专题05 一次函数的应用及综合问题-【中考冲刺】最新中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江苏专用）

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1．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）将一根长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为，底边长为，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知列出y与x之间函数关系式，再由三角形三边关系确定x取值范围．
【详解】解：由已知得，
由三角形三边关系得：，
解得：，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
2．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图是王叔叔晩饭后步行的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图像，其中曲线段是以为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（ ）
A．线段的函数表达式为
B．，王叔叔步行的路程为
C．曲线段的函数表达式为
D．，王叔叔步行的速度由慢到快
【答案】C
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【详解】解：A、设线段的函数解析式为，
把代入得，，
解得：，
∴线段的函数解析式为，故该选项不符合题意；
B、，王叔叔步行的路程为m，故该选项不符合题意；
C、当时，由图象可得m，即抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为
将代入得：，
解得，
∴曲线段的函数解析式为，故该选项符合题意；
D、在A点的速度为，
A到B点的平均速度为，
∴，王叔叔步行的速度由快到慢，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连结．当最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用矩形的性质和垂线段最短进行解题即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形为矩形，
连接，则，
∴当时，最短，即最短；
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴
∴，
，
设：，则，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故选A．
4．（2023·江苏苏州·统考一模）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则；②若y是x的一次函数，则；③若y是x的二次函数，则.其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】①根据反比例函数系数k的几何意义即可判断；②求得一次函数的解析式，分别求得m、n的值即可判断；③根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：①若y是x的反比例函数，则，
解得，则，故①正确；
②若y是x的一次函数，设为，
把代入得
解得，
∴，
∴当时；时，
∴，
∴，故②正确；
③若y是x的二次函数，设解析式为，
∵函数经过点和，
∴，
∴，
∴，
当时，图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
所以；
当时，图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
所以；
故③正确；
故选：D．
二、填空题
5．（2019·江苏无锡·校联考一模）一次函数与的图像如图，则的解集是___________．
【答案】
【分析】不等式的解集是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图像上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．
【详解】解：不等式的解集是．
故答案为：．
6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，点是以为圆心，为半径的圆上一动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】根据题意，得出在直线上，则当时，最短，设与轴分别交于点，证明是等腰直角三角形，进而可得当与点重合时，最小,即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴在直线上，
当时，最短，
设与轴分别交于点，
∵，令，得，令，则，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当与点重合时，最小，则，
故答案为：.
7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．
（1）的值为________；
（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟．
【答案】 50 20
【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得时对应的的值求差即可．
【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，
，
，
当时，则，解得，
设第一次循环过程中一次函数的解析式为，
由题意得 ，解得 ，
一次函数的解析式为，
当时，则，解得，
当时则，解得，
分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
（分钟）
故答案为：（1）50；（2）20．
8．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图所示，一次函数的图你与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动______秒时，直线恰好与相切．
【答案】
【分析】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线的解析式为，由与相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性即可得出结论．
【详解】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示，
设直线的解析式为，
即，
与相切，且的半径为1，
，
解得，
直线的解析式为或，
点E的坐标为或，
令中，则，
，
根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，
移动的时间为或，
故答案为：．
三、解答题
9．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）宿迁市桃树栽培历史悠久，素有“夭桃千顷、翠柳万行”的美誉．小李家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当桃园总产量为7000千克时，求x的值；
(3)如果增种的桃树x（棵）满足：，请你写出桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，并帮小李计算，桃园的总产量最多是多少千克？
【答案】(1)
(2)20或60
(3)，总产量最多是7200千克
【分析】（1）由题意可得出y与x之间存在一次函数关系，从而设一次函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意表示出实际桃树量，再乘以每棵桃树的产量，建立一元二次方程求解即可；
（3）仿照（2）的过程，用实际桃树量，乘以每棵桃树的产量，即可得到桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，然后整理为顶点式，结合二次函数的性质求解最值即可．
【详解】（1）设，代入，，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）由题意得，，
解得，，
∴x的值为20或60．
（3），
∵，，
∴当时，W的最大值为7200．
答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克．
10．（2023·江苏盐城·校考一模）在某市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
(2)若甲队每天绿化费用为万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；
(2)安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为万元
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天，根据题意列出不等式求解，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，
根据题意得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；
（2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
费用，
当时，（万元），
答：安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为万元．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（）元/件的关系如表：
(1)试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，求出y与x的函数关系式；
(2)设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？
(3)在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？
【答案】(1)
(2)当时，一周的销售利润不低于8000元
(3)最大捐款为8750元
【分析】（1）设，把点的坐标代入解析式，求出、的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润（售价进价）销售量，列出函数关系式，继再利用销售利润为8000，进而得出销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得，，
解得：，
则函数关系式为：；
（2）解：由题意得，
，
当时，
，
解得：，，
，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，一周的销售利润不低于8000元；
（3）解：由
解得：，
又由于最大进货量为：，
由题意可知，当时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．
（元，
故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．
12．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）某商店销售一种服装，经市场调研发现，该服装销量y（件）与售价x（元/件）之间存在如图像中折线A-B-C所示的函数关系．已知该服装进货价为42元/件，x的取值范围为55≤x≤65．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式及相应取值范围；
(2)若以相同价格销售一批服装获得利润12000元，求每件服装的售价．
【答案】(1)
(2)每件服装的售价57元或62元
【分析】（1）由图象可知；当时，；当时，设,将和代入解方程组即可求解；
（2）根据题意列方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）由图象可知；当时，；
当时，设,
将和代入上式可得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式，
综上所述：y与x之间的函数关系式：
（2）当时，，
解得：，
当时，，
解得：或（舍去）
答：每件服装的售价57元或62元．
13．（2022·江苏淮安·统考一模）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：
(1)小华家与体育场的距离是___________米，小华在体育场休息___________分钟；
(2)小华从体育场返回家的速度是___________米/分；
(3)小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．
【答案】(1)米，分钟
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）由图象直接可得小华家与体育场的距离是米，小华在体育场休息5分钟；
（2）由速度路程时间可得小华从体育场返回家的速度是米/分；
（3）把代入得，画出图象即可．
【详解】（1）解：由图象可知小华家与体育场的距离是米，小华在体育场休息（分钟）；
故答案为：，；
（2）小华从体育场返回家的速度是（米/分）；
故答案为：；
（3）根据题意知图象经过，代入得：，
∴，
画出函数的图象如下：
14．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，．
(1)求的值，以及点的坐标；
(2)求过，两点的直线解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把代入，即可求得k值，从而得到一次函数解析式，再令，求得y值，从而得到B点坐标，即可求得，然后作轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标；
（2）用待定系数法求即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得：，
，
令，则，
，
，
∵，
∴，
过点D作CD⊥x轴于点D，如图，
∵，
∴，
又，
，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
则点C的坐标是．
（2）解：设直线的解析式是，
把，代入，得
，解得：，
∴直线BC的解析式．
15．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
(1)直接写出点B的坐标 ，并求线段BC对应的函数表达式；
(2)启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；；
(2)当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000
【分析】（1）当时，，即可确定点B的坐标；设线段BC的表达式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意考虑启用网络主播直播带货后，即为时，然后确定利润的函数解析式，再求其最值即可．
【详解】（1）解：当时，，
即点，
设线段BC的表达式为：，
将点代入得：
解得，
故线段对应的函数表达式为：；
故答案为：；；
（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，
当时，
，
当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值为6000，
当时，w随x的增大而减小，
当时，，
综上得：当时，w的值最大；
∴当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．
16．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出100件，商场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每周可多卖出20件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元（为正整数），每周可卖出件．
(1)求与的函数关系，并直接写出自变量的取值范围．
(2)求每周利润的最大值．
(3)直接写出在什么范围内时，每周的利润不低于5000元．
【答案】(1)（且为正整数）
(2)每周利润的最大值为元
(3)当且为正整数时，每周的利润不低于5000元
【分析】（1）根据每降价1元，每周可多卖出20件，列出函数关系式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数，利用性质求最值即可；
（3）根据题意，列出方程，结合函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵，
∴，
∵为正整数，
∴且为正整数；
（2）解：由题意，得：
（且为正整数）；
∵，，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；
∵且为正整数，
∴当或时，有最大值，最大值为：；
答：每周利润的最大值为元．
（3）解：当时，，
解得：，
∴且为正整数时，；
答：当且为正整数时，每周的利润不低于5000元．
17．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，白球在处开始减速，此时黑球在白球前面处．小聪研究发现，白球的运动距离（单位：）与运动时间（单位：）之间满足函数表达式：．小聪又测量了白球减速后的运动速度（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现白球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系．
(1)请求出关于的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当白球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
(3)若黑球一直以的速度匀速运动，问白球在运动过程中会不会碰到黑球?请说明理由．
【答案】(1)
(2)白球减速后运动时的速度为
(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，白球不会碰到黑球
【分析】（1）根据白球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为，代入两组数值求解即可；
（2）当白球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；
【详解】（1）根据白球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入得，
，解得，
∴，
（2）依题意，得，
解得，，；
当时，；当时，（舍）；
答：白球减速后运动时的速度为．
（3）设黑白两球的距离为，
，
∵，∴当时，的值最小为44，
∴黑、白两球的最小距离为，大于0，白球不会碰到黑球．
18．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，某市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价（元）和游客居住房间数（间）的信息，乐乐绘制出与的函数图象如图所示：
(1)写出与之间的函数关系式______；
(2)合作社规定每个房间价格不低于50元且不超过110元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)房价定为110元时，合作社每天获利最大，最大利润是4950元
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，
即与之间的函数关系式是；
故答案为：；
（2）解：设合作社每天获得的利润为元，
，
，，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
答：房价定为110元时，合作社每天获利最大，最大利润是4950元．
19．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）正方形与扇形有公共顶点O，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设，，
(1)当时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线对应的函数关系式是______；
(2)当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；
(3)当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)或者
【分析】（1）利用扇形面积减去正方形的面积即可得不重合的面积，利用待定系数法即可求出直线对应的函数关系式；
（2）连接，交于点F，先证明直线与扇形相切，切点为正方形对角线交点F，由，可得正方形的边长，即有，，问题得解；
（3）分点E在扇形上和点C、D在扇形上两种情况讨论即可作答．
【详解】（1）当时，即正方形的边长为：，
则正方形的对角线长为：，
∴正方形在扇形内部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：，
∵，
∴，，
设直线对应的函数关系式是，
∴，解得：，
直线对应的函数关系式是，
（2）连接，交于点F，如图，
∵正方形中，有，
又∵直线与扇形相切，
∴可知直线与扇形相切的切点为对角线交点F，
∵，
∴，
∴利用勾股定理，可得正方形的边长，
∴，，
同（1），利用待定系数法可得：直线对应的函数关系式；
（3）分两种情况讨论：
当点E在扇形上时，连接，如图，
此时可知正方形对角线的长度与扇形所在圆的半径相等，，
∴利用勾股定理，可得正方形的边长，
∴正方形在扇形内部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：；
当点C、D在扇形上时，如图，
即有正方形的边长，
∴正方形在扇形外部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：；
综上：正方形与扇形不重合的面积为：或者．
20．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
x
…
2
4
…
y
…
m
n
2
…
销售单价x（元/件）
…
55
60
70
75
…
一周的销售量y（件）
…
450
400
300
250
…
运动时间
运动速度
售价x（元/件）
销售量（件）
100