2020年江苏省高考数学试卷（杨洋老师审校）

这是一份2020年江苏省高考数学试卷（杨洋老师审校），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，0，1，，，2，，则 ．
2．已知是虚数单位，则复数的实部是 ．
3．已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则的值是 ．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．
5．如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是 ．
6．在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
7．已知是奇函数，当时，，则的值是 ．
8．已知，则的值是 ．
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
11．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是 ．
12．已知，则的最小值是 ．
13．在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是 ．
14．在平面直角坐标系中，已知，，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
16．（14分）在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
17．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
18．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标．
19．（16分）已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
20．（16分）已知数列的首项，前项和为．设和为常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
（1）若等差数列是“”数列，求的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
21．（10分）平面上的点在矩阵对应的变换作用下得到点．
（1）求实数，的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在极坐标系中，已知，在直线上，点，在圆上（其中，．
（1）求，的值；
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．设，解不等式．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24．（10分）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
25．（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求，和，；
（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）．
2020年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合，0，1，，，2，，则 ， ．
【思路分析】运用集合的交集运算，可得所求集合．
【解析】：集合，2，，，0，1，，则，，故答案为：，．
【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．
2．已知是虚数单位，则复数的实部是 3 ．
【思路分析】利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．
【解析】：复数，所以复数的实部是：3．故答案为：3．
【总结与归纳】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．
3．已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则的值是 2 ．
【思路分析】运用平均数的定义，解方程可得的值．
【解析】：一组数据4，，，5，6的平均数为4，
则，解得．故答案为：2．
【总结与归纳】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．
【思路分析】分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．
【解析】：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为种，
而点数和为5的事件为，，，，共4种，
则点数和为5的概率为．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．
5．如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是 ．
【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解析】：由题意可得程序框图表达式为分段函数，
若输出值为时，由于，所以解，即，故答案为：，
【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【思路分析】利用双曲线的渐近线方程，求出，然后求解双曲线的离心率即可．
【解析】：双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，
所以双曲线的离心率为：，故答案为：．
【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
7．已知是奇函数，当时，，则的值是 ．
【思路分析】由奇函数的定义可得，由已知可得（8），进而得到．
【解析】：是奇函数，可得，
当时，，可得（8），则（8），故答案为：．
【总结与归纳】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
8．已知，则的值是 ．
【思路分析】根据二倍角公式即可求出．
【解析】：因为，则，
解得，故答案为：
【总结与归纳】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
【思路分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．
【解析】：六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，所以此六角螺帽毛坯的体积是：，
故答案为：．
【总结与归纳】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
【思路分析】利用三角函数的平移可得新函数，求的所有对称轴，，从而可判断平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程，
【解析】：因为函数的图象向右平移个单位长度可得
，
则的对称轴为，，即，，
当时，，当时，，
所以平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是，故答案为：，
【总结与归纳】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．
11．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是 4 ．
【思路分析】由的前项和，由是公差为的等差数列，设首项为；求出等差数列的前项和的表达式；是公比为的等比数列，设首项为，讨论当为1和不为1时的前项和的表达式，由题意可得，由对应项的系数相等可得，的值，进而求出的值．
【解析】：因为的前项和，
因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，
所以的通项公式，所以其前项和，
当中，当公比时，其前项和，
所以的前项和，显然没有出现，所以，
则的前项和为，
所以，
由两边对应项相等可得：解得：，，，，
所以，故答案为：4．
【总结与归纳】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前项和求通项的性质，属于中档题．
12．已知，则的最小值是 ．
【思路分析】方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；
方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值．
【解析】：方法一、由，可得，
由，可得，，
则
，当且仅当，，
可得的最小值为；
方法二、，
故，
当且仅当，即，时取得等号，
可得的最小值为．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．
13．在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是 0或 ．
【思路分析】以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，求得与的坐标，再把的坐标用表示．由列式求得值，然后分类求得的坐标，则的长度可求．
【解析】：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
则，，
由，得，
整理得：
，，，．
由，得，解得或．
当时，，此时与重合，；
当时，直线的方程为，直线的方程为，
联立两直线方程可得，．即，，
．的长度是0或．故答案为：0或．
【总结与归纳】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．
14．在平面直角坐标系中，已知，，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ．
【思路分析】求得圆的圆心和半径，作所在直径，交于点，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．
【解析】：圆的圆心，半径为6，
如图，作所在直径，交于点，
因为，，所以，为垂径，
要使面积最大，则，位于的两侧，
并设，可得，故，，
可令，
，，
设函数，，
，
由，解得舍去），
显然，当，，递减；当时，，递增，
结合在递减，故时，最大，此时，
故，
则面积的最大值为．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【思路分析】（1）证明，然后利用直线与平面平行的判断定理证明平面；
（2）证明，结合，证明平面，然后证明平面平面．
【解答】证明：（1），分别是，的中点．
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
【总结与归纳】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
16．（14分）在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
【思路分析】（1）由题意及余弦定理求出边，再由正弦定理求出的值；
（2）三角形的内角和为，，可得为钝角，可得与互为补角，所以展开可得及，进而求出的值．
【解析】：（1）因为，，．，由余弦定理可得：，
由正弦定理可得，所以，
所以；
（2）因为，所以，
在三角形 中，易知为锐角，由（1）可得，
所以在三角形中，，
因为，所以，
所以．
【总结与归纳】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
17．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
【思路分析】（1）由题意可令，求得，即的长，再令，求得，可得；
（2）可设，则，，求得总造价，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．
【解析】：（1），
点到的距离为40米，可令，
可得，
即为，由题意可设，
由，解得，
则米；
（2）可设，则，由，可得，
总造价为
，
，由，当时，，函数递减；
当时，，函数递增，所以当时，取得最小值，即总造价最低．
答：（1）桥长为120米；（2）为20米时，桥墩与的总造价最低．
【总结与归纳】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
18．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标．
【思路分析】（1）由椭圆标准方程可知，，的值，根据椭圆的定义可得△的周长，代入计算即可．
（2）由椭圆方程得，设，进而由点斜式写出直线方程，再结合椭圆的右准线为：，得点为，再由向量数量积计算最小值即可．
（3）在计算与的面积时，可以最为同底，所以若，则到直线距离与到直线距离，之间的关系为，根据点到直线距离公式可得，，所以题意可以转化为点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，根据两平行直线距离公式可得，或12，然后在分两种情况算出点的坐标即可．
【解析】：（1）由椭圆的标准方程可知，，，，
所以的周长．
（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，
椭圆的右准线为：，
所以直线与右准线的交点为，
，，，
当时，．
（3）若，设到直线距离，到直线距离，则，即，
，，可得直线方程为，即，所以，，
由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，
设平行于的直线为，与直线的距离为，
所以，即或12，
当时，直线为，即，
联立，可得，即或，
所以或，．
当时，直线为，即，
联立，可得，△，所以无解，
综上所述，点坐标为或，．
【总结与归纳】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．
19．（16分）已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【思路分析】（1）由得，求导可得，能推出函数的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得，再进行检验即可．
（2）由题可知，设，求导分析单调性可得，，那么要使的，则；令为二次函数，则要使得，分两种情况，当时，当时进行讨论，进而得出答案．
（3）因为，求导，分析单调性及图象得函数的图象在处的切线为：，可推出直线为函数的图象在处的切线．进而在区间上恒成立；在分析，设，两根为，，由韦达定理可得，，所以，再求最值即可得出结论．
【解析】：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，所以，
当时，即时，△，即，
解得，综上，，．
（3）因为，所以，
所以函数的图象在处的切线为：
，
可见直线为函数的图象在处的切线．
由函数的图象可知，当在区间上恒成立时，，，
又由，得，
设方程的两根为，，则，，
所以，
，则，，由图象可知，，
设，则，
所以当，时，，单调递减，
所以（1），
故，即．
【总结与归纳】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
20．（16分）已知数列的首项，前项和为．设和为常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
（1）若等差数列是“”数列，求的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【思路分析】（1）由“”数列可得，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得的值；
（2）运用“”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；
（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，由两边立方，结合数列的递推式，以及的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在，并可得取值范围．
【解析】：（1）时，，由为任意正整数，且，，可得；
（2），
则，
因此，即，，
从而，又，可得，
，，
综上可得，；
（3）若存在三个不同的数列为“”数列，
则，
则，
由，，且，令，
则，
时，，
由，可得，则，即，
此时唯一，不存在三个不同的数列，
时，令，则，则，
①时，，则，同上分析不存在三个不同的数列；
②时，△，无解，
则，同上分析不存在三个不同的数列；
③时，，则，同上分析不存在三个不同的数列．
④时，即时，△，有两解，，
设，，，则，
则对任意，或或，此时，，均符合条件．
对应，，，
则存在三个不同的数列为“”数列，且，
综上可得．
【总结与归纳】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．
【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
21．（10分）平面上的点在矩阵对应的变换作用下得到点．
（1）求实数，的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
【思路分析】（1）由，列方程组，求出、的值；
（2）设矩阵的逆矩阵为，利用，列方程组求出、、和的值即可．
【解析】：（1）由题意，知，
则，解得，；
（2）由（1）知，矩阵，
设矩阵的逆矩阵为，
，
，解得，，，，
．
【总结与归纳】本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在极坐标系中，已知，在直线上，点，在圆上（其中，．
（1）求，的值；
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
【思路分析】（1）直接根据点在直线上，列方程求出的值，点在圆上，列方程求出的值；
（2）联立直线与圆的方程，然后求出其公共点的极坐标即可．
【解析】：（1），在直线上，
，解得．
点，在圆上，
，解得．
又因为（即）也在圆上，所以
所以或
（2）由直线与圆得，方程组，则．
，，，．
．
故公共点的极坐标为．
【总结与归纳】本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．设，解不等式．
【思路分析】先将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可．
【解析】：．
，或或，
或或，，
不等式的解集为．
【总结与归纳】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24．（10分）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
【思路分析】（1）由题意画出图形，连接，由已知可得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，设直线与所成角为，由两向量所成角的余弦值，可得直线与所成角的余弦值；
（2）由，得，设，，，由向量等式求得，，，进一步求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函数基本关系式求解．
【解析】：（1）如图，连接，，为的中点，．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，则．
，0，，，0，，，2，，，0，，
是的中点，，1，，
，．
设直线与所成角为，
则，
即直线与所成角的余弦值为；
（2），，
设，，，则，，，，，，，．
，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
．
．
【总结与归纳】本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．
25．（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求，和，；
（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）．
【思路分析】（1）利用已知条件求出，，推出；即可．
（2）推出，，得到，推出，说明数列是首项为，公比为的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．
【解析】：（1）由题意可知：，，则；
．
（2）由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以．
【总结与归纳】本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．
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《初高中数学教研微信系列群》简介：
目前有11个群（9个高中群，2个初中群），共4000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.
宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！
特别说明：
1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；
2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：
教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三
编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名
欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！
群主二维码：见右图
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