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    2023-2024学年江苏省南京市中华中学等校联考高一(下)期中数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年江苏省南京市中华中学等校联考高一(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年江苏省南京市中华中学等校联考高一(下)期中数学试卷(含解析),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知a⋅b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3,则|a−2b|=( )
    A. 1B. 2C. 2D. 4
    2.已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,则csα=( )
    A. 3−4 310B. 3+4 310C. 4−3 310D. 4+3 310
    3.若向量a,b满足a=(−4,3),b=(5,12),则向量b在向量a上的投影向量为( )
    A. (−6465,4865)B. (−6425,4825)C. (6425,−4825)D. (6465,−4865)
    4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是边a,b,c,若a=3 3,c=2,A+C=5π6,则b=( )
    A. 13B. 6C. 7D. 8
    5.如图,在平行四边形ABCD中,DE=12EC,F为BC的中点,G为EF上的一点,且AG=79AB+mAD,则实数m的值为.( )
    A. 23
    B. 13
    C. −13
    D. −23
    6.在△ABC中,若a2b2=a2+c2−b2b2+c2−a2,则△ABC是( )
    A. 等腰三角形B. 直角三角形
    C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
    7.已知菱形ABCD的边长为4,点M是线段CD的中点,BN=2NC,则AN⋅(BM−BN)=( )
    A. −409B. 409C. −209D. 209
    8.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= 3,b2+c2−bc=3,则△ABC面积的取值范围是( )
    A. ( 32,3 34]B. ( 32,3 34)C. ( 34,3 34)D. ( 34,3 34]
    二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列各式中,值为12的有( )
    A. sin7°cs23°+sin83°cs67°B. 1sin50∘+ 3cs50°
    C. tan22.5°1−tan222.5∘D. 1(1+tan22∘)(1+tan23∘)
    10.下列说法正确的是( )
    A. 若点G是△ABC的重心,则AG=13AB+13AC
    B. 已知a=(−1,2),b=(x,x−1),若(b−2a)//a,则x=−1
    C. 已知A,B,C三点不共线,B,C,M三点共线,若AM=xAB+(2x−1)AC,则x=12
    D. 已知正方形ABCD的边长为1,点M满足DM=12MC,则AM⋅AC=43
    11.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c−b=2bcsA,则下列结论正确的有( )
    A. A=2B
    B. 若a= 3b,则△ABC为直角三角形
    C. 若△ABC为锐角三角形,1tanB−1tanA的最小值为1
    D. 若△ABC为锐角三角形,则ca的取值范围为( 22,2 33)
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知向量a=(4,3),2a+b=(3,18),a,b夹角为θ,则csθ= ______.
    13.化简:sin7°+cs15°sin8°cs7∘−sin15∘sin8∘= ______.
    14.已知△ABC的内角∠CAB,∠ABC,∠ACB所对的边为a,b,c,且acs∠ACB+ccs∠BAC=bsin∠ABC,∠BAC=π6,若点D是△ABC外一点,DC=2,DA=3,则当四边形ABCD面积最大时,sinD=______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1):
    (1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
    (2)若(a+kc)/​/(2b−a),求实数k.
    16.(本小题15分)
    已知函数f(x)=sin(2x−π3)+cs(2x−π6)+2cs2x−1.
    (Ⅰ)求函数f(x)在x∈(0,π2)的值域;
    (Ⅱ)若α∈[π4,π2]且f(α)=3 25,求cs2α.
    17.(本小题15分)
    在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且ca=sinA+2sinBcsA2sinA.
    (1)求角B的大小;
    (2)若b=2 2,△ABC的面积为2 3,求△ABC的周长;
    (3)若b=2 3,D为AC边上的一点,BD=3,且_____,求△ABC的面积.
    (从下面①,②两个条件中任选一个,补充在上面的横线上并作答).
    ①BD是∠B的平分线;
    ②D为线段AC的中点.
    18.(本小题17分)
    如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile,与小岛D相距为3 5nmile.∠BAD为钝角,且sinA=35.
    (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积;
    (2)记∠BDC为α,∠CBD为β,求sin(2α+β)的值.
    19.(本小题17分)
    “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cs2B+cs2C−cs2A=1.
    (1)求A;
    (2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA;
    (3)设点P为△ABC的费马点,|PB|+|PC|=t|PA|,求实数t的最小值.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:因为a⋅b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3,
    所以a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=2|b|csπ3=1,
    解得|b|=1,
    所以|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 4−4×1+4×12=2.
    故选:C.
    首先由数量积公式求得|b|=1,又|a−2b|= (a−2b)2,代入求解即可.
    本题考查平面向量得数量积与夹角,属于基础题.
    2.【答案】A
    【解析】解:∵60°<α<150°,∴90°<α+30°<180°,
    ∵sin(30°+α)=35,
    ∴cs(30°+α)=− 1−(35)2=−45,
    则csα=cs[(30°+α)−30°]=cs(30°+α)cs30°+sin(30°+α)sin30°=−45× 32+35×12=3−4 310.
    故选:A.
    由α的范围求出α+30°的范围,根据sin(30°+α)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cs(30°+α)的值,原式角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.
    此题考查了两角和与出的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.
    3.【答案】B
    【解析】解:设向量a与b的夹角为θ,
    则csθ=a⋅b|a||b|=(−4,3)⋅(5,12)5×13=1665,|a|=5,|b|=13,
    则b在a上的投影向量为|b|csθ|a|a=(−6425,4825).
    故选:B.
    由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值,再代入投影向量公式即可求得向量b在向量a上的投影向量.
    本题主要考查投影向量的公式,属于基础题.
    4.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题主要考查了三角形的内角和定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.
    由已知利用三角形的内角和定理可求B的值,进而根据余弦定理可求b的值.
    【解答】
    解:∵A+C=5π6,
    ∴B=π−(A+C)=π6,
    ∵a=3 3,c=2,
    ∴由余弦定理可得:b= a2+c2−2accsB= (3 3)2+22−2×3 3×2× 32= 13.
    故选:A.
    5.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查了向量加法和数乘的几何意义,向量的数乘运算,平面向量基本定理,考查了计算能力,属于较难题.
    可根据条件得出DE=13AB,BF=12AD,并可设AG=λAE+(1−λ)AF,然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出AG=(1−2λ3)AB+(λ2+12)AD,从而根据平面向量基本定理即可得出1−2λ3=79m=λ2+12,解出m即可.
    【解答】
    解:∵DE=12EC,F为BC的中点,∴DE=13AB,BF=12AD,
    又G为EF上的一点,所以可设AG=λAE+(1−λ)AF.
    故AG=λAE+(1−λ)AF=λ(AD+DE)+(1−λ)(AB+BF)
    =λ(AD+13AB)+(1−λ)(AB+12AD)=(1−2λ3)AB+(λ2+12)AD,
    又AG=79AB+mAD,∴1−2λ3=79m=λ2+12,解得m=23.
    故选:A.
    6.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函数公式,属于中档题.
    利用余弦定理表示出csB及csA,变形后代入已知等式的右边,整理后利用正弦定理化简,再利用二倍角的正弦公式化简得到sin2A=sin2B,由A和B都为三角形的内角,可得2A与2B相等或2A与2B互补,进而得到A等于B或A与B互余,可得出三角形为等腰三角形或直角三角形.
    【解答】
    解:∵csB=a2+c2−b22ac,csA=b2+c2−a22bc,
    ∴a2+c2−b2=2ac⋅csB,
    b2+c2−a2=2bc⋅csA,
    ∴a2+c2−b2b2+c2−a2=2ac⋅csB2bc⋅csA=acsBbcsA=a2b2,
    又ab=sinAsinB,
    ∴csBcsA=ab=sinAsinB,
    即sinAcsA=sinBcsB,
    ∴sin2A=sin2B,
    又A和B都为三角形的内角,
    ∴2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,
    则△ABC为等腰三角形或直角三角形.
    故选D.
    7.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查了平面向量的线性、数量积运算,属于中档题.
    用AD,AB为平面向量基底表示AN,NM,再由向量的数量积公式即可求解.
    【解答】
    解:因为菱形ABCD的边长为4,点M是线段CD的中点,BN=2NC,
    所以AN=AB+BN=AB+23AD,BM−BN=NM=CM−CN=−12AB+13AD,
    则AN⋅(BM−BN)=(23AD+AB)⋅(13AD−12AB)
    =2(13AD+12AB)⋅(13AD−12AB)
    =29AD2−12AB2=29×16−12×16=−409.
    故选:A.
    8.【答案】A
    【解析】解:由于a= 3,b2+c2−bc=3,
    则csA=b2+c2−a22bc=12,
    由于A∈(0,π),
    所以A=π3,
    故外接圆的半径为R=12× 3 32=1,
    所以S△ABC=12bcsinA= 34⋅2sinB⋅2sin(2π3−B)= 34⋅4sinB⋅( 32csB+12sinB)
    = 34(2sin2B+2 3sinBcsB)
    = 34(1−cs2B+ 3sin2B)
    = 32sin(2B−π6)+ 34,
    由于0由于△ABC为锐角三角形,
    所以π6所以π6<2B−π6≤5π6,
    故 32< 32sin(2B−π6)+ 34≤3 34,即 32故选:A.
    直接利用三角函数关系式的恒等变换,正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.
    本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
    9.【答案】ACD
    【解析】【分析】
    本题考查了三角函数化简求值问题,是中档题.
    A中,先用诱导公式,再利用两角和的正弦公式计算即可;
    B中,先通分,再利用三角恒等变换计算即可;
    C中,利用二倍角的正切值公式计算即可;
    D中,利用两角和的正切公式计算即可.
    【解答】
    解:对于A,sin7°cs23°+sin83°cs67°=sin7°cs23°+cs7°sin23°=sin(7°+23°)=sin30°=12;
    对于B,1sin50∘+ 3cs50°=cs50°+ 3sin50°sin50°cs50°=2sin(30°+50°)12sin(2×50∘)=2sin80°12sin80∘=4;
    对于C,tan22.5°1−tan222.5∘=12tan(2×22.5°)=12;
    对于D,tan22∘+tan23∘=tan(22∘+23∘)(1−tan22∘⋅tan23∘)=1−tan22∘⋅tan23∘
    1(1+tan22∘)(1+tan23∘)
    =11+tan22∘+tan23∘+tan22∘⋅tan23∘
    =11+1−tan22∘⋅tan23∘+tan22∘⋅tan23∘
    =12.
    故选:ACD.
    10.【答案】AD
    【解析】解:对于A,设D为BC中点,若点G是△ABC的重心,则AG=23AD=23×12(AB+AC),∴AG=13AB+13AC,故正确;
    对于B,因为a=(−1,2),b=(x,x−1),则b−2a=(x+2,x−5),
    又(b−2a)//a,则有2(x+2)=−(x−5),则x=13,故错;
    对于C,已知A,B,C三点不共线,B,C,M三点共线,若AM=xAB+(2x−1)AC,可得x+2x−1=1则x=23,故错;
    对于D,因为DM=12MC,则AM⋅AC=(13AB+AD)⋅(AB+AD)=13AB2+AD2=43,故正确.
    故选:AD.
    A,设D为BC中点,即可得AG=23AD=23×12(AB+AC),即可判定;
    B,利用向量共线的坐标运算求解;
    C,利用x+2x−1=1,求解即可;
    D,利用AM⋅AC=(13AB+AD)⋅(AB+AD)=13AB2+AD2=43,即可判定.
    本题考查了向量的性质、数量积运算,考查了运算能力,属于中档题.
    11.【答案】ABD
    【解析】解:选项A中,因为c−b=2bcsA,由正弦定理可得sinC=sinB(2csA+1),
    在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB,
    可得sin(A−B)=sinB,所以A−B=B或A−B+B=π(舍去),
    即A=2B,故A正确;
    选项B中,a= 3b,可得sinA= 3sinB,由A选项可得sin2B= 3sinB,
    则2sinBcsB= 3sinB,在△ABC中,sinB>0,
    可得csB= 32,则B=π6,A=π3,所以C=π2,即△ABC为直角三角形,故B正确;
    选项C中,因为△ABC为锐角三角形,由A选项可得A=2B,
    所以0所以1tanB−1tanA=1tanB−1−tan2B2tanB=12tanB+tanB2,
    设s=tanB∈( 33,1),又g(s)=12s+s2在( 33,1)单调递减,
    所以g(s)>g(1)=1,故C错误;
    选项D中,△ABC为锐角三角形,
    ca=sinCsinA=sin(π−A−B)sinA=sin3Bsin2B=sin2BcsB+cs2BsinBsin2B=csB+sinB(2cs2B−1)2sinBcsB=2csB−12csB,
    因为△ABC为锐角三角形,所以0所以csB∈( 22, 32),设t=csB,即t∈( 22, 32),
    令f(t)=2t−12t,t∈( 22, 32),
    则函数f(t)单调递增,f( 22)而f( 22)= 2−1 2= 22,f( 32)= 3−1 3=2 33,
    所以f(t)∈( 22,2 33),即ca∈( 22,2 33),故D正确.
    故选:ABD.
    由题意及正弦定理可得A=2B,在三角形中,由内角之间的关系,分别对所给命题的真假进行判断.
    本题考查正弦定理的应用和三角函数的性质的应用,函数单调性的应用,属中档题.
    12.【答案】1665
    【解析】解:因为向量a=(4,3),2a+b=(3,18),
    所以b=(3,18)−2(4,3)=(−5,12),
    所以a⋅b=4×(−5)+3×12=16,|a|=5,|b|=13,
    所以csθ=a⋅b|a||b|=165×13=1665.
    故答案为:1665.
    结合条件得到a⋅b,|a|,|b|,再计算夹角的余弦值即可.
    本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题,是基础题.
    13.【答案】2− 3
    【解析】解:sin7°+cs15°sin8°cs7∘−sin15∘sin8∘=sin(15°−8°)+cs15°sin8°cs(15∘−8∘)−sin15∘sin8∘=sin15°cs8°cs15∘cs8∘=tan15°
    =tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45∘tan30∘=1− 331+ 33=2− 3,
    故答案为:2− 3.
    由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子,可得结果.
    本题主要考查两角和差的三角公式的应用,属于基础题.
    14.【答案】2 77
    【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于难题.
    由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式将acs∠ACB+ccs∠BAC=bsin∠ABC,化简为sinB=sin2B,结合B的范围可求得B=π2,设BC=x,x>0,可求AC=BCsinA=2x,AB=BCtanA= 3x,S△ABC= 32x2,在△ADC中,由余弦定理可得x2=134−3csD,利用三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用可求S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=3 72sin(D−θ)+13 38,由sin(D−θ)=1,D∈(0,π),θ∈(0,π2),进而根据同角三角函数基本关系式可求sinD的值.
    【解答】解:由acs∠ACB+ccs∠BAC=bsin∠ABC以及正弦定理可知,sin∠BACcs∠ACB+sin∠ACBcs∠BAC=sin2B,
    即sin(∠BAC+∠ACB)=sinB=sin2B.
    由于:0可得:sinB=1,B=π2.
    △ABC中,由于∠CAB=π6,设BC=x,x>0,
    则AC=BCsinA=2x,AB=BCtanA= 3x,则S△ABC=12AB⋅BC= 32x2,
    在△ADC中,由余弦定理可得:AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csD,
    由于AD=3,DC=2,则:AC2=4x2=13−12csD,可得:x2=134−3csD,
    则S△ABC=12AB⋅BC
    = 32x2=13 38−3 32csD,
    而 S△ACD=12AD⋅CD⋅sinD=3sinD,
    则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=3sinD−3 32csD+13 38=3 72(2 77sinD− 217csD)+13 38=3 72sin(D−θ)+13 38,其中sinθ= 217,csθ=2 77,θ∈(0,π2),
    则当sin(D−θ)=1时,四边形ABCD的面积有最大值3 72+13 38,
    由于D∈(0,π),θ∈(0,π2),
    则此时D−θ=π2,故D=π2+θ,
    则sinD=sin(π2+θ)=csθ=2 77.
    故四边形ABCD面积最大时,sinD=2 77.
    故答案为2 77.
    15.【答案】解:(1)由题意得,mb+nc=m(−1,2)+n(4,1)=(−m+4n,2m+n),
    ∵a=mb+nc,∴(3,2)=(−m+4n,2m+n),
    即3=−m+4n2=2m+n,解得m=59,n=89,
    (2)由题意得,a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k),
    2b−a=2(−1,2)−(3,2)=(−5,2),
    ∵(a+kc)//(2b−a),
    ∴2(3+4k)+5(2+k)=0,解得k=−1613.
    【解析】(1)由题意和向量的坐标运算求出mb+nc的坐标,再由向量相等的条件列出方程组,求出m和n的值;
    (2)由题意和向量的坐标运算求出a+kc和2b−a的坐标,再由向量共线的条件列出方程.求出k的值.
    本题考查了向量的坐标运算,向量相等的条件,以及向量共线的条件,属于基础题.
    16.【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=12sin2x− 32cs2x+ 32cs2x+12sin2x+cs2x=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4),
    ∵x∈(0,π2),
    ∴2x+π4∈(π4,5π4),
    ∴ 2sin(2x+π4)∈(−1, 2],
    ∴.函数f(x)的值域为(−1, 2];
    (Ⅱ)∵f(α)=3 25,
    ∴ 2sin(2α+π4)=3 25,∴sin(2α+π4)=35,
    ∵α∈[π4,π2],∴3π4≤2α+π4≤5π4,
    ∴cs(2α+π4)=−45,
    ∴cs2α=cs[(2α+π4)−π4]
    =cs(2α+π4)csπ4+sin(2α+π4)sinπ4
    =−45× 22+35× 22=− 210.
    【解析】(Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f(x)= 2sin(x+π4),然后根据x的范围可求出f(x)的值域;
    (Ⅱ)由f(α)=3 25,可得sin(2α+π4)=35,由a∈[π4,π2],可得3π4≤2α+π4≤5π4,可求cs(2α+π4),利用两角差的余弦函数公式即可求得cs2α=cs[(2α+π4)−π4]的值.
    本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,两角差的余弦函数公式,周期公式,特殊角的三角函数值等知识的应用,属于基本知识的考查.
    17.【答案】解:(1)在△ABC中,ca=sinA+2sinBcsA2sinA,
    结合正弦定理可得;sinCsinA=sinA+2sinBcsA2sinA,
    由A∈(0,π),可得sinA>0,
    则有2sinC=sinA+2sinBcsA,
    即2sin(A+B)=sin A+2sin BcsA,
    化简得2sinAcsB=sinA,即csB=12,
    又B∈(0,π),所以B=π3;
    (2)由S△ABC=12acsinB=2 3,得ac=8,
    由余弦定理,得csB=a2+c2−b22ac=12,即a2+c2−8=ac,
    即(a+c)2=3ac+8=32,解得a+c=4 2,
    所以△ABC的周长为a+b+c=2 2+4 2=6 2;
    (3)若选①:由BD平分∠ABC,得S△ABC=S△ABD+S△BCD,
    可得12acsinπ3=12×3asinπ6+12×3csinπ6,即ac= 3(a+c),③
    在△ABC中,由余弦定理,得b2=a2+c2−2accsπ3,则a2+c2−ac=12,④
    联立③④,可得(ac)2−9ac=36,解得ac=12,
    故S△ABC=12acsinB=12×12× 32=3 3;
    若选②:由题设BD=12(BA+BC),
    则BD2=14(BA+BC)2=14(BA2+2BA⋅BC+BC2),
    所以a2+c2+ac=36,⑤
    在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2−2accsπ3,则a2+c2−ac=12,⑥
    联立⑤⑥,可得ac=12,
    故S△ABC=12acsinB=12×12× 32=3 3.
    【解析】(1)由正弦定理,结合三角公式,可求得csB=12,即可求得角B;
    (2)由三角形面积解得ac=8,结合余弦定理,求得a+c的值,进而求得周长;
    (3)①由BD平分∠ABC,得S△ABC=S△ABD+S△BCD,由三角形面积公式得ac= 3(a+c),再由余弦定理得a2+c2−ac=12,联立解得ac,进而求得三角形面积;
    ②由题设可得BD=12(BA+BC),平方可得a2+c2+ac=36,再由余弦定理得a2+c2−ac=12,联立解得ac,进而求得三角形面积.
    本题考查正弦定理及余弦定理的应用,考查三角形面积公式及向量运算,属中档题.
    18.【答案】解:(1)∵sinA=35,且A为钝角,∴csA=− 1−(35)2=−45,
    在△ABD中,由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅csA,
    ∴(3 5)2=AD2+52−2AD⋅5⋅(−45),即AD2+8AD−20=0,
    解得:AD=2或AD=−10(舍去).
    ∴小岛A与小岛D之间的距离为2 nmile.
    ∵A、B、C、D四点共圆,∴A与C互补,则sinC=35,
    csC=cs(180°−A)=−csA=45.
    在△BDC中,由余弦定理得:CD2+CB2−2CD⋅CB⋅csC=BD2,
    ∴CD2+52−2CD⋅5⋅45=(3 5)2,得CD2−8CD−20=0,
    解得CD=−2(舍去)或CD=10.
    ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD⋅sinA+12CB⋅CD⋅sinC
    =12×5×2×35+12×5×10×35=3+15=18(平方nmile);
    (2)在△BDC中,由正弦定理得:BCsinα=BDsinC,
    即5sinα=3 535,解得sinα= 55.
    ∵DC2+DB2>BC2,∴α为锐角,则csα=2 55,
    又∵sin(α+β)=sin(180°−C)=sinC=35,
    cs(α+β)=cs(180°−C)=−csC=−45,
    ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcs(α+β)+csαsin(α+β)
    = 55×(−45)+2 55×35=2 525.
    【解析】本题考查三角形的解法,考查正弦定理及余弦定理的应用,考查两角和的正弦,考查运算求解能力,是中档题.
    (1)由sinA求得csA,在△ABD中,由余弦定理列式求得AD;再由A、B、C、D四点共圆求解sinC与csC,在△BDC中,由余弦定理解得CD,再求△ABD、△BCD的面积,可得四个小岛所形成的四边形的面积;
    (2)在△BDC中,由正弦定理得sinα,求出csα,再求出sin(α+β)与cs(α+β),然后利用sin(2α+β)=sin[α+(α+β)],展开两角和的正弦求解.
    19.【答案】解:(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1,即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1,
    故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,
    故△ABC直角三角形,
    即A=π2;
    (2)由(1)可得A=π2,所以三角形ABC的三个角都小于120°,
    则由费马点定义可知:∠APB=∠BPC=∠APC=120°,
    设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z,
    由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC,得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2,
    整理得xy+yz+xz=4 33,
    则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33;
    (3)点P为△ABC的费马点,则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3,
    设|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x,m>0,n>0,x>0,
    则由|PB|+|PC|=t|PA|,得m+n=t;
    由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2,
    |AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2,
    |BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2,
    故由|AC|2+|AB|2=|BC|2,得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2,
    即m+n+2=mn,而m>0,n>0,故m+n+2=mn≤(m+n2)2,
    当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+ 3时,等号成立,
    又m+n=t,即有t2−4t−8≥0,解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去).
    故实数t的最小值为2+2 3.
    【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2,即可求得答案;
    (2)利用等面积法列方程,结合向量数量积运算求得正确答案;
    (3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3,设|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x,推出m+n=t,利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn,再结合基本不等式,即可求得答案.
    本题考查正弦定理及余弦定理的应用,利用基本不等式的应用,属于中档题.
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