专题09 二次函数与特殊三角形的问题【中考冲刺】最新中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江苏专用）

这是一份专题09 二次函数与特殊三角形的问题【中考冲刺】最新中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江苏专用），文件包含专题九二次函数与特殊三角形的问题原卷版docx、专题九二次函数与特殊三角形的问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

1．（2022春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若二次函数的图象经过点A(3，0)，与y轴交于点B，点P是该抛物线对称轴上的一动点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为______．
【答案】（2，）或
【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x==2，设点P的坐标为：（2，m），分两种情况讨论，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x==2，
设点P的坐标为：（2，m），
当，
∵二次函数的图象经过点A（3，0），
∴B（0，-9），
∴OA=3，OB=9，
∴=3，
∴，
∴，
∴（2，），
当时，过B点作BD垂直于对称轴与D，
∴，
∴，
∴，
∴（2，-），
综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）．
故答案为：（2，）或（2，）．
2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习）如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点在直线下方的抛物线上运动，当时，点的坐标为____．
【答案】
【分析】将点、、的坐标求出，，设交x轴于点N，求出点的坐标，从而得直线的解析式，联立方程组即可求解．
【详解】解：抛物线与坐标轴交于点、、，
∴当时，；当时，，解方程得，，，
∴，，，则，，，
∴在中，，
如图所示，点点在直线下方的抛物线上运动，设交x轴于点N
∵，
∴，
设，则，
在中，，解得：
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴，
∴，解方程组得，（舍去），，
当时，，即．
故答案为：．
3．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．
【答案】2
【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，求出点P（m，-（m-1）2），由抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根据根与系数关系可求得m值．
【详解】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，
令y=0得，
∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，则｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，
由抛物线=（x-m）2－（m-1）2得顶点坐标为P（m，-（m-1）2），
抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，
∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，
即4（m-1）2=4（m-1）4，
解得：m=2或m=0或m=1，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，
∴m=2，
故答案为：2．
二、解答题
4．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考阶段练习）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在满足题意的点．或或或或
【分析】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，得，解得，
联立，
得，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
解得或2，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）存在满足题意的点．
联立，
解得或，
∴，，
由抛物线，可知抛物线对称轴为，
设点Q的坐标是，
则，，
由勾股定理，得，
当点为顶角时，，即，
解得或，
∴或；
当为腰，为顶角时，，即，
解得或，
∴或；
当为底时，，即，
解得，
∴．
故满足题意的点坐标为：或或或或．
5．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）已知函数，，函数称为、的组合函数
(1)求、的图象的交点坐标；
(2)、的图象的交点为、，抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的、的值
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）联立、的解析式，即可求解；
（2）分三种情况讨论：若，时；若，时；若，时，即可求解．
【详解】（1）解：联立得：，
解得：或，
∴、的图象的交点坐标为或；
（2）解：由（1）得：、的图象的交点坐标为或，
，
∴抛物线顶点，
如图：
由（1）得：、的图象的交点坐标为或，
∵是等腰直角三角形，
若，时，此时点，
∴，或，
解得：（不合题意，舍去）或无解；
若，时，此时点和分别为和的中点，
∴点和，
∴，或，
解得：或，符合题意；
若，时，此时点和分别为和的中点，
∴点，，
∴，或，无解；
综上所述，符合条件的、的值为或．
6．（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，交抛物线于点（在的左侧），交抛物线的对称轴于点为抛物线的顶点，其中；
(1)用的代数式表示点坐标；
(2)连接，若为直角三角形，求抛物线解析式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意得，由，根据平行线分线段成比例可知，通过设交点式可表示出的坐标；
（2）根据（1）表示出的坐标，从而有，分三种情况分别列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线轴于点，
∴当时，解得，即，
∵，
如图所示：
根据平行线分线段成比例可知：，
∴抛物线与轴另一个交点为，
∴设抛物线，
当时，，即；
（2）解：将代入直线得：，即，
∴直线，
∴，
∵，
∴，
∵△ABP为直角三角形，分三种情况讨论如下：
①时，，
∴，解得（由确定舍去）；
②当时，，
∴，解得（由确定舍去）；
③当时，，
∴，方程无解，故此情况不存在；
由（1）知抛物线为，则或，
∴抛物线的解析式为：或．
7．（2023·江苏泰州·统考二模）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值；
(3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)秒
(3)能，秒或秒或秒
【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解；
（2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出，．继而得出直线的解析式为，当时，，得出，进而即可求解；
（3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点的坐标为；
（2）如图1，
设．
三点，，构成以为斜边的直角三角形，
，
即，
整理，得，
解得，舍去，
．
设直线的解析式为，则，
解得，
．
当时，，
，
秒；
（3）分三种情况：
①若点在轴正半轴上，如图2，
可得，
即，
解得；
②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E．
可得，
，
，
，
，
，
．
在与中，
，
，
，
；
③若点在轴负半轴上，如图
可得，
即，
解得；
综上所述，所有满足条件的的值为秒或秒或秒．
8．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．
(1)求直线的表达式及抛物线的表达式．
(2)求点C的坐标．
(3)点在直线上，点在抛物线上．若，直接写出m的取值范围．
(4)若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标．
(5)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)，，，
【分析】（1）先把B点坐标代入中求出a得到抛物线解析式为，再利用待定系数法求直线的解析式；
（2）通过解方程组，得C点坐标；
（3）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可；
（4）先计算出，则，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到D点坐标；
（5）先得出,然后分三种情况①当时，②当时，③当时，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）把代入得，
∴抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解方程组，
得：或，
∴C点坐标为；
（3）若，m的取值范围为；
（4）．
设，
∵，
∴，解得： 或（舍去），
∴；
（5）由（2）可知：、，
∴,
①当时，，；
②当时，点P是线段的垂直平分线与x轴的交点．
∵，
∴中点D的坐标是，
∴直线的解析式为：，
则易得：；
③当时，．
综上，点P的坐标为：，，，．
9．（2022春·江苏·九年级专题练习）抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线的对称轴为，可求得的值，进而可得解析式；
（2）直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形可得，设，分轴上方和下方两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质列出式子，即可求得的值．
【详解】（1）解：由抛物线与轴相交于点，可得，
又抛物线的对称轴为，
即，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴上方时：
作轴交轴于点，
是等腰直角三角形，
，
又轴，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
设，则，
，
又，
，
即，
解得（舍负），
；
如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴下方时：
作轴交轴于点，
是等腰直角三角形，
，
又轴，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
设，则，
，
又，
，
即，
解得（舍负），
，
综上：或
10．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（3，1）
(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)
【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可；
（2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标；
（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，分类讨论.
【详解】（1）把点（2，-1）代入得=
∴该抛物线的解析式为
（2）过点C作CD垂直轴于点D
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°
∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3
∴△BOA≌△ADC
∴OA=DC，BO=AD
∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=DC=1，BO=AD=2
∴点C的坐标为（3,1）
（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3
①当AP//BC,且AP = BC时，如图:
将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，
经检验:点P1在抛物线上，
故P1满足条件，
②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，
经检验，P2不在抛物线上；
③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，
经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.
综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).
11．（2022春·江苏·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3
(2)P（1，﹣2）
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标,由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【详解】（1）解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得 ，
∴y＝2x2﹣x﹣3；
（2）把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1）．
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P是CD垂直平分线与抛物线y＝2x2﹣x﹣3的交点,
由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
∴ ，
解得：x＝1或-，
∵点P在第四象限，即x＞0 ，
∴x＝1．
∴P（1，﹣2）．
12．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；
(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)y＝2x2+3x﹣1
(2)t2+2
(3)t＝0
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）把x=t分别代入两函数解析式，则可求得M、N的坐标，即可由MN=yM-yN求解；
（3）①当∠ＢNM＝90°，BN＝NM时；②当∠BMN＝90°，BN＝NM时；分别求解即可．
【详解】（1）解：将点A(﹣1,﹣2)、B（(﹣2,1)代入抛物线C1表达式得：
，解得：，
故抛物线C1的表达式为：y＝2x2+3x﹣1；
（2）解：把x=t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y=2t2+3t﹣1，
∴点N的坐标为（t，2t2+3t﹣1），
把x=t代入y＝3x2＋3x＋1，得：y=3t2+3t+1
∴点M的坐标为：（t，3t2+3t+1），
则MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2；
（3）解：①当∠ＢNM＝90°时，如图1，
则BNx轴,
∵B（-2，1），
∴2t2+3t﹣1=1，解得：t= -2或，
当BN＝NM时：
∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，
∴t＋2＝t2+2，
解得：t＝0或t=1，
∴同时满足两个条件时t无解
②当∠BMN＝90°时，如图2，
∴3t2+3t+1=1，解得：t=0或-1，
当BM＝MN时，
∵BM＝t+2，NM＝t2+2，
∴t+2＝t2+2，
解得：t＝0或t＝1，
∴同时满足两个条件时t=0
所以当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时t＝0
13．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
【答案】(1)见解析
(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．
【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形；
（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：令x=0，则y=c，
∴点C(0，c)，
令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0，
∴(2x-1)(x-c)=0，
∴x1=，x2=c，
∵点B在点A右侧，
∴点B(c，0)，点A(，0)，
∴OB=OC=c，
∵∠COB=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形；
（2）解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-，
∴点D(，-)，
设DM交x轴于点M，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∵点A，B关于DE对称，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵EM⊥AB，
∴EM=AB，
当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，
∵DM⊥AB，
∴AB=2DM，
∵点B(c，0)，点A(，0)，
∴AB=c-，
∵点D(，-)，
∴DM=，
∴c-=，
整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，
∴c1=，c2=，
∵c>，
∴c=，
∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．
14．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，半径为1的经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(1，0)，B(0，)；
(2)y=x2x+；
(3)符合条件的点D为：(−1，)，(−1，−)，(−1，)，(−1，−)，(−1，0)．
【分析】（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A(1，0)，B(0，)；
（2）根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可．
【详解】（1）解：∵MO=MA=1，∠OMA=60°，∴OA=1，
又∠AOB=90°，∴AB经过点M，
∴∠ABO=30∘，
∴OB=，
∴A(1，0)，B(0，)；
（2）∵BC是切线，
∴∠ABC=90°，
由（1）知∠OAM=60°，
∴∠ACB=30°，
又由（1）可得AB=2，
∴AC=4，
∴C(−3，0)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C代入得，
，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2x+；
（3）解：设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，
由（2）可得对称轴为直线x=−1，所以可设点D(−1，m)，
分3种情况讨论：①BC=BD，则，
解得m=±；
②BC=CD，则，解得m=±；
③BD=CD，=，解得：m=0，
∴符合条件的点D的坐标为：
(−1，)，(−1，−)，(−1，)，(−1，−)，(−1，0)．
15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标；
【答案】(1)
(2)存在，，
(3)或
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标．
（3）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标；
【详解】（1）把，，三点代入抛物线解析式
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
∴，
∴，，
∵，，
∴直线解析式为，
∴点，
∵，，
∴直线解析式为，
如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，
∵，点坐标，直线解析式为，
∴解析式为:，
联立方程组可得：，
解得：或，
∴点的坐标为，，
（3）存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
，
，，
，，
直线解析式为，
点，
，，
，
，
若点在直线的上方时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点，
直线解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：或，
点的坐标为，；
若点在直线的下方时，
由对称性可得：点，
直线解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：或，
点的坐标为，，
综上所述：点的坐标为，或，；
16．（2023春·江苏宿迁·九年级泗阳致远中学校考期中）如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在；或或或
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可；
（3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可．
【详解】（1）解：把点、代入得：，
解得：
∴，
∴顶点坐标为：；
（2）解：把代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴，
设点，则，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴；
（3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，则，，
∴，
当时，解得：或；
当时，解得：或；
综上分析可知，点M的横坐标为：或或或．
17．（2023春·江苏苏州·九年级昆山市第二中学校考开学考试）已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为．
(1)原抛物线的函数解析式是 ．
(2)如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）由题意求出二次函数顶点左边，然后写出顶点式，变形即可；
（2）如图，过P作交于M，结合（1）求出直线解析式为：
，设则，根据带入计算，化为顶点式即可求出面积最大值是的值，从而求解；
（3）①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，可得，即是中的可求解；②如图，为等腰三角形，为直角三角形，设根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，
二次函数图像的顶点坐标为：
二次函数解析式为：
即，
故答案为：；
（2）如图，过P作交于M，
二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，
当时，，
解得，
当时，，
，，，
直线解析式为：
设，则
当时面积的最大值为，
；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知，，
①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，
即，，
是的中点，
②如图，为等腰三角形，为直角三角形，
即，，
设
解得：或（不合题意，舍去）
综上所述：或
18．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，，点A关于所在的直线的对称点，连接、．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．
(2)若点落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
(3)设抛物线顶点为Q，若是锐角三角形，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）将表达式化为交点式，可得结果；
（2）设，根据对称的性质得到，从而求出n点，得到的坐标，求出的中点，从而得到点C坐标，代入函数表达式，可得结果；
（3）求出顶点Q的坐标，得到，，，根据勾股定理的逆定理，分，时的m值，结合图像得出m的范围即可．
【详解】（1）解：抛物线的表达式为：，
故点、的坐标分别为：、，
故答案为：、；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
设的坐标为，
∵A和关于直线对称，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，又，
∴的中点坐标为，即，
∴，代入中，
解得：，
∴；
（3）在中，令，则，
∴，
，
∴抛物线顶点Q的坐标为，
∵是锐角三角形，
∴，
，
，
如图，当时，
，
解得：，
如图，当时，
，
解得：，
综上：m的取值范围是或．
19．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，二次函数的图像交轴于点、，交轴于点，连接、，点为射线上的动点．
(1)求点、的坐标；
(2)若点在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点，当最大时，求点的坐标；
(3)如图2，点为射线上的一点，且：
①连接、，当为直角三角形时，求点的坐标；
②如图3，连接、，直接写出的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①或；②2
【分析】（1）根据抛物线和轴交于、，列出方程，解方程，再根据、的左右关系，即可对应相应的坐标；
（2）设，可得的范围：根据的坐标得出，根据为抛物线和轴的交点，得出，根据，得出直线，于是，至此得出，取最大值时，根据此横坐标即可得出的坐标；
（3）①本题共有三种情况：
情况一：当时，由（1）（2）得出，，求得直线的解析式为：，根据，得，根据直角三角形两锐角互余，得，设，解直角三角形得，即点和点重合，等量代换得，解直角三角形即可得出点的坐标；
情况二：时，画出图后会发现，按照题意,但在中存在：、中较长边，故此种情况不符合题意；
情况三：时，设，根据，且，，得出，根据勾股定理得出，且代入数据得，解得，于是由边的加减得出，同情况一的方法，再解直角三角形即可得出点的坐标；
②由①知且，设，根据勾股定理解得、，可得即可以表示为到和到的距离之差，易在直角坐标系中得出最大值的情况为、、共线，解直角三角形即可得出的最大值．
【详解】（1）解：抛物线和轴交于、，
，
解得：，，
，；
（2）解：设，，
，
为抛物线和轴的交点，
，
，
直线解析式为，
，
，
当时，最大，
，
点的坐标为；
（3）解：①情况一：当时，过点E作轴于点M，如图，
由（1）（2）得出，，
直线的解析式为：，
，，，
，
，
，
,
设，
,
又，
当时，点和点重合，
，，
，
，
把代入，得
，
点的坐标为；
情况二：时，
按照题意,但在中存在：、中较长边，故此种情况不符合题意；
情况三：时，
设，
，
，，
，
根据勾股定理：
，
，
，
，
解得，
，
由情况一得
，
把代入，得
，
点的坐标为；
综上，点E的坐标为或；
②由①知且，
设，则，
根据勾股定理：
，
，
，
即可以表示为到和到的距离之差，
在直角坐标系中得出最大值的情况为、、共线，
此时的距离之差为，
的最大值为2．
20．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．点在轴正半轴上，直线：与抛物线交于点．
(1)求线段的长度；
(2)如图，点Р是线段上的动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求的最大值；
(3)如图3，将抛物线向左平移4个单位长度，将沿直线平移，平移后的记为，在新抛物线的对称轴上找一点M，当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）分别求出点、点的坐标，然后根据勾股定理计算的长度即可；
（2）先求出直线的解析式确定点的坐标，并求出的长度；然后通过计算出点的横坐标，求出点横坐标的取值范围；设点，由轴可得，进而可表示出，求出的最大值即可得出结果；
（3）分别求出抛物线平移后的对称轴和直线的函数表达式，设出的坐标，根据，列方程组求解即可；
【详解】（1）解：令，则
解得或
∴，
当时，；
∴
∴
（2）解：将点代入得：
解得：
∴直线：
当时，；
∴
∴
联立方程组
解得或
设
∵轴
∴
∴
∴当时，；
此时，
∴的最大值为：
（3）解：函数的对称轴为直线：
故其向左平移个单位长度后的抛物线的对称轴为直线：
设
由，，可得：
直线：；直线：；
由平移的性质可知：
设直线：
∵
∴
解得：
∴直线：
设点
由题意可知：，
∴
解得：，
∴，