2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合不是集合的子集，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据互为逆否命题的两个命题等价，得到答案.

【详解】原命题：“若，则集合是集合的子集”，真命题；

逆否命题：“若集合不是集合的子集，则”，

根据互为逆否命题的两个命题等价，原命题真，那么逆否命题也是真命题，

故选D

【点睛】本题考查根据互为逆否命题的两个命题是等价的，判断命题的真假，意在考查对命题内容的理解，和掌握情况，属于基础题型.

2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等为，天狼星的星等为，则太阳与天狼星的亮度的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合星等与亮度关系式，由指对互化即可求解.

【详解】设太阳星等为，天狼星星等为，则由可得，即，.

故选：A

3．已知、为正实数，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合基本不等式即得.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

所以，

而当成立时，则必有同时成立，

此时显然成立，

因此由能推出；

当成立时，

，

当且仅当取等号，

而当成立时，则必有成立，

此时不一定成立，

因此由推不出.

故选：A.

4．设，集合.若为单元素集，则（    ）

A．实数既有最大值，也有最小值

B．实数有最大值，无最小值

C．实数无最大值，有最小值

D．实数既无最大值，也无最小值

【答案】B

【分析】由题得或，再对分两种情况讨论，利用零点存在性定理结合条件即得.

【详解】由题可知，

所以或，

令，

当时，因为，，

则为单元素集，

所以；

当时，因为，，

所以，

解得，

所以；

综上，或；

所以，无最小值.

故选：B.

二、填空题

5．已知集合，则__________.

【答案】

【分析】化简集合，再由并集运算即可求解.

【详解】，则.

故答案为：

6．函数的图象的对称中心为__________.

【答案】

【分析】利用分离常数项，整理函数解释式，由反比例函数的性质结合函数的平移变换，可得答案.

【详解】，

由函数的图象向左平移个单位，向上平移个单位可得函数的图象，

由函数的图象的对称中心为，则函数的图象的对称中心为.

故答案为：.

7．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由充分条件结合数轴图建立不等式即可求解.

【详解】因是的充分条件，画出所对应范围，可得

故答案为：

8．设方程的两根为，则__________.

【答案】5

【分析】由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解.

【详解】由得，则.

故答案为：5

9．不等式的解集是_________.

【答案】

【分析】由不等式得，所以，等价于，解之得所求不等式的解集.

【详解】由不等式得，即，所以，此不等式等价于   ，解得或，

所以不等式的解集是：，

故填：.

【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.

10．设全集，集合，若，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】先写出，将代入解不等式即可.

【详解】由得，

因为，所以，即.

故答案为：

11．已知，若幂函数在区间上是严格增函数，且函数图象关于原点中心对称，则的所有可能的值为__________.

【答案】或3

【分析】根据幂函数性质，在上单调递增，，再结合奇函数即可判断.

【详解】根据幂函数性质，因为幂函数在上单调递增，所以,又因为函数图像关于原点对称，所以该幂函数为奇函数,所以的取值为或.

故答案为：或

12．设、，若关于的不等式的解集为，则__________.

【答案】0

【分析】化简不等式，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，列关系式求，即可.

【详解】不等式可化为或，

因为不等式的解集为，所以方程的解为，不等式的解集为，

所以， ，是方程的解，

所以，，所以，所以，

故答案为：0.

13．若正实数、满足，则的最小值为__________.

【答案】4

【分析】根据对数运算性质化简条件，利用基本不等式求的最小值.

【详解】因为，所以，又，故，所以，

因为，，由基本不等式可得，

当且仅当且且时等号成立，即，时等号成立，所以的最小值为4.

故答案为：4

14．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用绝对值的几何意义即可求实数a的取值范围.

【详解】由绝对值的几何意义知：对于任意实数x都有，

又不等式对所有实数x恒成立，所以，所以或或，所以，所以实数的取值范围是

故答案为：.

15．已知正实数、满足，则的最小值为__________.

【答案】##

【分析】采用拼凑法可得，再结合“1”的妙用即可求解.

【详解】，因为，所以，

所以

，

当且仅当，时取到等号.

故答案为：

16．对于任意两个正实数，定义. 其中常数，“”是通常的实数乘法运算，若，与都是集合中的元素，则____.

【答案】

【分析】根据对运算的定义，结合不等式的性质，以及的限制条件，即可求得结果.

【详解】根据对运算的定义，以及与都是集合中的元素

不妨设；

因为，故可得，又因为

故，又因为，故；

即可得，解得，又因为，

即，故可得

则，又因为

故可得.

故答案为：.

【点睛】本题考查不等式的性质，属综合中档题；本题中需要充分利用已知的大小关系，并结合的条件.

三、解答题

17．已知，求解关于的不等式.

【答案】答案见详解

【分析】对参数进行分类讨论，结合一元二次不等式即可求解.

【详解】当时，原不等式为，；

当时，原不等式为，令得，

若，即时，的解为；

若，即时，

当时，的解为；

当时，的解为.

综上所述，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.

18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．

【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.

再由，得，因此.

而建造费用为

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.

解得，（舍去）.

当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．

当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．

19．已知、、均为正实数.

(1)若，求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)34

(2)1

【分析】（1）对等式二次平方即可求解；

（2）对等式同取，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简即可求解.

【详解】（1）因为，所以，即，

再平方得，故；

（2）对同取的底数可得，

即，

，所以.

20．对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”.

(1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由；

(2)证明：不存在“减2集”；

(3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由）

【答案】(1)是 “减0集”，不是“减1集”

(2)证明见解析；

(3)答案见解析.

【分析】（1）根据“减集”定义结合，判断即可；

（2）假设存在“减2集”，若，令，可得中的最小元素为，进而当时，可以得到，，进而可得中至少有一个属于集合，再依次检验即可得矛盾，进而证明结论.

（3）假设，则集合中必然还有其他元素，当时，可以得到，，进而得到为奇数，再分中有最大元素和中无最大元素两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：根据题意，对于结合，，由于，所以，集合是 “减0集”；

对于结合，，由于，所以，集合不是 “减1集”；

所以，集合是 “减0集”，不是“减1集”.

（2）证明：假设存在“减2集”，记为，则，，对任意、，若，则；

所以，令，则对任意，，都有，故，

所以，中的最小元素为，

所以，当时，由于，故，

所以，当时，由于，故，

以此类推，，，

所以，中至少有一个属于集合，

若，则，故；

若，则，故；

所以，与中至少有一个属于集合矛盾，

所以，不存在“减2集”

（3）解：存在“减1集”，

因为，故假设，则集合中除了元素以外，必然还有其他元素，

所以，当时，由于，故，

当时，由于，故，

以此类推，，，

若，，故；

若为偶数，则必存在使得，与矛盾，不成立；

所以，为奇数，

由于都成立，且，

所以，且，

①若中有最大元素，设为，则为奇数，

因为，故，

所以，，即

所以，或

②若中无最大元素，下面证明.

首先，必有，

若存在某个奇数，则只能有；

否则，若存在某个，使得，则必有，则与矛盾；

但是，这样一来，中最大元素，这与中无最大元素矛盾.

所以，，

综上，或或

【点睛】本题第二问解题的关键在于正确理解“减集”的概念，结合反证法，令，可得中的最小元素为，进而得当时，可以得到，，中至少有一个属于集合，再依次检验即可得矛盾，进而证明结论；第三问解题的关键在于利用反证法，当时，得到，，且为奇数，再分中有最大元素和中无最大元素讨论求解.