江苏省南京市中华中学2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、单选题：本大题共8小题，共40分.
1. 已知，，，的夹角为，则（ ）
A 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先由数量积公式求得，又，代入求解即可.
【详解】因为，，，的夹角为，
所以，
解得，
，
故选：C.
2. 已知，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的值，再把变形为，再利用差角的余弦公式展开化简即得的值.
【详解】∵，
∴90°＜＜180°，
∴，
∴
，
故选：D.
【点睛】三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，，把未知的角向已知的角转化，从而完成解题目标.
3. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】设向量与的夹角为，
则，
则在上的投影向量为．
故选：B．
4. 的内角的对边分别为，若，，，则
A. B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理可求的值，进而根据余弦定理可求的值．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴由余弦定理可得：．
故选A．
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的综合应用，注意利用三角形的内角和为来转化，此类问题属于基础题．
5. 如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．
【详解】解：，F为BC的中点，
，
设
，
又，
，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．
6. 在中，若，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】先用余弦定理边化角得，再用正弦定理边化角的，再根据二倍角的正弦公式得，进而可得答案.
【详解】因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，因为，为三角形的内角，
所以或，
所以或，
所以一定是等腰三角形或直角三角形.
故选：D
7. 已知菱形ABCD边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用基向量，表示相关向量，再结合向量加法、减法和数量积运算的结合律、交换律，即得解
【详解】∵
而
∴
故选：A
【点睛】本题考查了向量的线性运算和向量数量积在平面几何中的应用，考查了学生综合分析，数形结合、数学运算能力，属于中档题
8. 已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围.
【详解】由于 ，， ，
且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ，

由于 ，
所以 ，，
故 .
故选：A.
二、多选题：本大题共3小题，共18分.（双选题选对一个得3分，三选题选对一个得2分；选错得0分）
9. 下列各式中，值为的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A中，利用两角和的正弦公式计算即可；B中，先通分，再利用三角恒等变换计算即可；C中，利用二倍角的正切值公式计算即可；D中，利用两角和的正切公式计算即可．
【详解】对于A，
；
对于B，；
对于C，；
对于D，
．
故选：ACD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若点是的重心，则
B. 已知，，若，则
C. 已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则
D. 已知正方形的边长为1，点M满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则重心的性质运算可判断A；由平面向量线性运算的坐标表示、共线的坐标表示可判断B；由平面向量共线的性质及平面向量基本定理可判断C；由平面向量的线性运算、数量积的定义及运算律可判断D.
【详解】对于A，点D是边BC的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可得在中，
若，故A正确；
对于B，因为，，
所以，解得，故B错误；
对于C，若B，C，M三点共线，则存在实数，使得，
所以即，
又，所以，
所以，故C错误；
对于D，正方形中，，由可得，
所以
，
故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.关键要熟练掌握向量的线性运算和数量积运算,准确掌握向量平行的充要条件.
11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为1
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.
【详解】对于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，即.
故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，共15分.
12. 已知向量，，则夹角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值
【详解】，，故
13. ＝________．
【答案】2－##
【解析】
【分析】观察知，，分别结合正弦和余弦的差角公式化简可得，再由化简即可求解.
【详解】原式＝
.
故答案为：2－.
14. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．
【答案】
【解析】
【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值．
由余弦定理可得AC2=13﹣12csD，由△ABC为直角三角形，可求，,
S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.
详解： ，由正弦定理得到
在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为
四边形的面积为
当三角形面积最大时，
故答案为
点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共72分.
15. 平面内给定三个向量，，.
（1）设，求m，n的值；
（2）若，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量，，，由，利用向量相等求解；
（2）根据向量，，，得到和的坐标，由求解；
【小问1详解】
解：因为向量，，，且，
所以，
所以，解得；
【小问2详解】
因向量，，，
所以，，
因为，
所以.
16. 已知函数
（1）求函数在的值域；
（2）若且，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出值域.
（2）由（1）的信息求得，再利用同角公式、差角的余弦公式计算得解.
【小问1详解】
依题意，
，
由，得，则，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
由及（1）知，，则，
由，得，于是，
17. 在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，为边上的一点，，且______，求的面积．
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
①是的平分线；
②为线段的中点．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意，根据三角恒等变换的化简计算可得，即可求解；
（2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理和完全平方公式计算可得，进而求解；
（3）若选①：由三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，则，结合三角形的面积公式计算即可求解；若选②：由平面向量的线性运算与数量积的运算律可得，由余弦定理计算可得，则，结合三角形的面积公式计算即可求解；
【小问1详解】
在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
【小问2详解】
由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周长为．
【小问3详解】
若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求的值．
【答案】（1）2nmile；
（2）18平方海里； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据同角的平方关系求出，结合余弦定理计算即可求解；
（2）易知，则，利用余弦定理计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）方法1：根据正弦定理和同角的平方关系可得，由诱导公式求出，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
方法2：利用余弦定理和同角的平方关系计算求得，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
【小问1详解】
，且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛A与小岛之间的距离为2nmile．
【小问2详解】
四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
【小问3详解】
方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．
方法2
三角形中，；；；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
（3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小问2详解】
由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
【小问3详解】
点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.