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浙江省浙东北联盟(ZDB)2022-2023学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）
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这是一份浙江省浙东北联盟(ZDB)2022-2023学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：嘉善高级中学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用集合的交运算求集合即可.
【详解】由.
故选：B
2. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定判断即可.
【详解】命题：“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 下列函数中与函数表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同一函数的标准，定义域相同，对应法则一致，来逐项进行判断.
【详解】对于A，，与题干中函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；
对于B，，定义域为，与题干中函数的对应法则不一样，不是同一函数，故B错误；
对于C，，与题干中函数的定义域，对应法则均一样，故C正确；
对于D，，，与题干中函数的定义域，对应法则均不一样，故D错误.
故选：C.
4. 不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将分式不等式转化为求解集即可.
【详解】由，可得或，
所以不等式解集为或.
故选：A
5. 若函数是幂函数，且，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法求出幂函数解析式，再代入即可.
【详解】设，（其中a为常数），，则，解得，所以，
所以，
故选：A.
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，转化为二次函数的值域问题求解.
【详解】设，则
因为，
所以，即，
所以函数的值域为，
故选：D.
7. 已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．
【详解】函数为上增函数，，反之不成立，
例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
8. 已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性构造方程组，解出即可.
【详解】令，，
则，
又因为是奇函数，是偶函数，
令替换有，
即，
即，
整理得，
联立，解得，，
所以
所以，
故选：A.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知集合，则下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系与集合与集合的关系判断即可.
【详解】集合
所以，，
故选：AC.
10. 下列函数的图象关于原点对称的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的判断方法即可得到答案.
【详解】对A，因为，定义域为，关于原点对称，
且，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故A正确；
对B，因为，定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故B正确；
对C，因为，定义域关于原点对称，
当时，，
当时，，
则为奇函数，则的图象关于原点对称，故C正确；
对D，函数定义域为，不关于原点对称，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知，则下列成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，利用作差法比较大小即可判断；对B，利用不等式性质可判断；对C，D利用基本不等式可判断.
【详解】对于A，，
，，但是的正负不确定，即与的大小不确定，故A错误；
对于B，，，，即得，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，
，，故C正确；
对于D，，，当且仅当，即时等号成立，
且，
，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 对任意实数，方程有唯一解
B. 对任意实数，方程有唯一解
C. 存在实数，方程有3个不同的解
D. 存在实数，方程有3个不同的解
【答案】AC
【解析】
【分析】直接代入计算即可判断AB，根据嵌套函数的性质即可判断CD.
【详解】令，即，所以，
所以对任意实数，有唯一解，故A正确；
令，即，
，当时，方程有无数解，故B错误；
对C，因为，
所以或，
由，即，解得；
由，即，解得；
所以有四个根为，
当时，此时的根分别为，故C正确；
对D，令，，
化简得，
则必有两根或，
要使有3个不同的解，分两种情况讨论：
当，即时，需要有两个不同的根，
此时为，显然无解，不满足题意；
当，即时，
只需，即有不同于或的一根即可；
此时，解得或，
当时，由，得，解得，不满足题意；
当时，由，得，解得，
此时，也不满足题意；
综上，不可能有3个不同的解，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题有4小题，每空5分，共20分）
13. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意列不等式组即可求得.
【详解】要使函数有意义，
只需解得：且，
从而的定义域为.
故答案为：
14. 已知函数，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】直接代入计算即可.
【详解】，
故答案为：6.
15. 集合，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解的情况的得到方程组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以，
故答案为：.
16. 若正数，满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先得到，，进而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数，满足，所以，
且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
四、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合为全体实数集，集合或，．
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或，.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；
（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.
【小问1详解】
当时，，
所以或，又或，
所以；
【小问2详解】
由题可得，
当时，则 ，即时，此时满足，
②当时，则，所以，
综上，实数的取值范围为.
18. 已知函数，．
（1）解方程，并在图中画出函数，的图象；
（2）定义：对，表示与中的较大者，记为，根据图象，写出函数的解析式及其最小值．
【答案】（1）或，图象见解析
（2），.
【解析】
【分析】（1）令，解出，再作出图象即可；
（2）根据图象直接写出解析式，再求出最小值即可
【小问1详解】
令，两边同平方得，解得或，
作出图象如下图所示：
【小问2详解】
当时，，
此时单调递减，此时；
当时，，此时单调递增，此时；
当时，，此时单调递增，，
综上：，.
19. 已知实数，均为正实数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）9 （2）25
【解析】
【分析】（1）利用乘“1”法即可；
（2）利用基本不等式构造关于的一元二次不等式即可.
【小问1详解】
因为实数，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9.
【小问2详解】
由题意得，解得或（舍去），
则，当且仅当时等号成立.
则的最小值为25.
20. 已知幂函数为偶函数．
（1）求幂函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式．
【答案】20. ，在上单调递增，证明见解析；
21.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义解出，再根据偶函数的性质验证即可；
（2）根据函数单调性和奇偶性列出不等式组解出即可.
【小问1详解】
由题意得，解得或，
当时，，显然不是偶函数，
当时，，定义域为，关于原点对称，
且，所以偶函数.
在上单调递增，证明：
任取，且，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
因为为偶函数且在上单调递增，所以在单调递减，
所以，即，解得，又因为，解得，且，
综上不等式得解集为.
21. 近年来我国的新能源汽车产业发展迅速，各大汽车企业纷纷布局新能源赛道．已知某汽车企业研发了，两款新能源汽车，款汽车的生产成本（亿元）与生产数量（万辆）之间的函数关系近似为，款汽车的生产成本（亿元）与生产数量（万辆）之间的函数关系近似为，款汽车的售价为15万元每辆，款汽车的售价为12万元每辆．
（1）若当，两款汽车的产量都为60万辆时，有，求的值；
（2）若，该汽车企业的年产能为80万辆，并且当年生产的汽车能全部售完，如何分配，两款汽车的产量，能使利润最大？最大利润是多少？（利润销售额生产成本）
【答案】（1）
（2）款汽车产量为（万辆），款汽车产量为（万辆）时利润最大，最大利润为600万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到方程，解出即可.
（2）分段列出利润表达式并求出最值进行比较即可,
【小问1详解】
由题意得，解得.
【小问2详解】
设款汽车产量为（万辆），则款汽车产量为（万辆），总利润为万元，
当时，（万元）
当时，
（万元），
当且仅当，即时等号成立，
显然，此时（万辆），
则安排款汽车产量为（万辆），款汽车产量为（万辆）时利润最大，最大利润为600万元.
22. 已知函数．（）
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，.
【解析】
【分析】（1）利用数形结合，得出，列不等式组解出即可；
（2）利用二次函数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可.
【小问1详解】
函数的对称轴是，其图象与x轴的交点坐标是（0,0）和，
则函数的图象如图所示.
所以函数的单调递减区间是和.
因为函数在上单调递减，所以，
所以，解得，即的取值范围为.
【小问2详解】
若函数在上的最小值为，最大值为.
当时，函数在上单调递减，
则，，且，
解得解出；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
，，且，
解得，无解；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
解得，无解；
当时，函数在上单调递增，
则，，且，
解得，解出；
综上，当时，；
当时，.
命题学校：嘉善高级中学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用集合的交运算求集合即可.
【详解】由.
故选：B
2. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定判断即可.
【详解】命题：“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 下列函数中与函数表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同一函数的标准，定义域相同，对应法则一致，来逐项进行判断.
【详解】对于A，，与题干中函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；
对于B，，定义域为，与题干中函数的对应法则不一样，不是同一函数，故B错误；
对于C，，与题干中函数的定义域，对应法则均一样，故C正确；
对于D，，，与题干中函数的定义域，对应法则均不一样，故D错误.
故选：C.
4. 不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将分式不等式转化为求解集即可.
【详解】由，可得或，
所以不等式解集为或.
故选：A
5. 若函数是幂函数，且，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法求出幂函数解析式，再代入即可.
【详解】设，（其中a为常数），，则，解得，所以，
所以，
故选：A.
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，转化为二次函数的值域问题求解.
【详解】设，则
因为，
所以，即，
所以函数的值域为，
故选：D.
7. 已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．
【详解】函数为上增函数，，反之不成立，
例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
8. 已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性构造方程组，解出即可.
【详解】令，，
则，
又因为是奇函数，是偶函数，
令替换有，
即，
即，
整理得，
联立，解得，，
所以
所以，
故选：A.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知集合，则下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系与集合与集合的关系判断即可.
【详解】集合
所以，，
故选：AC.
10. 下列函数的图象关于原点对称的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的判断方法即可得到答案.
【详解】对A，因为，定义域为，关于原点对称，
且，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故A正确；
对B，因为，定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故B正确；
对C，因为，定义域关于原点对称，
当时，，
当时，，
则为奇函数，则的图象关于原点对称，故C正确；
对D，函数定义域为，不关于原点对称，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知，则下列成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，利用作差法比较大小即可判断；对B，利用不等式性质可判断；对C，D利用基本不等式可判断.
【详解】对于A，，
，，但是的正负不确定，即与的大小不确定，故A错误；
对于B，，，，即得，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，
，，故C正确；
对于D，，，当且仅当，即时等号成立，
且，
，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 对任意实数，方程有唯一解
B. 对任意实数，方程有唯一解
C. 存在实数，方程有3个不同的解
D. 存在实数，方程有3个不同的解
【答案】AC
【解析】
【分析】直接代入计算即可判断AB，根据嵌套函数的性质即可判断CD.
【详解】令，即，所以，
所以对任意实数，有唯一解，故A正确；
令，即，
，当时，方程有无数解，故B错误；
对C，因为，
所以或，
由，即，解得；
由，即，解得；
所以有四个根为，
当时，此时的根分别为，故C正确；
对D，令，，
化简得，
则必有两根或，
要使有3个不同的解，分两种情况讨论：
当，即时，需要有两个不同的根，
此时为，显然无解，不满足题意；
当，即时，
只需，即有不同于或的一根即可；
此时，解得或，
当时，由，得，解得，不满足题意；
当时，由，得，解得，
此时，也不满足题意；
综上，不可能有3个不同的解，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题有4小题，每空5分，共20分）
13. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意列不等式组即可求得.
【详解】要使函数有意义，
只需解得：且，
从而的定义域为.
故答案为：
14. 已知函数，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】直接代入计算即可.
【详解】，
故答案为：6.
15. 集合，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解的情况的得到方程组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以，
故答案为：.
16. 若正数，满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先得到，，进而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数，满足，所以，
且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
四、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合为全体实数集，集合或，．
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或，.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；
（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.
【小问1详解】
当时，，
所以或，又或，
所以；
【小问2详解】
由题可得，
当时，则 ，即时，此时满足，
②当时，则，所以，
综上，实数的取值范围为.
18. 已知函数，．
（1）解方程，并在图中画出函数，的图象；
（2）定义：对，表示与中的较大者，记为，根据图象，写出函数的解析式及其最小值．
【答案】（1）或，图象见解析
（2），.
【解析】
【分析】（1）令，解出，再作出图象即可；
（2）根据图象直接写出解析式，再求出最小值即可
【小问1详解】
令，两边同平方得，解得或，
作出图象如下图所示：
【小问2详解】
当时，，
此时单调递减，此时；
当时，，此时单调递增，此时；
当时，，此时单调递增，，
综上：，.
19. 已知实数，均为正实数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）9 （2）25
【解析】
【分析】（1）利用乘“1”法即可；
（2）利用基本不等式构造关于的一元二次不等式即可.
【小问1详解】
因为实数，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9.
【小问2详解】
由题意得，解得或（舍去），
则，当且仅当时等号成立.
则的最小值为25.
20. 已知幂函数为偶函数．
（1）求幂函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式．
【答案】20. ，在上单调递增，证明见解析；
21.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义解出，再根据偶函数的性质验证即可；
（2）根据函数单调性和奇偶性列出不等式组解出即可.
【小问1详解】
由题意得，解得或，
当时，，显然不是偶函数，
当时，，定义域为，关于原点对称，
且，所以偶函数.
在上单调递增，证明：
任取，且，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
因为为偶函数且在上单调递增，所以在单调递减，
所以，即，解得，又因为，解得，且，
综上不等式得解集为.
21. 近年来我国的新能源汽车产业发展迅速，各大汽车企业纷纷布局新能源赛道．已知某汽车企业研发了，两款新能源汽车，款汽车的生产成本（亿元）与生产数量（万辆）之间的函数关系近似为，款汽车的生产成本（亿元）与生产数量（万辆）之间的函数关系近似为，款汽车的售价为15万元每辆，款汽车的售价为12万元每辆．
（1）若当，两款汽车的产量都为60万辆时，有，求的值；
（2）若，该汽车企业的年产能为80万辆，并且当年生产的汽车能全部售完，如何分配，两款汽车的产量，能使利润最大？最大利润是多少？（利润销售额生产成本）
【答案】（1）
（2）款汽车产量为（万辆），款汽车产量为（万辆）时利润最大，最大利润为600万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到方程，解出即可.
（2）分段列出利润表达式并求出最值进行比较即可,
【小问1详解】
由题意得，解得.
【小问2详解】
设款汽车产量为（万辆），则款汽车产量为（万辆），总利润为万元，
当时，（万元）
当时，
（万元），
当且仅当，即时等号成立，
显然，此时（万辆），
则安排款汽车产量为（万辆），款汽车产量为（万辆）时利润最大，最大利润为600万元.
22. 已知函数．（）
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，.
【解析】
【分析】（1）利用数形结合，得出，列不等式组解出即可；
（2）利用二次函数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可.
【小问1详解】
函数的对称轴是，其图象与x轴的交点坐标是（0,0）和，
则函数的图象如图所示.
所以函数的单调递减区间是和.
因为函数在上单调递减，所以，
所以，解得，即的取值范围为.
【小问2详解】
若函数在上的最小值为，最大值为.
当时，函数在上单调递减，
则，，且，
解得解出；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
，，且，
解得，无解；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
解得，无解；
当时，函数在上单调递增，
则，，且，
解得，解出；
综上，当时，；
当时，.
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