面截得的截面周长为
D．过点与直线所成角均为的直线可作4条
27．（2023·河北唐山·模拟预测）如图，在三棱台中，表示体积，下列说法正确的是（ ）

A．
B．成等比数列
C．若该三棱台存在内切球，则
D．若该三棱台存在外接球，则
28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，存在点，使四点共面
D．当时，存在点，使三条直线交于同一点
29．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）

A．当时，平面
B．当时，若平面，则的最大值为
C．当时，若，则点的轨迹长度为
D．过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
30．（2023·广东湛江·校考模拟预测）在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，，，N为线段AQ的中点，则（ ）

A．CN与QM共面
B．三棱锥的体积跟的取值无关
C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．时，
31．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B．的最小值为
C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为
D．两点间的最短距离为
32．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A．
B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，三棱锥的体积为定值
33．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）正方体棱长为是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．若为直线上一动点，则线段的最小值为
D．当时，过点作三棱锥的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为
34．（2023·广东广州·统考二模）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
35．（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）在正四棱柱中，，，，其中，，则（ ）
A．存在实数，使得在平面内
B．存在实数，使得平面截该正四棱柱所得到的截面是五边形
C．存在实数，使得平面截该正四棱柱所得到的截面是六边形
D．存在实数，使得直线与该正四棱柱的条棱所在直线所成的角都相等
36．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中，，，分别为棱AB，BC的中点，过点E，F作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．若截面过点，则截面周长为
B．若点是线段上的动点（不含端点），则的最小值为
C．若截面是正六边形，则直线与截面垂直
D．若截面是正六边形，S，T是截面上两个不同的动点，设直线与直线ST所成角的最小值为，则
37．（2022秋·重庆巴南·高三重庆市实验中学校考期中）已知正四棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，若正四棱柱被过点，，的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
38．（2023春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考开学考试）如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为 ．
39．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知正方体的棱长为1，点M，N是线段上的两个三等分点，动点G在内，且的面积为，则G点的轨迹长度为 .
40．（2022秋·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）如图，长方体中，，，，点是侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是
①当长度最小时，三棱锥的体积为
②当长度最大时，三棱锥的体积为
③若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
④若在平面内运动，且，则点的轨迹为圆弧
41．（2023·山东青岛）如图，在长方体中，，，，、分别为棱、的中点，动点在长方体的表面上，且，则点的轨迹长度为 .
42．（2023·全国·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
43．（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
44．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
45．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
46．（2023·河北保定·统考二模）如图，在四面体中，，则四面体体积的最大值为 ．

47．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在四面体中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为 .
48．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，该四棱锥的外接球的表面积为 .

49．（2023·海南·统考模拟预测）如图，四棱锥内接于圆柱，为的中点，和为圆柱的两条母线，，四边形为正方形，平面与平面的交线平面，当四棱锥的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为 ．

50．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为 .