2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习06（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习06（含答案），共12页。
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，﹣3a)，对称轴是直线x＝1，顶点是M．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设直线y＝﹣x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B，D重合)，经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．
抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，C(0，﹣3)．
(1)求抛物线的详解式；
(2)如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M(m，0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx＋2(k＞0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．
如图，已知直线y＝eq \f(4,3)x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2＋2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2＋2ax＋c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(﹣3，0)、B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为G、H(0，﹣1)．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．
(1)求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
(2)求⊙M的半径和圆心M的坐标；
(3)如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝ax2＋c(a≠0)经过点P(3，0)、Q(1，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
已知抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2和直线l2：y＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(2,3)均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B(3，0)．
(1)求a，b的值；
(2)将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；
(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方(点P不与点A，D重合)，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM＋PN，求W的最大值．
平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2＋bx＋c经过(﹣1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y=x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设(a，y1)、(a＋2，y2)是抛物线y=x2＋bx＋c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线经过点(2，﹣3a)，
∴4a＋2b﹣3＝﹣3a①，
又因为抛物线对称为x＝1，
∴②，
联立①②，解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)如图1，∵y＝(x﹣1)2﹣4，
∴M(1，﹣4)，
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
设直线MC为y＝kx﹣3，
代入点M得k＝﹣1，
∴直线MC为y＝﹣x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴N(﹣3，0)，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
过C作CP∥AN，使CP＝AN，
则四边形ANCP为平行四边形，
∴CP＝AN＝﹣1﹣(﹣3)＝2，
∴P(2，﹣3)，
∵P的坐标满足抛物线解析式，
∴P(2，﹣3)在抛物线上，
即P(2，﹣3)；
(3)如图2，令x＝0，则y＝﹣x＋3＝3，
∴D(0，3)，
∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，
∴∠DBO＝45°，
同理，∠ABC＝45°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠AEF＝∠ABC＝45°，
∠AFE＝∠DBO＝45°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A、C，
把点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)代入，
得：，解得，
∴抛物线的详解式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)如图，作CH⊥EF于H，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标E(1，﹣4)，
设N的坐标为(1，n)，﹣4≤n≤0
∵∠MNC＝90°，
∴∠CNH＋∠MNF＝90°，
又∵∠CNH＋∠NCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MNF，
又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，
∴Rt△NCH∽△MNF，
∴，即
解得：m＝n2＋3n＋1＝，
∴当n=﹣eq \f(3,2)时，m最小值为﹣eq \f(5,4)；
当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12＋1＝5．
∴m的取值范围是﹣eq \f(5,4)≤m≤5．
(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，
∴H(﹣x1，y1)，
∵y＝kx＋2，y＝x2，
消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，
x1＋x2＝k，x1x2＝﹣2，
设直线HQ表达式为y＝ax＋t，
将点Q(x2，y2)，H(﹣x1，y1)代入，
得，
∴y2﹣y1＝a(x1＋x2)，即k(x2﹣x1)＝ka，
∴a＝x2﹣x1，
∵x22＝( x2﹣x1)x2＋t，
∴t＝﹣2，
∴直线HQ表达式为y＝( x2﹣x1)x﹣2，
∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为(0，﹣2)．
解：(1)当x＝0时，y＝4，
∴C (0，4)，
当y＝0时，eq \f(4,3)x＋4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A (﹣3，0)，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B(1，0)，
∴设抛物线的表达式：y＝a(x﹣1)(x＋3)，
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣eq \f(4,3)，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣eq \f(4,3)(x﹣1)(x＋3)＝﹣eq \f(4,3)x2﹣eq \f(8,3)x＋4；
(2)如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D(m，﹣eq \f(4,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋4)，E(m，eq \f(4,3)m＋4)，
∴DE＝﹣eq \f(4,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋4﹣(eq \f(4,3)m＋4)＝﹣eq \f(4,3)m2﹣4m，
∴S△ADC＝eq \f(1,2)DE•OA＝eq \f(3,2)(﹣eq \f(4,3)m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m＋8＝﹣2(m＋eq \f(3,2))2＋12.5，
∴当m＝﹣eq \f(3,2)时，S最大＝12.5，
当m＝﹣eq \f(3,2)时，y＝5，∴D(﹣eq \f(3,2)，5)；
(3)设P(﹣1，n)，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，
∴(﹣1＋3)2＋n2＝1＋(n﹣4)2，
∴n＝，∴P(﹣1，)，
∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC
∴xQ＝﹣3﹣(﹣1)＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q(﹣2，)．
解：(1)将A(﹣3，0)、H(0，﹣1)代入y＝ax2＋2ax＋c中，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,3)x2＋eq \f(2,3)x﹣1，
在y＝x2＋2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G(0，﹣3)；
(2)设M(t，t2＋2t﹣3)，则D(t，eq \f(1,3)t2＋eq \f(2,3)t﹣1)，N(t，0)，
∴NM＝﹣t2﹣2t＋3，DM＝eq \f(1,3)t2＋eq \f(2,3)t﹣1﹣(t2＋2t﹣3)＝﹣eq \f(2,3)t2﹣eq \f(4,3)t＋2，
∴＝＝；
(3)存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由(1)可得y＝x2＋2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E(﹣2，﹣1)，设F(x，0)，
①当EG＝EF时，
∵G(0，﹣3)，
∴EG＝2eq \r(2)，
∴2eq \r(2)＝，解得x＝eq \r(7)﹣2或x＝﹣eq \r(7)﹣2，
∴F(eq \r(7)﹣2，0)或(﹣eq \r(7)﹣2，0)；
②当EG＝FG时，2eq \r(2)＝，
此时x无实数根；
综上所述：F点坐标为(eq \r(7)﹣2，0)或(﹣eq \r(7)﹣2，0)．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D的坐标为(1，4)，
∴，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，
令y＝0，则﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)；
(2)如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M(1，m)，
∵MB＝MC，
∴＝，解得m＝1，
∴M(1，1)，
∴MB＝eq \r(5)，
∴⊙M的半径为eq \r(5)，圆心M的坐标为(1，1)；
(3)由(1)知，AB＝3﹣(﹣1)＝4，OC＝3，BC＝3eq \r(2)，
设直线BC：y＝kx＋3，
将B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x＋3，
设Q(t，﹣t＋3)，则BQ＝eq \r(2)(t﹣3)，
∵P(7，0)，
∴BP＝4，
∵B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似，∠ABC＝∠PBQ，
∴＝或，
①当＝时，∴，∴BQ2＝3eq \r(2)，∴t﹣3＝3，解得t＝6；
①当时，∴，∴BQ1＝，∴t﹣3＝，解得t＝，
∴点Q的坐标为(6，﹣3)或(，﹣)．
解：(1)P(3，0)、Q(1，4)代入y＝ax2＋c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(9,2)；
(2)①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q(1，4)重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝eq \f(1,2)AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(9,2)的对称轴是y轴(x＝0)，
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx＋b，将P(3，0)、Q(1，4)代入得：
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x＋6，
设A(m，﹣2m＋6)，则AB＝|﹣2m＋6|，
∴CH＝AH＝BH＝eq \f(1,2)AB＝|﹣m＋3|，
当﹣m＋3≥0，yC＝﹣m＋3时，xC＝﹣(﹣m＋3﹣m)＝2m﹣3，
将C(2m﹣3，﹣m＋3)代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(9,2)得：
﹣m＋3＝﹣eq \f(1,2)(2m﹣3)2＋eq \f(9,2)，解得m＝eq \f(1,2)或m＝3(与P重合，舍去)，
∴m＝eq \f(1,2)，2m﹣3＝﹣2，﹣m＋3＝eq \f(5,2)，
∴C(﹣2，eq \f(5,2))
当﹣m＋3＜0，yC＝﹣m＋3时，xC＝m﹣(m﹣3)＝3，
C(3，﹣m＋3)，由P(3，0)可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C(﹣2，eq \f(5,2))
解：(1)∵直线l2：y＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(2,3)与x轴交于点A，
∴A(﹣1，0)，
将点A(﹣1，0)、点B(3，0)代入抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2，得：
，解得：，
∴a＝eq \f(2,3)，b＝﹣eq \f(4,3)；
(2)∵a＝eq \f(2,3)，b＝﹣eq \f(4,3)，
∴y＝eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2＝eq \f(2,3)(x﹣1)2﹣eq \f(8,3)，
∴抛物线l1的顶点C(1，﹣eq \f(8,3))，
将y＝﹣eq \f(8,3)代入直线l2：y＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(2,3)得，﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(2,3)＝﹣eq \f(8,3)，解得x＝3，
∴抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，移动后顶点的横坐标为3，
∴h＝3﹣1＝2，即h的值为2；
(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，
∵eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(2,3)的解为x＝﹣1或x＝2，
∴D(2，﹣2)，
设P(m，eq \f(2,3)m2﹣eq \f(4,3)m﹣2)(﹣1＜m＜2)，
则N(m，﹣eq \f(2,3)m﹣eq \f(2,3))，M(﹣m2＋2m＋2，eq \f(2,3)m2﹣eq \f(4,3)m﹣2)，
∴PM＝﹣m2＋2m＋2﹣m＝﹣m2＋m＋2，
PN＝﹣eq \f(2,3)m﹣eq \f(2,3)﹣eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m＋2＝﹣eq \f(2,3)m2＋eq \f(2,3)m＋eq \f(4,3)，
∴W＝PM＋PN＝﹣m2＋m＋2﹣eq \f(2,3)m2＋eq \f(2,3)m＋eq \f(4,3)＝﹣eq \f(5,3)m2＋eq \f(5,3)m＋eq \f(10,3)＝﹣eq \f(5,3)(m﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(15,4)，
∵﹣eq \f(5,3)＜0，∴W的最大值为eq \f(15,4)．
解：(1)把(﹣1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)分别代入y=x2＋bx＋c，
得1﹣b＋c=m2＋2m＋1，c=m2＋2m＋2，
把②代入①中得b=2， c=m2＋2m＋2；
(2)由(1)得，y=x2＋2x＋m2＋2m＋2.
由题意得，Δ=22﹣4(m2＋2m＋2)≥0，
∴(m＋1)2≤0，
又∵(m＋1)2≥0，
∴(m＋1)2=0，
∴m=﹣1，
∴当抛物线y=x2＋bx＋c与x轴有公共点时，m=﹣1；
(3)当a＜﹣2时，y2﹣y1＜0；
当a=﹣2时，y2﹣y1=0；
当a＞﹣2时，y2﹣y1＞0.理由如下：
由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2 ，
∵(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，
∴y1=a2＋2a＋m2＋2m＋2，y2=(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2，
∴y2﹣y1=(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2﹣(a2＋2a＋m2＋2m＋2)
=(a＋2)2﹣a2＋2(a＋2)﹣2a=4(a＋2)，
∴当a0