四川省蓬安县第二中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份四川省蓬安县第二中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形是公共设施标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a2）3＝8a6D．a6÷a2＝a3
解：∵a2•a3＝a5，故选项A错误；
∵（a2）3＝a6，故选项B错误；
∵（2a2）3＝8a6，故选项C正确；
∵a6÷a2＝a4，故选项D错误；
故选：C．
3．在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（ ）
A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间
C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定
解：假设AB＜AC，如图所示，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，
在△AEB和△HEC中，
，
∴△AEB≌△HEC（SAS），
∴AB＝CH，∠BAE＝∠H，
∵AB＜AC，
∴CH＜AC，
∴∠CAH＜∠H，
∴∠CAH＜∠BAE，
∴点F总在点D，E之间，
故选：C．
4．如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠EB．AC＝DF，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DED．AC＝DF，CB＝FE
解：A．添加条件∠A＝∠D，∠B＝∠E时，没有边的条件，故不能判定△ABC≌△DEF，
B．添加条件AC＝DF，AB＝DE，根据HL可证明△ABC≌△DEF，
C．添加条件∠A＝∠D，AB＝DE，根据AAS可证明△ABC≌△DEF，
D．添加条件AC＝DF，CB＝FE，根据SAS可证明△ABC≌△DEF，
故选：A．
5．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（ ）
A．2cmB．8cmC．8cm或2cmD．14cm或8cm
解：①14cm是腰长时，底边为：30﹣14×2＝2cm，
三角形的三边长分别为14cm、14cm、2cm，
能组成三角形，
②14cm是底边长时，腰长为：×（30﹣14）＝8cm，
三角形的三边长分别8cm、8cm、14cm，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是14cm或8cm
故选：D．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
解；A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，故A错误；
B、分子除以（a﹣2），分母除以（a+2），故B错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C正确；
D、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D错误；
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个B．5个C．7个D．8个
解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：C．
8．，，都有意义，下列等式①＝；②＝+；③＝；④＝中一定不成立的是（ ）
A．②④B．①④C．①②③④D．②
解：由，，都有意义，可得m≠0，m+n≠0，n≠0，
当m＝n≠0时，①＝＝1，④＝＝1，因此①④可能成立，故①④不符合题意；
根据分式的基本性质可得＝，因此③不符合题意；
若＝+成立，则有（m+n）2＝mn，即m2+mn+n2＝0，
关于m的一元二次方程m2+mn+n2＝0的根的判别式Δ＝n2﹣4×1×n2＝﹣3n2＜0，
因此不存在这样的m、n的值使原式成立，故②一定不成立，
因此，一定不成立的只有②，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若∠FAC＝∠B，则∠FAB的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．50°
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝∠C，
∵∠FAC＝∠B，
∴∠B+3∠B＝180°，
∴∠B＝25°，
∴∠FAB的度数为25°，
故选：A．
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴，
∴AE＝，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选：C．
二、填空题。（每小题4分，共24分）
11．分式的值为0，则x的值是 1 ．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
12．若4•2n＝2，则n＝ ﹣1 ．
解：∵4•2n＝22•2n＝22+n＝2，
∴2+n＝1，
解得n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是 22 ．
解：当等腰三角形的三边为：4、4、9时，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
当等腰三角形的三边为：4、9、9时，符合三角形三边关系，则三角形的周长为：4+9+9＝22．
因此等腰三角形的周长为22．
故填22．
14．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ 10° ．
解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝10°，
故答案为：10°．
15．一般情况下，式子+＝+1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝﹣1，b＝2．我们把使得＝+1成立的一对数a、b称之为“相伴数对”，记为（a，b）．若（3，x）是“相伴数对”，则代数式x3﹣（2x﹣1）（x+3）的值为 5 ．
解：∵（3，x）是“相伴数对”，
∴＝+1，
化简可得x²﹣3x﹣2＝0，
∴x2＝3x+2，
∴原式＝x3﹣（2x2+6x﹣x﹣3）
＝x3﹣2x2﹣5x+3
＝x（3x+2）﹣2（3x+2）﹣5x+3
＝3x2+2x﹣6x﹣4﹣5x+3
＝3（3x+2）+2x﹣6x﹣4﹣5x+3
＝9x+6+2x﹣6x﹣4﹣5x+3
＝5．
故答案为：5．
16．如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，过点F作FH⊥AB于H，则的值为 ．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，
∴∠AFD＝∠BDE＝∠FEC＝90°，
∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF，
在△ADF和△BED和△CFE中，，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD＝BE，AF＝CE，
∵FH⊥AB，∠A＝60°，
∴∠AFH＝30°，
设AH＝x，则AF＝CE＝2x，
∵∠ADF＝30°，
∴AD＝2AF＝4x，
∴BC＝BE+CE＝AD+CE＝4x+2x＝6x，
∴＝＝，
故答案为：．
三、解答题。（共86分）
17．化简或计算下列各题：
（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2；
（2）（2m﹣1）2﹣（3m﹣1）（3m+1）+5m（m﹣1）．
解：（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2；
＝a8+a8+4a8
＝6a8；
（2）（2m﹣1）2﹣（3m﹣1）（3m+1）+5m（m﹣1）
＝4m2﹣4m+1﹣（9m2﹣1）+5m2﹣5m
＝4m2﹣4m+1﹣9m2+1+5m2﹣5m
＝﹣9m+2．
18．因式分解：
（1）9x2y+6xy+y；
（2）a4﹣16．
解：（1）9x2y+6xy+y
＝y（9x2+6x+1）
＝y（3x+1）2；
（2）a4﹣16
＝（a2+4）（a2﹣4）
＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）．
19．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
20．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
解：原式＝÷＝•＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
21．已知，如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：AE＝EB．
证明；∵在△ABD和△BAC中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴∠CAB＝∠DBA，
∴AE＝BE．
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为 A1（﹣1，1）B1（﹣4，2）C1（﹣3，4） ；
（2）△ABC的面积是 3.5 ；
（3）在x轴上作一点P，使PA+PB的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）
解：（1）如图A1（﹣1，1）B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），
故答案为：（﹣1，1）、（﹣4，2）、（﹣3，4）；
（2）△A1B1C1的面积＝（2+3）×3÷2﹣
＝7.5﹣1﹣3
＝3.5．
（3）如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，再连接A'B，与x轴的交点P即为所求．
23．某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 1.5x 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 2或3 （直接写出结果）．
解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：1.5x，；
（2）由题意得：+2＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×120＝180，
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；
（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，
解得：a＝，
∵a为正整数，100≤m≤200，
∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，m＝150，符合题意；
当a＝3时，m＝200，符合题意；
当a＝4时，m＝225超过范围；
综上所述，a的值为2或3，
故答案为：2或3．
24．如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．
（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；
（2）延长BD与EF交于点G．
①如图2，求证：∠BGE＝60°；
②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为 2 ．
（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵AD＝DC＝CF，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠F＝∠CDF，
∵∠ACB＝∠F+∠CDF＝60°，
∴∠F＝30°，
∴∠DBC＝∠F，
∴BD＝DF．
（2）①证明：如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ABC＝60°，∠AEH＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH＝AH，
∵AB＝AC，
∴BH＝CE，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF，
∵∠BHE＝∠ECF＝120°，
∴△BEH≌△EFC（SAS），
∴∠EBH＝∠CEF，
∵AB＝BC，∠A＝∠BCD，AE＝CD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠DEG，
∵∠CDB＝∠GDE，
∴∠EGD＝∠DCB＝60°，
即∠BGE＝60°．
②∵∠EBD＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠BEG＝90°，过点C作CN⊥BG于点N，
取BG的中点K，连接AK、EK、CK，延长AC至M使CM＝AE，连接KM，
则∠BKE＝120°，BK＝EK，
∵∠BAE+∠BKE＝180°，
∴∠ABK+∠AEK＝180°，
∴∠ABK＝∠MEK，
∴EM＝EC+CM＝EC+AE＝AC＝AB，
∴△AKB≌△MKE（AAS），
∴AK＝MK，
∴∠AKM＝∠AKE+∠EKM＝∠AKE+∠BKA＝120°，
∵AK＝KM，
∴∠KAM＝30°，
∴BK＝GK＝CK＝2，∠CKG＝30°，
∴BK＝GK＝CK，∠CKG＝30°，
∴CN＝CK＝1，
∴S△BCG＝BG•CN＝×4×1＝2．
25．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 （4，4） ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
解：（1）∵x2﹣8x+16+＝0．
∴（x﹣4）2+＝0，
又∵（x﹣4）2≥0，y﹣4≥0，
∴x＝4，y＝4，
∴A（4，4）；
故答案为：（4，4）；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝90°，∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF，
设CE＝CF＝a，则BD＝a﹣（4﹣a）＝2a﹣4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB
＝×4×（2a﹣4）
＝﹣4a+8
＝8；
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC+∠DOQ＝180°，
又∵∠DON+∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC，
在△DON和△DAC中，
，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
又∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．