【二轮复习】高考数学 专题03 空间几何与空间向量（考点精讲）

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考法一 平行
【例1-1】（2023春·河北邯郸 ）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.

(1)证明：平面ABED.
(2)证明：平面平面BCFE.
【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求证：．
【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：平面ABC
【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，，证明：

【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．证明：平面.

【变式】
1．（2023春·浙江金华）在正方体中，分别是和的中点，求证

(1)
(2)平面．
(3)平面平面．
2．（2023春·新疆省直辖县级单位 ）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.
3．（2022春·浙江温州 ）已知三棱锥中，，，为中点，为中点，在上，，求证：平面

4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱中，，点在上，且，为中点，证明：平面

考法二 垂直
【例2-1】（2023秋·海南海口 ）已知三棱锥中，底面，，分别为，的中点，于．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面，求证：平面
【例2-3】（2023北京）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.
【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．

【变式】
1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，E为BC的中点，证明：；

2．（2023秋·山东）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.

3．（2023·湖南）如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面为正方形，，.求证：平面.

4.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：
考法三 空间角之向量法
【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
【例3-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥，BC为圆O的直径，A是弧上异于B、C的点.点D在直线AC上，平面PAB，E为PC的中点.
(1)求证：平面PAB；
(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
【变式】
1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
2.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
3（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
考法四 空间角之几何法
【例4-1】（2023秋·四川遂宁 ）如图，多面体中，四边形为平行四边形，，，四边形为梯形，，，，，平面
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【例4-2】（2023春·河南商丘 ）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：

(1)求二面角的大小．
(2)求二面角的大小.
(3)求二面角的大小的正弦值．
【变式】
1．（2023春·福建宁德 ）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.

(1)证明：；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
考法五 空间距离之向量法
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．
【变式】
1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；
(3)求点到PD的距离.
2．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

(1)证明：面面；
(2)若为上的一点，点到面的距离为，求二面角的余弦值.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，，且，，是的中点．

(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
考法六 空间距离之几何法
【例6】（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.

(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【变式】
1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若M为PD的中点，求点P到平面的距离.
2．（2023·新疆·统考三模）如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，点为线段的中点，点在线段上，且．

(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
3．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若M为PD的中点，求点P到平面的距离.
考法七 折叠问题
【例7】（2023秋·山东泰安 ）如图1，四边形为矩形，，E为的中点，将、分别沿、折起得图2，使得平面平面，平面平面．

(1)求证：平面；
(2)若F为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知中，，，，，将沿折起，使点A到点处，．

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；
(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
考法八 动点
【例8-1】（2023春·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．

(1)证明：∥平面；
(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
【例8-2】（2023秋·湖南长沙 ）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
2．（2023春·浙江嘉兴）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，且，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请找出该点，并给出证明；若不存在，请说明理由.
3．（2023·北京）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
考点九 外接球
【例9】（2023湖南）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.
【变式】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．
考法十 最值
【例10】．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，三棱锥中，，，，平面平面.

(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
【变式】
1．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．

(1)求；
(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.

(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
3．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．

(1)若，，，证明：平面；
(2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．