2022-2023学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是( )
A. B.
C. D.
2. 设全集U={−2,−1,0,1,2}，A={−2,−1,0}，B={0,1,2}则(∁UA)∩B=( )
A. {0}B. {−2,−1}C. {0,1,2}D. {1,2}
3. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是( )
A. 样本相关系数为r则|r|越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 用最小二乘法得到的经验回归方程y​=b​x+a​一定经过样本点中心(x−,y−)
C. 用相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好
D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
4. 下列运算正确的是( )
A. (sinπ12)′=csπ12B. (4x)′=x⋅4x−1
C. (x−5)′=−15x−6D. (lg2x)′=1xln2
5. 设x∈R，则“|x|b>1，若lgab+lgba=52，ab=ba，则a= ，b= ．
15. 已知函数f(x)=3ex1+ex，则f(x)+f(−x)= ______ ；若∀x∈(0,+∞)，不等式f(4−ax)+f(x2)≥3恒成立，则实数a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题11.0分)
已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,18)．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在区间[−12,2]上的最大值；
(3)若函数g(x)=f(x)−x，求证：g(x)在区间(0,1)内存在零点．
17. (本小题12.0分)
网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%.某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额yi(单位：万元)与时间第ti年进行了统计得如下数据：
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01).(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当t=7时的利润额．
附：r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1ntiyi−nt−y− i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2，b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2=i=1ntiyi−nt−y−i=1nti2−nt−2，a​=y−−b​t−．
参考数据：i=15tiyi=89.5， i=15(ti−t−)2= 10， i=15(yi−y−)2= 21.86， 218.6≈14.785．
18. (本小题12.0分)
为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法“和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或“剪纸“是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如表：
(1)请将上面2×2列联表补充完整；
(2)是否有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19. (本小题12.0分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个．
(1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
(2)设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与数学期望．
20. (本小题13.0分)
已知函数f(x)=exln(x+1)．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)在区间[0,2)上的单调性；
(3)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项为：
对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；
对于B、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；
对于C、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；
对于D、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．
故选：B．
根据散点图中样本点成带状分布，判断这两个变量具有线性相关关系，正相关关系的散点图是从左下角向右上角变化．
本题考查了散点图的应用问题，也考查了线性相关的判断问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵全集U={−2,−1,0,1,2}，A={0,−1,−2}，B={0,1,2}，
∴∁UA={1,2}，
则(∁UA)∩B={1,2}，
故选：D．
由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：样本相关系数为r，则|r|越大，成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；
用最小二乘法得到的经验回归方程y​=b​x+a​一定经过样本点中心(x−,y−)，故B正确；
用相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，表示残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越差，故C错误；
根据残差平方和的计算公式可知，残差平方和越小的模型拟合效果越好，故D正确．
故选：C．
根据相关系数的大小与线性相关强弱的关系可判断A；根据回归直线过样本中心点可判断B；根据残差平方和的意义和相关指数的意义可判断C，D．
本题考查了线性回归，相关系数，决定系数的意义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A项：常值函数求导，(sinπ12)′=0，所以A错；
对于B项：指数函数求导，(4x)′=4xln4，所以B错；
对于C项：幂函数求导，(x−5)′=−5x−6，所以C错；
对于D项：对数函数求导，(lg2x)′=1xln2，所以D正确．
故选：D．
利用基本初等函数求导公式判断即可．
本题主要考查基本初等函数求导公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由|x|0在[0,2)上恒成立，∴g(x)在[0,2)上单调递增；
(3)证明：原不等式等价于f(s+t)−f(s)>f(t)−f(0)，
令m(x)=f(x+t)−f(x)，(x,t>0)，即证m(x)>m(0)，
∵m(x)=f(x+t)−f(x)=ex+tln(1+x+t)−exln(1+x)，
m′(x)=ex+tln(1+x+t)+ex+t1+x+t−exln(1+x)−ex1+x=g(x+t)−g(x)，
由(2)知g(x)=f′(x)=ex[ln(1+x)+11+x]在(0,+∞)上单调递增，
∴g(x+t)>g(x)，∴m′(x)>0，
∴m(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为x，t>0，
∴m(x)>m(0)，所以命题得证．
【解析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
(2)求g(x)的导数，在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
(3)令m(x)=f(x+t)−f(x)，(x,t>0)，即证m(x)>m(0)，由第二问结论可知m(x)在(0,+∞)上单调递增，即得证．
本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．
ti
1
2
3
4
5
yi
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0
选书法
选剪纸
合计
男生
40
50
女生
合计
30
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
k
2.706
3.841
5.024
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
X
0
1
2
P
514
1528
328