浙江省浙东北（ZDB）联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省浙东北（ZDB）联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题学校：元济高级中学 命题老师：魏侹路 审卷老师：李慧华
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知平行四边形中，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数是纯虚数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．在中，角所对的边分别是，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角．我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为．那么（ ）
A．B．C．D．
7．设是同一个半径为5的球的球面上四点，是斜边为8的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．64C．D．128
8．某人的正北方有一座高塔，此时测得塔顶的仰角为．随后此人沿北偏东的方向前进20米，再测得塔顶的仰角为．那么，此人在行进过程中距离塔顶的最近距离为（ ）（人的身高忽略不计）
A．B．C．20D．
二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．在复平面内与对应的点在第一象限D．
10．在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（ ）
A．1B．C．D．
11．已知点为边长为2的正方形边上一动点，则可能的取值是（ ）
A．0B．4C．8D．12
12．如图，已知三棱锥满足在底面的投影为的内心，是棱上的点（不含端点）．记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列关系一定正确的是（ ）
（第12题图）
A．B．C．D．
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．一个菱形的边长为4，一内角为，若用斜二测画法画出其直观图，则该直观图的面积为______．
14．设复数，则______．
15．在凸四边形中，已知，则的长为______．
16．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分）
17．（本题满分10分）已知向量．
（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．
18．（本题满分12分）如图，为正方体的棱的中点．
（第18题图）
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值．
19．（本题满分12分）在①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
在中，角所对的边分别是，且______．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值．
20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，，
．
（第20题图）
（1）若点为中点，求证：平面；
（2）若二面角的平面角为，求点到平面的距离．
21．（本题满分12分）丰义村位于海盐县通元镇，在村民的共同努力下近年来先后获得“浙江省新时代美丽乡村精品村”和“全国乡村治理示范村”称号，完成了从传统自然村落到网红景区村的华丽变身．目前村里有一块三角形区域待开发使用，其中（单位：百米）．现规划于该区域中建造一座观景亭，始终满足．
（第21题图）
（1）求区域的最大面积；
（2）当时，求的值；
（3）若打算从观景亭出发铺设三条垂直到达区域边界的景观道，其中到达边界的景观道造价为1百元/米，到达边界的景观道造价为百元/米．目前村委会筹集到2万元项目资金，问：这部分资金能否保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工？
22．（本题满分12分）如图，在三棱台中，．
（第22题图）
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．（注：，其中是高，分别是上下底面面积．）
浙东北联盟（ZDB）2022－2023学年第二学期期中考试
高一数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
A B A D A B C D
二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
BCD AD ABC BCD
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
四、解答题（本题共6个小题，共70分）
17．（本题满分10分）
解：（1），故由解得．
（2）由得，解得．
18．（本题满分12分）
证：（1）连接与交于点，连接．
显然为的中点，所以．
又因为平面平面，所以平面．
（2）由（1）可知即为直线与所成角，
在中容易解得．
19．（本题满分12分）
解：（1）选①；
选②；
选③．
（2）由可得．
根据余弦定理有，因此的最小值为2．
20．（本题满分12分）
解：（1）证明：取中点，连接．
根据已知长度易证得．
因为，所以，故平面．
（2）因为，故即为二面角的平面角．
取中点，连接，易证平面．
计算可知，故．
在中易得，又，则
记到平面的距离为，由
可求得．
21．（本题满分12分）
解：（1）记，则（百米）．
（2）此时，
在中，．
（3）易得，
记造价为万元，则
，（时取到最大值）
故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工．
22．（本题满分12分）
解：（1）证明：根据已知条件容易求得．
取中点，连接，则，故平面．
由三棱台的性质可知，所以．
（2）由三棱台的性质可知，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角．
由平面可知平面平面，作，连接，则即为直线与平面所成角．
在中，，余弦定理可得，
故，
，故直线与平面所成角的正弦值为．
（3）取中点，连接，则易证面面，故面时，到平面距离最大．
可以算得，
故．