2020-2021学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高一下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高一下学期期中

数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据复数代数形式的乘法法则计算可得；

【详解】解：

故选：C

【点睛】本题考查复数代数形式的乘法法则，属于基础题.

2．如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先在中求出，则利用原图与直观图之间的关系可求得，，再求出上的高可求得其面积

【详解】解：因为，，

所以，，

所以，

所以上的高，

所以的面积为，

故选：B

3．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的半径圆锥的母线长，半圆的弧长是圆锥底面的周长，由此求出结果．

【详解】解：圆锥的侧面展开图是个半圆，且半圆的半径是母线长，

半圆的弧长是，

由圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形弧长，

且圆锥的底面半径是，

所以，

所以该圆锥的母线长为．

故选：．

4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的投影定义，结合向量的数量积，转化求解的投影和投影向量．

【详解】解：向量，，

则向量在向量上的投影为；

所以向量在向量上的投影向量为．

故选：．

5．已知在中，分别为内角的对边，若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求．

【详解】解：因为，

由正弦定理得，，

由余弦定理得，，

因为，

所以．

故选：．

6．已知复数的共轭复数是，满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数代数形式的乘除法则化简复数，即可得到其共轭复数，再根据虚部的定义即可得出．

【详解】解：为虚数单位），

，

化为：，

，，

则的虚部为，

故选：．

7．在平行四边形中，点在线段上，且，与的交点为，则向量等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得，又，则可得，然后利用三角形法则即可求解．

【详解】解：如图所示，

因为，则，

在平行四边形中，，

所以，所以

所以，

故选：．

8．如图，在四边形中，，，，分别为边上的动点，且，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设的中点为，连接，可得，连接，，由已知求得，再由及，即可求得的最小值．

【详解】解：设的中点为，连接，，即，

可得的轨迹是以为圆心，以1为半径的一段圆弧，

连接，，

则，

．

，

，

，

即的最小值为24．

故选：．

二、多选题

9．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（    ）

A．点位于第二象限 B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】解：如图，

由题意，，，，

为平行四边形，则，

，点位于虚轴上，故错误；

，故正确；

，故正确；

，故错误．

故选：．

10．已知向量，，则下列叙述不正确的是（    ）

A．若与的夹角为锐角，则 B．若与共线，则

C．若，则与垂直 D．若，则与的夹角为钝角

【答案】BD

【分析】对A：利用平面向量的数量积的定义及坐标运算即可求解，注意排除同向的情况；对B：结合平面向量共线的坐标运算即可求解；对C：结合平面向量垂直的坐标运算即可求解；对D：举出反例即可说明.

【详解】对A：因为与的夹角为锐角，所以且与不同向，所以，则，故A正确；

对B：因为与共线，所以，即，故B不正确；

对C：因为，所以，所以与垂直，故C正确；

对D：因为时，与反向，此时夹角为，故D错误；

故选：BD.

11．在中，分别为内角的对边，若， ,且，则边的大小可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据 ，以及和差角公式展开，得到，

求和两种情况下的解即可.

【详解】，

，

，

即，

，

若 ，那么 ， ，则 ；

若，那么 ，有 ，

，即 ，

故选：AB

12．已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是（    ）

A．该多面体的体积为

B．该多面体的外接球的表面积为

C．该多面体的内切球的体积为

D．该多面体的表面积为

【答案】ABC

【分析】根据平面展开图还原几何体，根据正八面体的几何特征可以求出体积和表面积进而判断A、D选项的；然后结合外接球的定义根据图形的对称性可以确定球心的位置进而求出求半径，进而求出表面积，可判断B选项；然后结合（为几何体的表面积，为几何体的内切球的半径，为几何体的体积）即可求出内切球的半径，进而求得内切球的体积，即可判断C选项.

【详解】根据平面展开图还原几何体为侧面为正三角形的正八面体，如下图：

连接交于，连接，在正八面体中， ，，四边形为正方形，在正方形中，，又因为，所以，因为，所以，因为，所以平面，因为，所以该多面体的体积，故A正确；

因为，由正八面体的对称性知，所以是外接球的球心，外接球的半径为，所以该多面体的外接球的表面积，故B正确；

设该多面体的内切球的半径为，则内切球的球心到正八面体的各个面的距离为，设该多面体的表面积，故D错误；

所以，即，解得，则该多面体的内切球的体积为，故C正确；

故选：ABC.

三、填空题

13．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为___________．

【答案】

【分析】根据轴截面为正方形可知圆柱的底面半径为1，高为2．

【详解】解：圆柱的轴截面是面积为4的正方形，

圆柱的底面半径为1，高为2．

圆柱的体积．

故答案为：．

14．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_____________．

【答案】

【分析】由已知直接利用向量的减法运算求解．

【详解】解：，，

，

即表示向量的复数为．

故答案为：．

15．在中，，，，，则的值为_________．

【答案】13

【分析】由已知结合和差角及同角基本关系可求，然后结合勾股定理可求．

【详解】解：由题意得，，，，，

所以，，

所以，

所以，．

故答案为：13．

16．已知是两个平面向量，，且对任意，恒有，则的最大值是__________．

【答案】4

【分析】根据平面向量数量积的运算律及不等式恒成立，得到恒成立，即可得到，从而得到，设，，则，再利用基本不等式计算可得．

【详解】解：对任意，恒有，

所以，即

即恒成立，所以，即

所以，即

．

设，，则，

，

当且仅当“”时“”成立．的最大值为4．

故答案为：4．

四、解答题

17．已知向量，，且．

（1）设向量与的夹角为，求的值；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积的定义，求得的值．

（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求得的值．

【详解】解：（1）设向量与的夹角为，向量，，所以，

且，

，

．

（2）因为，

则，

．

18．已知复数，复数，其中是虚数单位，．

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）5．

【分析】（1）结合复数的减法运算求出，然后带入模长公式即可求解；

（2）根据复数的乘方运算求出，，，然后利用复数相等的条件得到，即可求出结果.

【详解】（1）因为，，所以，

所以；

（2）因为，而，，

所以，即，则.

19．如图，在长方体中，，，．

（1）求平面四边形的面积；

（2）求几何体的体积．

【答案】（1）；（2）25．

【分析】（1）证明四边形为平行四边形，求出的余弦值，进一步得到正弦值，利用平行四边形面积公式求解；

（2）把几何体的体积转化为两个全等的四棱锥的体积求解．

【详解】解：（1）在平面中，过作，

由，，可得，在中，求得，

在中，，则且，

四边形为平行四边形．

又，，

在中，可得，

．

平面四边形的面积；

（2）几何体的体积．

20．如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为），现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上．

（1）若米，求长；

（2）如果是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管最短，请确定点的位置，并求的最小值．

【答案】（1）米；（2）当米时，的最小值为米．

【分析】（1）利用题中的条件三角形的面积是三角形面积的一半，即可解出；

（2）设，则利用三角形的面积是三角形面积的一半，可将的长度用表示出，再利用余弦定理即可解出．

【详解】解：（1）由，，

设，则，

，即的长为．

（2）设，，

在中由余弦定理可得，

又，，

，

，

当且仅当，即时取等号；

即当，分别在，上距离点米时距离最小，最小值为．

21．如图，在中，已知，且，，．

（1）求；

（2）设与交于点，求的余弦值大小．

【答案】（1）16；（2）．

【分析】（1）结合平面向量的数量积的运算律以及线性运算可以求出，进而，即可求出结果；

（2）结合平面向量的线性运算以及数量积的运算律可得，然后带入平面向量的夹角公式即可求出结果.

【详解】解：（1）因为，

所以

所以

因为，所以

所以；

（2）因为，所以，而，

所以，

所以．

22．在中，分别为内角的对边，已知，且边上的中线长为4．

（1）证明：；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简即可证明；

（2）由已知结合余弦定理及诱导公式进行化简，然后结合三角形面积公式及二次函数的性质可求．

【详解】证明：（1）因为，

所以，即，

而A，B为三角形内角，所以；

解（2）：由（1）取的中点，

中，由余弦定理得，，

中，由余弦定理得，，

因为，

两式相加得，，

即，

由，，

，

所以面积的最大值．