2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习14（含答案）

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定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(eq \f(1,3)，eq \f(1,3))是函数y＝x图象的“eq \f(1,2)阶方点”；点(2，1)是函数y＝eq \f(2,x)图象的“2阶方点”．
(1)在①(﹣2，﹣eq \f(1,2))；②(﹣1，﹣1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y＝eq \f(1,x)图象的“1阶方点”的有 (填序号)；
(2)若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y＝﹣(x﹣n)2﹣2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移eq \f(\r(5),2)个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)点E为抛物线y＝﹣x2＋bx＋c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．
如图，已知抛物线y=﹣eq \f(4,3)x2＋bx＋c经过A(0，4)，B(3，0)两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．
①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？
(3)若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标.
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为(﹣1，﹣4)，且与x轴交于点A，点B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．
(1)填空：b= ，c= ，直线AC的解析式为 ；
(2)直线x=t与x轴相交于点H．
①当t=﹣3时得到直线AN(如图1)，点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；
②当﹣3＜t＜﹣1时(如图2)，直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为eq \f(3,5)，求此时t的值．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(﹣1，0)，B(3，0)，且与y轴交于点C(0，﹣3)．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点 B(﹣1，0)，C(2，3)，抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；(先根据题目画图，再计算)
(3)在(2)的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；
(4)在(2)的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由.
\s 0 答案
解：(1)①(﹣2，﹣eq \f(1,2))到两坐标轴的距离分别是2＞1，eq \f(1,2)＜1，
∴(﹣2，﹣eq \f(1,2))不是反比例函数y＝eq \f(1,x)图象的“1阶方点”；
②(﹣1，﹣1)到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴(﹣1，﹣1)是反比例函数y＝eq \f(1,x)图象的“1阶方点”；
③(1，1)到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴(1，1)是反比例函数y＝eq \f(1,x)图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
(2)∵y＝ax﹣3a＋1＝a(x﹣3)＋1，
∴函数经过定点(3，1)，
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C(2，﹣2)，D(2，2)，
∵一次函数y＝ax﹣3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
(3)在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣(x﹣n)2﹣2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A(n，n)，B(n，﹣n)，C(﹣n，﹣n)，D(﹣n，n)，
当抛物线经过点D时，n＝﹣1(舍)或n＝eq \f(1,4)；当抛物线经过点B时，n＝1；
∴eq \f(1,4)≤n≤1时，二次函数y＝﹣(x﹣n)2﹣2n＋1图象有“n阶方点”；
综上所述：eq \f(1,4)≤n≤1时，二次函数y＝﹣(x﹣n)2﹣2n＋1图象的“n阶方点”一定存在．
解：(1)令x＝0，则y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2＝2，解得点C坐标为(0，2)，
令y＝0，即0＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2，解得：x＝4或﹣1，
∴点B坐标为(4，0)．
(2)设直线BC解析式为y＝kx＋b，代入点B、点C坐标，得：
，解得：．
∴直线BC解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋2．
设P坐标为(m，﹣eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2)，则E坐标为(m，﹣eq \f(1,2)m＋2)，其中0≤m≤4．
设点F横坐标为xF，纵坐标yF＝﹣eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2，
令﹣eq \f(1,2)xF＋2＝﹣eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2，解得：xF＝m2﹣3m．
∴PE＝﹣eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2﹣(﹣eq \f(1,2)m＋2)＝﹣eq \f(1,2)m2＋2m，PF＝m﹣(m2﹣3m)＝﹣m2＋4m．
∴EF＝＝﹣eq \f(\r(5),2)(m-2)2+2eq \r(5)．
∵﹣eq \f(\r(5),2)