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【二轮复习】高考数学 专题14 圆锥曲线（考点精练）
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这是一份【二轮复习】高考数学 专题14 圆锥曲线（考点精练），文件包含二轮复习高考数学专题14圆锥曲线考点精练原卷版docx、二轮复习高考数学专题14圆锥曲线考点精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。
考法一 曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
4．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，的面积为8，则到双曲线的渐近线的距离为 .
考法二 曲线的标准方程
【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
5．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
考法三 离心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考法四 折线段距离最值
【例4-1】．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
【例4-2】（2023秋·北京）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·湖南）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【变式】
1．（2023秋·黑龙江大庆 ）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
3．（2023·广西）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南周口 ）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
考法五 直线与曲线的位置关系
【例5-1】．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【例5-2】（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围 ．
【变式】
1．（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
2．（2024·全国·高三专题练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围 ．
考法六 弦长
【例6-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【变式】
1．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
2．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
3（2023·广西钦州 ）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1B．±
C．D．±
考法七 中点弦
【例7-1】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例7-3】．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
5．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 .
考法八 综合运用
【例8-1】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【例8-2】（2023·湖南·模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【变式】
1（2023·云南·校联考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
9．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
13．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ）
A．B．2C．3D．
19．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
21．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
22．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
23．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·辽宁锦州·校考一模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
25（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
三、填空题
27．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
28．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
30．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
32．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
33．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
34．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
35．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
36．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
37．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
38．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
39．（2023·河南·校联考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
40．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为 .
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
42．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
43．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
44．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
45．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
46．（2023秋·黑龙江伊春 ）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
47．（2023春·宁夏石嘴山 ）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为 .
48．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
49．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
50．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
考法一 曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
4．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，的面积为8，则到双曲线的渐近线的距离为 .
考法二 曲线的标准方程
【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
5．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
考法三 离心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考法四 折线段距离最值
【例4-1】．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
【例4-2】（2023秋·北京）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·湖南）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【变式】
1．（2023秋·黑龙江大庆 ）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
3．（2023·广西）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南周口 ）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
考法五 直线与曲线的位置关系
【例5-1】．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【例5-2】（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围 ．
【变式】
1．（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
2．（2024·全国·高三专题练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围 ．
考法六 弦长
【例6-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【变式】
1．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
2．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
3（2023·广西钦州 ）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1B．±
C．D．±
考法七 中点弦
【例7-1】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例7-3】．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
5．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 .
考法八 综合运用
【例8-1】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【例8-2】（2023·湖南·模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【变式】
1（2023·云南·校联考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
9．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
13．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ）
A．B．2C．3D．
19．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
21．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
22．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
23．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·辽宁锦州·校考一模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
25（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
三、填空题
27．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
28．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
30．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
32．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
33．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
34．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
35．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
36．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
37．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
38．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
39．（2023·河南·校联考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
40．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为 .
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
42．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
43．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
44．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
45．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
46．（2023秋·黑龙江伊春 ）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
47．（2023春·宁夏石嘴山 ）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为 .
48．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
49．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
50．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
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