2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期为_____．

【答案】

【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.

【详解】解：由正弦函数的周期公式得，

所以函数的最小正周期为，

故答案为：

2．复数（其中为虚数单位）的虚部为____．

【答案】

【分析】由复数的概念可直接得到虚部.

【详解】由复数的概念可知复数的虚部为.

故答案为: .

3．函数的定义域为___________________

【答案】.

【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域．

【详解】由于正切函数为，

解不等式，得，

因此，函数的定义域为，

故答案为．

【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．

4．已知，则____．

【答案】##0.4

【分析】先通过诱导公式化简，然后弦化切即可得到答案.

【详解】原式．

故答案为：.

5．若为锐角，且，则_____．

【答案】

【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.

【详解】因为为锐角，且，所以，

所以．

故答案为：.

6．方程在上的解集为__．

【答案】

【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合.

【详解】因为，所以，

所以或，所以或，

因为，所以或，

故答案为：．

7．已知向量在向量方向上的投影为，且，则__．(结果用数值表示)

【答案】

【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.

【详解】因为向量在向量方向上的投影为，且，

所以，所以，

则．

故答案为：

8．函数的单调递减区间为_____．

【答案】

【分析】先将函数解析式化简，再利用整体代入法即可求得函数单调递减区间

【详解】，

由，得

又，则

则函数，单调递减区间为．

故答案为：

9．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．

【答案】

【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．

【解析】解三角形.

【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．

10．已知函数，若在区间上具有单调性，且，则_____．

【答案】

【分析】根据条件，运用三角函数的性质逐步推理，求出 和 .

【详解】由于，存在两种情况：（1）周期为 ，

则有， 又，所以 ， ， ，

即 ，又 =T，则在区间上不具有单调性，不符合题意；

（2）为函数的对称轴，则 …①，

因为，所以 …② ，

①-②得 ，所以 ，

因为在区间上具有单调性，所以 ，即 ，所以 ，或6，

若 ，则 ，由①得 ，因为，所以， ，代入①也成立，符合题意；

若 ，由①得 ，不可能满足 ；

所以；

故答案为：.

11．已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是__.

【答案】

【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.

【详解】解：函数

∵在区间内没有零点，

∴，即

∴①或②，

解①得，即，由于，故，即

解②得，即，由于，故，即，

综上可得的取值范围是

故答案为：

12．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.求出 ,利用二次函数即得解.

【详解】解：连接，，设是线段的中点，连接，则有.

设为和的夹角.

则

，

，

（当即时取等）

因为，所以当时，有最小值.

，

（当即时取等）

当时，有最大值为3，

即有最大值3，所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型，再利用二次函数的图象和性质求解.

二、单选题

13．已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】充分性用数量积的几何意义验证，必要性直接证明.

【详解】根据向量乘积的几何意义则表示与在上投影数量的乘积，同理

表示与在上投影数量的乘积，画图为：在的投影都为，但是

所以充分性不成立.

若，则成立,即必要性成立，所以B正确.

故选：B．

14．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点

【答案】D

【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.

【详解】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.

对A，因为，即，A错误；

对B，因为，所以B错误；

对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；

对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.

故选：D.

15．函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数图像平移规则和三角函数诱导公式即可取得的最小值

【详解】函数的图像向左平移个单位长度后为

又因为，

则的最小值为，

故选：．

16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．

【详解】解：∀实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立⇔asinx+1﹣sin2x恒成立，

令f（y），

则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，

∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；

所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．

①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．

由于g′（t）＝10，

所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，

因此，g（t）min＝g（1）＝3，

所以a≤3；

②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；

③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；

综合①②③，﹣3≤a≤3．

故选：D．

【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y），求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．

三、解答题

17．已知，，．

(1)求；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.

（2）用公式，展开即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以，即，

即，又，所以

（2）

18．已知△的角、、所对的边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由正弦定理和三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式、同角的商数关系，可得所求值；

（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，可得所求值．

【详解】解：（1）由正弦定理可得，

所以，

因为，所以，

又，所以；

（2）因为，，

所以，

所以，

则，

所以．

19．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．

(1)求小岛与小岛之间的距离；

(2)记为，为，求的值．

【答案】(1)2

(2)

【分析】(1) 在中，利用余弦定理即可求解；

(2) 在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和的正弦公式即可求解.

【详解】（1）由题意可知：，，

因为角为钝角，，所以，

在中，由余弦定理得，，

所以，解得或（舍），

所以小岛与小岛之间的距离为2．

（2）在中，由正弦定理，因为，

所以，则，

因为，所以为锐角，所以，

因为，

，

所以

．

20．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题.

(1)在直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转到点，求点的坐标；

(2)如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标；

(3)设为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)能，答案见解析

【分析】（1）设，以为终边的角为，则利用两角和的正弦和余弦公式求得和，进而求得点坐标；

（2）先把平移到起点在原点得到，与（1）同理求得即得；

（3）与（1）同理求得点，把点坐标代入直线，分情况讨论求解即可．

【详解】（1）设，

则，

，

所以；

（2）把向量的起点平移到原点O，如图，，

设以为终边的角为，则以为终边的角为，

记，则，

，

所以；

（3）欲求点坐标，只需要求向量坐标.显然

因为向量，

由（2）得

即C点坐标为

，

“点落在直线上”

“”

“”

①当时，点重合，不合题意；

②当时，点能落在直线上，此时需；

③当时，点能落在直线上，此时需；

④当时，点能落在直线上，由，

此时需.

注：情形②可以并入情形④.

综上所述：当时，；当时，