上海市曹杨第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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试卷共4页1张
考生注意：
1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 函数的零点是______.
2. 已知两点，则向量的单位向量的坐标为______.
3. 已知集合，，则______.
4. 若复数z满足是虚数单位，则______．
5. 已知平面向量，则在方向上的投影向量为______.
6. 设为常数，若函数最大值为5，则______.
7. 若，且为第三象限的角，则______.
8. 若，则的值为______.
9. 已知等边的边长为6，点在边上，且，则______.
10. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数______.
11. 设均为大于1的自然数，，若存在实数，使得，则有序实数对为______.
12. 已知平面向量满足：，若，则的最小值为_______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 若，则是的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 即不充分又不必要条件
14. 某人要作一个三角形，要求它三条高的长度分别为，则此人（ ）
A. 不能作出这样的三角形B. 能作出一个锐角三角形
C. 能作出一个直角三角形D. 能作出一个钝角三角形
15. 已知平面上不共线的三点，点在该平面上且不与重合.若动点满足，则点一定落在的（ ）
A. 某一边上的高所在直线上B. 某一边上的中线所在直线上
C. 某一内角的角平分线所在直线上D. 某一边上的中垂线所在直线上
16. 在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （ ）
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知，设.
（1）若，求函数的单调减区间；
（2）设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，．
（1）求角的大小；
（2）若，，试判定的形状．
19. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案：
①沿线段在水下铺设；
②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元.
（1）求两点间距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
20. 已知平面上不共线的三点，且，是的中点.
（1）若，求余弦值；
（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；
（3）若是内一点，且，求的最小值.
21. 已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数．
（1）设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围；
（3）已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由．