专题06 二次函数与线段的问题-【中考冲刺】最新中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江苏专用）

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1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．根据，可得的最小值为的长，即可解决问题．
【详解】如图，连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．
由，令，则，
解得，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
当为与轴交点时最小，最小值为的长，
Q（0，2）,，
，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
则的最小值是．
故选D．
2．（2021秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
二、填空题
3．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________．
【答案】
【分析】求出的坐标，设出点坐标，表示出的解析式，进而求出的坐标，再进行计算即可．
【详解】解：，当时，，
解得：，
∴，对称轴为直线，
∴，
设，
∵点P为x轴下方抛物线上任意一点，
∴，
设直线解析式为，
，解得：，
∴直线解析式为；
∴当时，，
∴；
同理可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
∴
∴；
故答案为：．
4．（2022春·江苏·九年级专题练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．
【答案】
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值为
故答案为：
5．（2021秋·江苏徐州·九年级统考期中）已知抛物线与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于C，与轴交于点D，圆C的半径为1.8，G为圆C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为_________．
【答案】
【分析】如图，连接BG．利用三角形的中位线定理证明DP=BG，求出BG的最大值，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BG．
∵AP=PG，AD=DB，
∴DP=BG，
∴当BG的值最大时，DP的值最大，
∵，
∴C（5，），B（9，0），
∴BC==，
当点G在BC的延长线上时，BG的值最大，最大值=+，
∴DP的最大值为，
故答案为：．
三、解答题
6．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式；
(2)当时，为抛物线在第二象限内一点，点P到直线的距离为d，则d与n的函数表达式为_____；
(3)过（其中）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段的长都不小于2，结合函数图像，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意知，点A、B关于对称轴对称，由此求得a，b满足的关系式；
（2）过P作于H，过P作轴交于K，求出二次函数解析式，证明是等腰直角三角形，得，再求出直线解析式为，设可得，故，即可得，进而可求出d与n的函数表达式；
（3）由与x轴交于两点，可得，然后分当时和当时两种情况求解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
整理得：；
（2）过P作于H，过P作轴交于K，如图：
∵，
∴，
将代入得：
，
解得，
∴，
令得，
∴，
由可得，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
设直线解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线解析式为．
∵为抛物线在第二象限内一点，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵点P到直线的距离为d，即，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
由（1）知抛物线对称轴为直线，
当时，如图：
∵线段的长不小于2，
∴M到直线的距离不小于1，
∴在中，当时，，
∴，
解得；
当时，如图：
∵线段的长不小于2，
∴M到直线的距离不小于1，
∴在中，当时，，
∴，
解得；
综上所述，a的取值范围是或．
7．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)2或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，可得的周长的最小值为；
（3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可．
【详解】（1）将代入，
∴，
解得，
∴；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B点关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，
当时，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
（3）设，
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：M点横坐标为2或或．
8．（2023春·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）．
①平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式；
②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长；
③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标
(2)①；②的长为；③关于的函数表达式为，的最小值是
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式即可求解；
（2）①依题意得出，设平移后的抛物线为，将点代入解析式即可求解；
②根据二次函数图象的对称性得出，，即可求解；
③点的横坐标为，由②可得，根据，得，设平移后的解析式为，将点代入得，根据勾股定理得出即关于的函数表达式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：
∴顶点坐标；
（2）解：①∵，点的横坐标为，
令，
∴，
∵平移后的抛物线顶点在直线上，
设平移后的抛物线为，将点代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为
②∵，对称轴为直线
∵点的横坐标为， 关于对称，则，关于对称，则，
∵点在点的左侧
∴
∴的长为；
③∵点的横坐标为，由②可得，
∵，
则
解得，
∴平移后的抛物线顶点在直线上，
设，
设平移后的解析式为，将点代入得，
∴
即
∵
∴表达式为
∴当时，取得最小值为，
即的最小值为．
9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B．若点P是线段上的动点，过点P作直线轴，交抛物线于点M．求线段的最大值．
【答案】
【分析】先利用对称性得到点B的坐标为，设交点式，再把把C点坐标代入求得，则抛物线解析式为，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，所以，然后根据二次函数的性质求的最大值．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点A的坐标，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
即，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
∵
∴当时， 有最大值，最大值为．
10．（2022秋·江苏南通·九年级校联考阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：，
将点C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴；
∴函数的解析式为：．
（2）解：抛物线的对称轴为：；
点A关于直线l的对称点为点B，
连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，
设直线BC的解析式为：，则：
，解得：，
∴，
设，代入得：
，
∴．
11．（2022·江苏泰州·校考三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点．
(1)若抛物线的对称轴是直线x＝2．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
当b≥4，0≤x≤2时，函数y的最大值满足5≤y≤13，求b的取值范围．
【答案】(1)①；②存在，点P（2，）或P（2，）
(2)4≤b≤6
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′（2，），再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再根据函数值y的最大值满足5≤y≤13，列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，
抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴，解得b＝4，
∴抛物线的解析式为；
②存在．
理由如下：抛物线的对称轴与x轴交于点C，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连结OB′、PB，则OB'＝OB，PB'＝PB，如图所示：
对于，令y＝0，则，即，
解得，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴在Rt中，，，则，
∴，
设点P（2，m），由，得，即，解得，
∴P（2，），
同理，当点P在x轴下方时，P（2，），
综上所述，点P（2，）或P（2，）；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴当b≥4时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∵5≤y≤13，
∴5≤2b+1≤13，解得2≤b≤6，
又∵b≥4，
∴4≤b≤6．
12．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值是，最小值是4
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；
（2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；
（3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上，
∴设抛物线的解析式为，
把点、代入中可得：，
解得：舍去或，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）把代入中可得：，
∴，
∴点的坐标为；
（3）设的解析式为：，
把点、代入中可得：，
解得：，
∴的解析式为：，
∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，
∴当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
设，，
∴，
当时，的最大值为：，
∴的最大值是，最小值是4．
13．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝
(2)存在，P的坐标为（，﹣）
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得
（1）
解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：

解得：
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）
解：存在，理由如下：
连接PB
由抛物线的对称性得：PA＝PB
∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，
即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直线BC的解析式为y＝x﹣2．
令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，
即点P的坐标为（，﹣）．
∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．
14．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5），与x轴的另一个交点为点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)分别求出抛物线的对称轴和点C的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)x=2，点C的坐标为（5，0）；
(3)存在，点P的坐标为（2，-3）．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）化成顶点式，利用抛物线的对称性质求解即可；
（3）当点P在线段BC上时，的周长最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：把点A（-1，0）和点B（0，-5）代入y=ax2-4x+c得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
（2）解：y=x2-4x-5=(x-2)2-9，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∵点A（-1，0），
∴与x轴的另一个交点C的坐标为（5，0）；
（3）解：存在一点P，使得ABP的周长最小．理由如下：
连接AB，由于AB为定值，要使ABP的周长最小，只要最小；
由于点A与点C关于对称轴对称，则，因而BC与对称轴的交点P就是所求的点；
设直线BC的解析式为y=kx-5，
把C（5，0）代入得：5k-5=0，
解得k=1，
所以直线BC的解析式为y=x-5；
把x=2代入y=x-5中得，y=-3，
∴点P的坐标为（2，-3）．
15．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．
【答案】(1)，
(2)线段长度有最大值为
【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解出二次函数解析式，再求出点D的坐标，即可求出直线BD的解析式；
（2）设P点的横坐标为，则，则，由此求解即可．
【详解】（1）设二次函数的解析式为：
将B的坐标代入得：
∴二次函数的解析式为：即：，
∵点D是二次函数与y轴的交点，
∴D点坐标为：
设直线的解析式为：将B的坐标代入得：
∴直线的解析式为：；
（2）解：设P点的横坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，线段长度有最大值为．
16．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；
(2)①；②-1或
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝．
17．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
(1)求A，B，C三点坐标．
(2)求证：∠ACB=90°
(3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值．
【答案】(1)A（-2，0），B（8，0），C（0，4）；
(2)见解析
(3)DE+BF的最大值是9．
【分析】（1）由抛物线y=-x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，即可求出A，B，C坐标；
（2）求得△ABC三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形即可；
（3）由B（8，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y=-x+4，设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4），可得DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）=-（m-2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9．
(1)
解： y=-x2+x+4中，
令x=0得y=4，
令y=0得x1=-2，x2=8，
∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）；
(2)
证明：∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10，
∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80，
∴AC2+BC2=100，
而AB2=102=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°；
(3)
①设直线BC解析式为y=kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为y=-x+4，
设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4），
∴DE=（−m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，BF=8-m，
∴DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）
=-m2+m+8
=-（m-2）2+9，
∴当m=2时，DE+BF的最大值是9．
18．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；
(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可
【详解】（1）将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴=1，即-=l，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）令解得，
∴A(-1，0)，B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=，
∵PQ⊥OB，PE⊥BC，
∴∠PQB=∠PED=90°，
∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，
∴BQ=DQ，BD=，DE=，
∵P点横坐标是m，且在抛物线上，
∴PQ=，OQ=m，
∴BQ=DQ=3-m，BD=，
∴PD=PQ-DQ=，DE=，
∵DE＝BD，
∴，
解得：（舍去），
∴m=2
（3）过点A作x轴的垂线交BC于点G，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，可得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AHG，
∴，
∴当a=时，有最大值，最大值是．
故答案为：
19．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上；
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是直线下方的抛物线上的一动点，过作轴的平行线与线段交于点，求线段的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将点、点的坐标代入抛物线解析式求解即可确定函数解析式；
（2）根据题意作图，根据待定系数法确定一次函数解析式，设横坐标为，则，，得出距离的解析式求解即可．
【详解】解：（1）将点、点的坐标代入抛物线解析式得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图所示：
设AC的解析为y=kx+b，把点，代入中
，
解得，
所以直线解析式为：．
设横坐标为，则，，
，
∴的最大值为．
20．（2022·江苏苏州·校考一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，P为线段上一动点，将射线绕P逆时针方向旋转后与函数图像交于点Q．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时的长；
（3）求线段的最大值；
（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在；或．
【分析】（1）将A（−1，0），B（4，0）代入，列方程组求a、b的值；
（2）作直线y＝x＋1，证明直线PQ与直线y＝x＋1平行，由A（−1，0），B（4，0）求出抛物线的对称轴为直线x＝，再求出点P在直线x＝上时直线PQ的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，由此求出点Q的坐标，再求出线段PQ的长；
（3）先说明点P与点A重合时，线段PQ的长最大，用此时直线PQ的解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出点Q的坐标，再求出线段PQ的长；
（4）存在符合条件的点，分两种情况，一是以PQ为平行四边形的一边，另一是以PQ为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，用直线PQ的解析式与抛物线的解析式组成方程组，用解方程组的方法求解．
【详解】（1）把A（−1，0），B（4，0）代入，
得，解得，
∴该二次函数的表达式为．
（2）如图1，作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x＋1交y轴于点F，则F（0，1），且该直线过点A（−1，0），
∵OA＝OF，∠AOF＝90°，
∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，
∴PQAF，
设直线PQ的解析式为直线y＝x＋c，
由A（−1，0），B（4，0）得，抛物线的对称轴为直线x＝，
当点P落在直线x＝上，则P（，0），
∴＋c＝0，
解得c＝−，
∴y＝x−，
由，得，（不符合题意，舍去），
∴PQ＝EQ＝×＝．
（3）如图2，当−1≤x≤4时，EQ的长随x的增大而减小．
∴当点P与点A（−1，0）重合时，EQ的长最大，PQ的长也最大，
此时直线PQ的解析式为y＝x＋1，
由，得，（不符合题意，舍去），
此时EQ＝4，PQ＝EQ＝4，
∴PQ的最大值为4．
（4）存在．
如图3，PQ为以P、Q、B、D四点为顶点的四边形的一边，则BD∥PQ．
∴∠GBD＝45°，
设直线x＝交x轴于点G，
∵∠BGD＝90°，
∴DG＝BG•tan45°＝BG＝4−＝，
此时BD＝DG＝，
在抛物线上一定存在点Q，其纵坐标为，
作QE⊥x轴于点E，在x轴上取点P，使PE＝QE，
则∠BPQ＝45°，且PQ＝，
∴四边形PQBD是平行四边形，
此时；
如图4，DQPB，DQ＝PB．
设P（r，0）（−1≤r≤4），设直线PQ的解析式为y＝x＋d，则r＋d＝0，即d＝−r，
∴y＝x−r，
由，得，（不符合题意，舍去），
∴Q（，），
∵PD＝BQ，GD＝EQ，∠PGD＝∠BEQ＝90°，
∴Rt△PDG≌Rt△BQE（HL），
∴DG＝BE，
∴r−＝4−（），
解得r1＝，r2＝（不符合题意，舍去），
∴y＝1＋-＝，
∴DG＝QE＝，
∴D（，）．
综上所述，点D的坐标为或（，）．