2023年天津市高考数学试卷（杨飞）

这是一份2023年天津市高考数学试卷（杨飞），共15页。试卷主要包含了“”是“”的，若，，，则，双曲线的左、右焦点分别为，等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，2，3，4，，，，，2，，则
A．，3，B．，C．，2，D．，2，4，
2．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，，，则
A．B．C．D．
4．函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
5．已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
6．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3B．18C．54D．152
7．调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
8．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为
A．B．C．D．
9．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
11．在的展开式中，项的系数为 ．
12．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
14．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 ．
15．若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（15分）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
18．（15分）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
19．（15分）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
20．（16分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
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2023年天津市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，2，3，4，，，，，2，，则
A．，3，B．，C．，2，D．，2，4，
【解析】：解法一：，2，3，4，，，，，2，，
则，，故，3，．故选：．
解法二：【杨飞老师补解】因为，可排除C选项和D选项；，可排除B，故选A.
2．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】：，即，解得或，
，即，解得，
故“”不能推出“”，充分性不成立，
“”能推出“”，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．故选：．
3．若，，，则
A．B．C．D．
【解析】：考察指数函数，在上单调递增，
，故，所以，
考察幂函数，在，上单调递增，
，故，即，所以．故选：．
4．函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
【解析】：由图象可知，图象关于轴对称，为偶函数，故错误，
当时，恒大于0，与图象不符合，故错误．故选：．
5．已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【解析】：解法一：：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
解法二：【杨飞老师补解】因为函数和函数的周期均为，可排除C选项和D选项；又函数和函数在对称轴处均取得最值，可将将代入，可排除A，故选B.
6．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3B．18C．54D．152
【解析】：解法一：因为为等比数列，设公比为，，
所以，，
由等比数列的性质可得，，
即，
所以或（舍，
所以，，
则．
故选：．
解法二：【杨飞老师补解】设数列的公比为，因为，所以，两式作差可得，即，，即，解得，所以，故选C.
7．调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【解析】：相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选：．
8．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为
A．B．C．D．
【解析】：解法一：在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，
所以，
设到平面的距离，到平面的距离，则，
则三棱锥的体积为．
故三棱锥和三棱锥的体积之比为．
故选：．
解法二：【杨飞老师补解】依题意设点到平面的距离为，则，，而，故选B.
9．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【解析】：因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【解析】：．
故答案为：．
11．在的展开式中，项的系数为 60 ．
【解析】：二项式的展开式的通项为，
令得，，
项的系数为．
故答案为：60．
12．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 6 ．
【解析】：解法一：如图，
由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
解法二：【杨飞老师补解】设直线与圆相切于，连接，则，所以，作轴于，则，又，则，代入抛物线方程，解得，故填.
13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【解析】：设盒子中共有球个，
则甲盒子中有黑球个，白球个，
乙盒子中有黑球个，白球个，
丙盒子中有黑球个，白球个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率．
故答案为：；．
14．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 ．
【解析】：在中，，，点为的中点，点为的中点，，，
则；
设，，
由余弦定理可得：，
又，
即，当且仅当时取等号，
又，
则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：；．
15．若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ，，， ．
【解析】：①当时，，不满足题意；
②当方程满足且时，
有，即，，，
此时
，当时，不满足，
当时，△，满足；
③△时，，，，
记的两根为，，不妨设，
则，
当时，，且，，，
但此时，舍去，
，，且，
但此时，舍去，
故仅有1与两个解，
于是，，，，．
故答案为：，，，．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解析】：（Ⅰ），，，
则；
（Ⅱ），，，
则，化简整理可得，，解得（负值舍去）；
（Ⅲ），
，，，
则，
故，
所以．
17．（15分）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
【解析】：（Ⅰ）证明：连接，可得为△的中位线，
可得，且，
而，，
则，，
可得四边形为平行四边形，
则，
而平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取的中点，连接，
由，，可得．
由平面，平面，
可得，
可得平面．
过作，垂足为，连接，
由三垂线定理可得，
可得为平面与平面所成角．
由．
在矩形中，，
所以；
（Ⅲ）设到平面的距离为．
在△中，，，，
则．
由，可得，
解得．
18．（15分）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
【解析】：（Ⅰ）由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
△，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
19．（15分）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
【解析】：（Ⅰ）是等差数列，，．
，得，，
则的通项公式，
中的首项为，项数为，
则．
（Ⅱ），，，
即，
当时，．
，且，即，
综上，即成立．
成立，
为等比数列，设公比为，
当时，，，
则，即，即，
当，，，
，
时，，
，即，即，
当，，，
则，
则，即的通项公式为，
则的其前项和．
20．（16分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
【解析】：（Ⅰ）对函数求导，可得，
则曲线在处的切线斜率为（2）；
（Ⅱ）证明：当时，，即，即，
而 在上单调递增，
因此，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列的前项和，
则；
当时，，
由（2），，
故，不等式右边得证；
要证，只需证：对任意的，，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
则，即，
则，
因此当时，，
当时，累加得
，
又，，
故，即得证．
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《初高中数学教研微信系列群》简介：
目前有64个群（20个高中总群，41个分省群，3个初中群），共10000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.
宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！
特别说明：
1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；
2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：
教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三
编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名
欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！
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