2023届高考数学二轮复习专题四立体几何第3讲空间向量与空间角课件

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感悟高考 明确备考方向
1.[异面直线所成的角与线面角](多选题)(2022·新高考Ⅰ卷,T9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则(　　)A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
(1)求A到平面A1BC的距离;
(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
解:(2)取A1B的中点E,连接AE,如图,因为AA1=AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,且AE⊂平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,由BC⊂平面A1BC,BC⊂平面ABC可得AE⊥BC,BB1⊥BC,又AE,BB1⊂平面ABB1A1且相交,所以BC⊥平面ABB1A1,又易知BA⊥BB1,所以BC,BA,BB1两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
1.利用空间向量求二面角或线面角是高考热点,通常以解答题的形式出现,难度中等.2.探究空间几何体中线、面位置关系或空间角存在的条件,一般以解答题的形式考查,难度中等偏上.
突破热点 提升关键能力
热点一　异面直线所成的角
典例1　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长为4,E为AB的中点,PE⊥平面ABCD.(1)若△PAB为等边三角形,求四棱锥P-ABCD的体积;
典例1　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长为4,E为AB的中点,PE⊥平面ABCD.(2)若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45°,求PC与AD所成角的余弦值.
热点训练1　 (2022·天津滨海新区模拟)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求证:BF∥平面ADE;
(1)证明:因为AE∥CF,AE⊄平面BFC,CF⊂平面BFC,所以AE∥平面BFC,因为AD∥BC,同理可得AD∥平面BFC,又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,所以平面BFC∥平面ADE,因为BF⊂平面BFC,所以BF∥平面ADE.
热点训练1　 (2022·天津滨海新区模拟)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值.
热点二　直线与平面所成的角
(1)证明:A1C1⊥A1B;
(1)证明:取AC的中点D,连接A1D,BD,由A1A=A1C,AB=BC,则AC⊥A1D,AC⊥BD,又A1D,BD⊂平面A1BD,A1D∩BD=D,故AC⊥平面A1BD,因为A1B⊂平面A1BD,故AC⊥A1B,又AC∥A1C1,则A1C1⊥A1B.
(2)求直线A1C1与平面A1CB所成的角.
(2)解:因为∠ABC=90°,则AD=BD=CD,又A1A=A1B,A1D=A1D.故△AA1D≌△BA1D,故∠A1DB=∠A1DA=90°.
(2)利用方程思想求法向量,计算易出错,要认真细心.
(1)求证:平面MCE⊥平面ABDE;
(2)求直线CD与平面MCE所成角的正弦值.
热点三　平面与平面的夹角
典例3　(2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;
(1)证明:连接BO并延长交AC于点D,连接OA,PD,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,AO,BO⊂平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,所以△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以OE∥PD,又OE⊄平面PAC,PD⊂平面PAC,所以OE∥平面PAC.
典例3　(2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
两向量夹角的范围是[0,π],二面角的平面角与其对应的两法向量的夹角之间不一定相等,而是相等或互补的关系,要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(1)求证:AB⊥ 平面POC;
(2)点E为线段BP上靠近点P的三等分点,求平面POC与平面EOC所成的锐二面角的余弦值.